资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026-2027学年九上数学第8周《圆的切线》
【知识梳理】
1.有公共点连半径，无公共点作垂线。这是最容易混淆的一步——先判断"有没有公共点"。
2.四大解题模型
①模型1：连半径证垂直（判定切线） 连OC → 证∠OCD=90° → CD是切线
常见辅助：用等腰、平行、角平分线凑出直角
②模型2：切线长 + 勾股 已知半径r、外点距离OP → 切线长 PA=√(OP -r )
动态最值：PA最小 OP最小（转化为点到直线距离）
③模型3：切线 + 直角三角形相似 连半径得直角 → 构造直角三角形 → 用相似或勾股求线段
（"直径连直角 + 切线连半径"双辅助线）
④模型4：切线 + 面积法求半径 判定看"有没有公共点"，性质记"连切点得垂直"，计算靠"切线长+勾股+相似"。
3.遇切线必连半径，遇最值转距离。
【知识导航】
在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，如果∠CAD＝∠CBA，你看到了什么？
【课前热身】
1．（2018秋 江阴市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与⊙C的位置关系为___________ ．
2．（2026秋 玄武区校级作业）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AO、PB的延长线相交于点C，⊙O的半径为3，BC＝4，求切线PA的长．
3．（2022秋 同步）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若AD＝2BD，CD＝2，求⊙O的半径．
4．（2024秋 同步）给出下列说法：
①各边相等的圆内接多边形是正多边形；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确
5．（2025秋 南京校级月考）如图，在⊙O中，AB是直径，CD与⊙O相切于点C，CD⊥AD，垂足为D．
（1）求证：∠BAC＝∠CAD；
（2）若AB＝6，AC＝5，求AD的长．
6．（2026 鼓楼区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O经过B，C两点，且与AD相切，则⊙O的半径为__________________ ．
7．（2025秋 玄武区期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点A，与y轴的一个交点为B．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（3，0），则点B的坐标是（　　）
A．（0，7） B．（0，8） C．（0，9） D．（0，10）
8．（2024 鼓楼区校级模拟）如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式为
9．（2024秋 建邺区校级月考）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
10．（2021秋 任城区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
11．（2024 湖北一模）定义：点P、点Q分别为两个图形G1、G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为图形G1和G2的“远距离”．线段AB和⊙O是平面直角坐标系xOy中的两个图形，其中，点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣4），⊙O半径为1．下列关于线段AB与⊙O的“距离”说法，正确的是（　　）
A．“近距离”是4 B．“近距离”是5 C．“远距离”是6 D．“远距离”是8
12．（2019秋 惠山区校级期中）如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）
A． B．10 C．7.2 D．
13．如图，平面直角坐标系中，点O是坐标原点，半径为2的⊙P与y轴相切，且圆心P在反比例函数y（k＞0）第一象限的图象上，点Q是⊙P上的动点，已知OQ的最小值是2，则k的值为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
14．（2017 无锡）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（　　）
A．11 B．54 C．55 D．12
15．（2025秋 秦淮区期末）如图，⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，B，且与边CD相切，切点为E．记正方形ABCD的周长为a，⊙O的周长为b，则a与b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
16．（2018 南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C
旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点
F，则CF的长为_____ ．
17．（2026 南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O经过点B并且与边AC相切；（不写作法，保留痕迹）
（2）D是边AB上一点（点D不与点B重合），若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是____________________ ．
【典型例题】
1．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
2．（2025 南京）如图，O是 ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
（2）当AB与⊙O相切时， ABCD是菱形吗？说明理由．
3．（2023 南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
4．（2008 南京）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP＝10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
5．（2022秋 秦淮区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．⊙C的半径长为1，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，求m的取值范围．
6．（2025秋 邗江区期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径．
【巩固提升】
1．（2025 温州校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为____________________ ．
2．（2023 凉山州模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ___________________ ．
3．（2015 南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2024 南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．5 D．9
5．（2026 建邺区二模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为_______ °．
