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2026年期中模拟考试易错点重难点常考题型训练卷卷人教版2026—2027学年九年级数学上册
（测试范围：第25章一元二次方程到第28章旋转，全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1． 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程属于一元二次方程的是 (　　)
A． B． C．2(x+1)=0 D．
3．关于抛物线 下列说法正确的是 (　　)
A．开口向上 B．对称轴是直线x=-2
C．顶点坐标是 (2， 4) D．x>2 时， y随x增大而增大
4．如果反比例函数 的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是 (　　)
A．k≠0 B．k≠1 C．k<1 D．k>1
5． 如下图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，若∠BAC＝30°， ∠B'AC＝110°，则旋转角的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）．
A．1 B． C． D．不确定
7．设x1，x2是一元二次方程： 的两个根，则代数式 的值为 (　　)
A．2 B．-2 C． D．
8．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．10
9．如图是二次函数 的图象，则下列结论中正确的是 (　　)
A．ac>0
B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．b-2a=0
D．x=3是关于x的方程 的一个根
10．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，在△ABC中， ∠BAC=20°，将△ABC绕点A 按顺时针方向旋转50°得到△AB'C，则∠CAB 的度数为　 　.
12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
13．古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式　 　．
14．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　 　秒．
15．已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
16． 如图，点A在双曲线上，点B在直线l：上，点A与点B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：
①②当时，
③④
则所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
（1）
（2）
（3）（4-x)x=（4-x)
18．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
19．已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．
（1）求一次函数的表达式；
（2）将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图象恰好只有一个交点，求的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，点，，.
（1）在图中画出平面直角坐标系，并标出坐标原点O；
（2）将以点O为旋转中心逆时针旋转，请画出旋转后的图形；
（3）将向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出平移后的图形，并直接写出线段的长度为　 　.
21．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2）若的两直角边的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为4，求的值．
22．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件(每件售价不高于65元)，设每件涨价x元(x为正整数)，每月的销售量为y件.
（1）y与x的函数关系为　 　，自变量x的取值范围是　 　；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润 最大的月利润是多少元
23．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上．
（1）当点C的坐标为时，求a、b的值；
（2）当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由；
（3）如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）．
24．已知二次函数 (b，c为常数)的图象经过点 A(-3，9)，对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 B(1，2)向左平移m(m>0)个单位，向上平移(m+4)个单位后，恰好落在 的图象上，求m 的值，并判断点C(m-3，-m+10)是否在 的图象上；
（3）当-2≤x≤n时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求n 的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选： B.
3．【答案】C
【解析】【解答】由题可知，
该抛物线的a=-1<0，开口向下，对称轴为x=2，
顶点为（2，4），
∵开口向下且轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，
故答案为：C.
4．【答案】C
5．【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 方程是关于的一元二次方程，
∴的最高次数为2，即，
∴，即．
又∵ 二次项系数，
当时，，不符合条件；
当时，，符合条件．
∴．
故选B．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程： 的两个根，
∴x1+x2=，x1·x2=，
∴，
故选：A.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设方程( 的两根分别为x1，x2.则
由条件可知
又
整理，得 即
将 代入 得 a，
配方得-
∴代数式 的最大值为4.
故选： C.
9．【答案】D
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作AE⊥y轴于点E，
∵点A的纵坐标为1，
∴OE=1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ADO=∠COD，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD，
∴∠ADO=∠AOD，
∴AO=AD，
∵AE⊥OD，
∴OD=2OE=2，
∴点D的坐标为(0， 2).
故答案为：B .
11．【答案】70°
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
13．【答案】4
14．【答案】36
【解析】【解答】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．
则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8=18秒．∴从O到C需要2×18=36秒．
15．【答案】
【解析】【解答】解：因为点 ，点 均在反比例函数 的图象上，
， ，
， ，
，
故答案为：.
16．【答案】②③
【解析】【解答】解：∵直线l：
∴当x=0时，y=-2b
∴C(0，-2b)
∴OC=2b
∵四边形AOCB是菱形
∴OC=OA=AB=2b
∵点A与点B关于x轴对称，设AB交x轴于点D
∴AD=BD=b
∴
∴，①错误
∵点A在双曲线上
∴
∴
当b=2时，，②正确
∵
∴
∵点B在直线l：上
∴
∴
∴，③正确
，④错误
故答案为：②③
17．【答案】（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
解得，；
（2）解：，
∵，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（3）解：
方程变形为，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
18．【答案】（1）A；90
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC= BC=6 .
19．【答案】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点，∴，，
解得，，
∴，，
∵，在一次函数（）的图像上，
∴，解得，
所以，一次函数的表达式是；
（2）解：将直线沿轴负方向平移个单位，可得，
联立，
消去y可得，
整理可得，
因为只有一个交点，
所以，
解得，
所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图象恰好只有一个交点．
20．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：根据旋转的性质，画图如上：则即为所求
(3)画图如上：则即为所求．
将向下平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，坐标变换：，
A2(-4+3，2-5)，即，．
由勾股定理得：
．
线段的长度为．
故答案为：．
21．【答案】（1）证明：因为，所以无论实数取何值，方程总有两个实数根.
（2）解：由题意得，.
又因为的斜边，
所以，所以，即，
所以，解得，.
因为，为两个正根，所以.
22．【答案】（1）y=200-10x；0（2）解：设商品的总利润为w元，则
w= (50-40+x) (200-10x)
∵a=-10<0，
∴当 时，w有最大值，
最大值为： (元)，
此时售价为55元，
∴当商品售价为每件55元时，获得最大利润2250元.
23．【答案】（1）解：如图1，
，
过作轴于，过作轴于，
∵正方形的顶点A、B的坐标分别为、，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
当点C的坐标为时，，解得：
∴a、b的值分别为2，6.
（2）解：当时，，理由如下：
∵顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴当时，，
∴，即，
∴，
由图可得，，
∴.
（3）解：当时，，由图可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过作轴于，过作轴于，
∴，，则
设，则，，
∴，
∵当G为的三等分点时，
∴，或，
当时，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象过点G，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，，
∴；
同理当时，，；
综上所述，当G为的三等分点时，点E的坐标为或．
24．【答案】（1）解：已知二次函数 (b，c为常数)的图象经过点A(-3，9)，对称轴为直线
解得：b=1，
将点A的坐标代入 得：
∴抛物线为
（2）解：将点B(1，2)向左平移m(m>0)个单位长度，向上平移(m+4)个单位长度，
∴平移后的点为(1-m，m+6).
又在
解得： (舍去负值)；
点C落在 的图象上；理由如下：
∵点C(m-3，-m+10)的坐标为
当 时，
∴点C落在 的图象上
（3）解：
当x=-2时，
当 时，最大值与最小值的差为
解得： 不合题意，舍去；
当 时，最大值与最小值的差为 符合题意，
当n>1时，最大值与最小值的差为
解得 或 不合题意，舍去，
综上所述，n的取值范围为
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