6．（2012 玄武区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB＝∠ACB．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DAB＝30°，AB＝1，求弦AB所对的弧长；
（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为？若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．
∵AB、CD是⊙O的切线，
∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，
∴∠ABO＝∠ACD＝90°，
∵AD＝2BD，
∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，
在RtACD中，∵CD＝2，AD＝4，
∴∠A＝30°，
在Rt△AOB中，
∵AB＝6，∠A＝30°，
∴OBAB＝2，
即⊙O的半径为2．
4．（2024秋 同步）给出下列说法：
①各边相等的圆内接多边形是正多边形；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确
【解答】解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；故符合题意；
②各边相等的圆外切多边形不是正多边形；故不符合题意；
③各角相等的圆内接多边形不是正多边形；故不符合题意；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形；故符合题意；
故选：A．
5．（2025秋 南京校级月考）如图，在⊙O中，AB是直径，CD与⊙O相切于点C，CD⊥AD，垂足为D．
（1）求证：∠BAC＝∠CAD；
（2）若AB＝6，AC＝5，求AD的长．
【解答】（1）证明：在⊙O中，AB是直径，CD与⊙O相切于点C，CD⊥AD，如图，连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠CAD．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°．
由（1）知∠BAC＝∠CAD，且∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，即，解得．
6．（2026 鼓楼区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O经过B，C两点，且与AD相切，则⊙O的半径为　　 ．
【解答】解：如图，设⊙O与AD相切于点F，连接OF，作OE⊥BC于点E，
则OF⊥AD，BE＝EC＝2，
∵AD∥BC，
∴点E、O、F在同一条直线上，
∴EF＝4，
设⊙O的半径为r，则OE＝4﹣r，
在Rt△OBE中，OB2＝OE2+BE2，即r2＝（4﹣r）2+22，
解得：r，
故答案为：．
7．（2025秋 玄武区期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点A，与y轴的一个交点为B．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（3，0），则点B的坐标是（　　）
A．（0，7） B．（0，8） C．（0，9） D．（0，10）
【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于点D，连接PA、PB，
∵⊙P与x轴相切于点A，
∴PA⊥x轴，
则四边形DOAP为矩形，
∴PD＝OA＝3，OD＝PA＝3，
在Rt△BDP中，PD＝3，PB＝5，
由勾股定理得：BD4，
∴OB＝OD+BD＝5+4＝9，
∴点B的坐标为（0，9），
故选：C．
8．（2024 鼓楼区校级模拟）如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式为 y（x＞0）　 ．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F；
∵AD、BC分别是⊙O的切线，
∴∠OAD＝∠OBF＝90°，
又∵DF⊥BC，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF＝AB＝12cm，BF＝AD；
∵AD、BC、DC分别为⊙O的切线，
∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，CF＝y﹣x；
∴DC＝x+y；
由勾股定理得：DC2＝DF2+CF2，
即（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理得：xy＝36，
∴y，
∴y关于x的函数解析式y（x＞0），
故答案为y（x＞0）．
9．（2024秋 建邺区校级月考）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
10．（2021秋 任城区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（　　）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
【解答】解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形．
∴AC＝OD，OC＝AD．
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径．
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB．
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10．
在Rt△PAD中，根据勾股定理，得PD6，
∴OP＝PD+DO＝11．
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故选：C．
11．（2024 湖北一模）定义：点P、点Q分别为两个图形G1、G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为图形G1和G2的“远距离”．线段AB和⊙O是平面直角坐标系xOy中的两个图形，其中，点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣4），⊙O半径为1．下列关于线段AB与⊙O的“距离”说法，正确的是（　　）
A．“近距离”是4 B．“近距离”是5
C．“远距离”是6 D．“远距离”是8
【解答】解：如图所示，
E点距离线段AB最近，EH为⊙O与线段AB的近距离，E（﹣1，0），H（﹣3，0），
∴EH＝﹣1﹣（﹣3）＝2
F点距离线段AB最远，AF为⊙O与线段AB的远距离，A（﹣3，4），H（﹣3，0），O（0，0）
∴AH＝4，OH＝3
∴
∴AF＝AO+OF＝5+1＝6．
故选：C．
12．（2019秋 惠山区校级期中）如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）
A． B．10 C．7.2 D．
【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB．
∵A（12，0）、B（0，9），
∴AO＝12，BO＝9，
∴AB＝15，
∴∠AOB＝90°，FO+FD＝PQ，
∴FO+FD≥OD，
当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD，
∴OD7.2．
故选：C．
13．如图，平面直角坐标系中，点O是坐标原点，半径为2的⊙P与y轴相切，且圆心P在反比例函数y（k＞0）第一象限的图象上，点Q是⊙P上的动点，已知OQ的最小值是2，则k的值为（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
【解答】解：连接OP交⊙P于Q，此时OQ的值最小，设⊙P与y轴相切于点E，连接PE．
∵OE是切线，
∴PE⊥OE于E，
由题意：OQ＝PQ＝PE＝2，
在Rt△OPE中，OE2，
∴P（2，2），
∴k＝4，
故选：B．
14．（2017 无锡）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为（　　）
正方形ABCD的周长为a，⊙O的周长为b，则a与b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
【解答】解：连接OE、OA，EO的延长线交AB于F点，如图，
∵⊙O与边CD相切于E点，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，∠B＝∠C＝90°，
∴EF⊥AB，
∴AF＝BF，
∵∠B＝∠C＝∠BFE＝∠CEF＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
∴EF＝BC，
设⊙O的半径为r，正方形ABCD的边长为2x，则AF＝x，OA＝r，OF＝EF﹣OE＝BC﹣OE＝2x﹣r，
在Rt△OAF中，（2x﹣r）2+x2＝r2，
解得xr，
∵a＝8xr，b＝2πr，
∴a＞b．
故选：A．
16．（2018 南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C
旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点
F，则CF的长为　4　 ．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD'于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，
∴B′H＝OE＝2.5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，
∴CG＝B′E＝OH2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4，
故答案为：4．
17．（2026 南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O经过点B并且与边AC相切；（不写作法，保留痕迹）
（2）D是边AB上一点（点D不与点B重合），若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是　　 ．
【解答】解：（1）如图，作∠ABC的角平分线，交AC于点E，过点E作AC的垂线交AB于O，以O为圆心，OB为半径画圆，则⊙O即为所求．
∵点O是BE垂直平分线与AB的交点，
∴OB＝OE，点E在⊙O上，
∴∠OBE＝OEB，
∵∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
（2）如图所示：
当⊙O1与AC相切时，⊙O1与AC有一个交点，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴，
设O1B＝O1D＝x，则BD＝2x，
由（1）可知，O1E∥BC，
∴△AEO1∽△ACB，
∴，即，
解得，
∴，
当点D与点A重合时，
∵∠C＝90°，AB为直径，
∴点C在⊙O2上，⊙O2与AC有两个交点，符合题意，
∴BD长的取值范围是，
故答案为：．
18．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
【解答】（1）如图，连接OC，OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠OED＝∠FEC，
∴∠OED＝∠FCE，
∵AB是直径，D是的中点，
∴∠DOE＝90°，
∴∠OED+∠ODC＝90°，
∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线．
（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2
∴42+r2＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴OB＝OD＝3，
∵∠DOB＝90°，
∴BD2＝OD2+OB2，
∴．
19．（2025 南京）如图，O是 ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
（2）当AB与⊙O相切时， ABCD是菱形吗？说明理由．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OE，延长EO交AD于F，
∵O是 ABCD的中心，
∴BD过点O，OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ODF＝∠OBE，∠DFO＝∠BEO，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF＝OE，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
∴OF⊥AD，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图， ABCD是菱形，理由如下：
设AB与⊙O相切于H，连接OH，OE，BD，
∵点O是 ABCD的中心，
∴BD过点O，
∵BC与⊙O相切于E，
∴OH⊥AB，OE⊥BC，
∵OH＝OE，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
20．（2023 南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
【解答】（1）证明：过A作直径AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠E+∠EOM＝90°，
∵AC⊥EF，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠E＝∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G，
∴∠DAF＝∠G，
AC＝CG；
（2）解：∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM，
设∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，
∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α，
如图：过A作直径AM，交BC于点H，连接AE，
∵EF⊥AC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，
∴EC＝AE，
∵BH＝HC，又EB＝CG，
∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，
∴AE＝AG，
∴EC＝AG，
∵EB＝CG，
∴EB+BC＝BC+CG，
∴EC＝BG，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°+3α＝90°﹣2α，
∴α＝9°，
∴∠BAC＝4α＝36°；
（3）答：当CG＝6，BE＝0；
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
说明：①当BE＝0时，即点E与B重合，
在△BOH和△AOD中，
，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°，
∴∠G＝30°＝∠CAG，
∴CA＝CG＝6；
②当CG≥6时，如图：
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH∽△ECD，
∴，
∴，
∴，
∴BECG2﹣6，
∴BE随CG的增大而增大．
③当3＜CG＜6时，如图，
∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，
∴△AMC∽△EDC，
∴，
∴，
∴，
∴BECG2+6，
∴BE随CG的增大而减小．
综上所述：
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
21．（2008 南京）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP＝10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
【解答】解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP＝90°，（2分）
∵OP＝10，OQ＝6，
∴PQ8（cm）．（3分）
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA＝5t，PB＝4t，
∵PO＝10，PQ＝8，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA＝∠PQO＝90°，（4分）
∵∠BQO＝∠CBQ＝∠OCB＝90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ＝OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ＝OC＝6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ＝PQ﹣PB＝8﹣4t，
∵BQ＝6，
∴8﹣4t＝6，
∴t＝0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ＝PB﹣PQ＝4t﹣8，
∵BQ＝6，
∴4t﹣8＝6，
∴t＝3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）
22．（2025 温州校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为　　 ．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
连接OP，OM，
∵PM，PN是⊙O的切线，
∴∠OPM∠MPN，
要∠MPN最大，则∠OPM最大，
∵PM是⊙O的切线，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△PMO中，OM＝ODCD＝2，
∴sin∠OPM，
∴要∠OPM最大，则OP最短，
即OP⊥AE，
如图2，延长DC交直线AE于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∵点E是BC的中点，
∴BEBC＝3，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB＝4，
∵CD是⊙O的直径，
∴OCCD＝2，
∴OG＝OC+CE＝6，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE，
∴△ABE∽△GPO，
∴，
∴，
∴OP，
在Rt△PMO中，PM，
故答案为：．
23．（2023 凉山州模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 　　 ．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE＝OF；
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴由勾股定理，得BC＝8；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD＝S△ACD，
又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，
∴AB OEBD OFCD AC，即10×OE+4×OE＝4×6，
解得OE，
∴⊙O的半径是，
故答案为．
24．（2022秋 秦淮区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．⊙C的半径长为1，P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，则m的取值范围是 　m　 ．
【解答】解：作CE⊥AB于点E，作EF切⊙C于点F，连接CF，则CF＝1，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB4，
∴4CE2×2S△ABC，
∴CE，
∵EF⊥OF，
∴∠CFE＝90°，
∴EF；
作BD切⊙C于点D，连接BD，则CD＝1，
∵BD⊥CD，
∴∠CDB＝90°，
∴BD，
观察图形可知，点P的位置有4个需要满足的条件是EF＜m＜BD，
∴m的取值范围是m，
故答案为：m．
25．（2025秋 邗江区期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA、OB、OC，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BE，延长CO交AB于点F，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
由（1）得，OC是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠BFC＝90°，
又∵OB＝OE，
∴OF是△ABE的中位线，
∴，
设OB＝OC＝r，
在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理得：
BF2＝BC2﹣CF2，即，
BF2＝OB2﹣OF2，即BF2＝r2﹣42，
∴，
90﹣r2﹣8r﹣16＝r2﹣16，
2r2+8r﹣90＝0，
r2+4r﹣45＝0，
解得r＝5或﹣9（舍），
∴⊙O的半径为5．
26．（2012 玄武区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB＝∠ACB．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DAB＝30°，AB＝1，求弦AB所对的弧长；
（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为？若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．
∵AM是⊙O直径，
∴∠ABM＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠AMB+∠MAB＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
在⊙O中，∵∠DAB＝∠ACB，且∠ACB＝∠AMB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAB+∠MAB＝90°，即AO⊥AD；
又∵直线AD经过半径OA的外端点A，
∴直线AD与⊙O相切．
（2）连接AO、BO．
在⊙O中，∵∠DAB＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
∵AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO＝BO＝AB＝1
的长，或者的长；
（3）2或1．
作直径AC，则∠ABC＝90°，
又∵OM⊥BC，
∴AB∥OM．
∴OMAB，
则当AC是直径时满足条件，此时AC＝2；
过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，垂径定理可知OM2OCAB．则△AOC是等边三角形．
则AC＝OC＝1．
27．（2015 南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/19 21:48:21；用户：纪老师；邮箱：19962060260；学号：40085985
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