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广东省广州市期中考试模拟试卷拔尖卷人教版2026—2027学年九年级数学上册
（测试范围：第25章一元二次方程到第28章旋转，全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若a+c=b，则关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（　　）
A．2 B．1 C．-1 D．0
4．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．反比例函数的图像一定经过的点是（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（　　）
①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为　 　．
12．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，原点为对角线的中点，轴，点的坐标为，，点的坐标为　 　．
14．如图，平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为　 　．
15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为　 　米．
16．如图，正方形OABC的边长为a，顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，正方形CDEF的边长为b，顶点 F在x轴的负半轴上，若双曲线y 恰好同时经过点 B和点E，则的值是　 　.
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图1， 和 的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”.
（1）在图1 的3×3 正方形网格中，格点 和格点 关于某条直线对称，请画出图1 中的对称轴.
（2）请在图2 中画出 绕点 顺时针旋转后得到的格点 .
19．已知关于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k为常数）.
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
20．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　 　件，每件商品，盈利　 　元(用含x的代数式表示)；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
21．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
22．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连接，求点到线段的距离．
23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
（1）求的值；
（2）若，求点坐标；
（3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
24．我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性．
（1）下列代数式具有非负性的有 （填序号）；
； ；
； ．
（2）已知：，，， 试问是否具有非负性？ 请说明理由；
（3）二次三项式（，，为常数，），对任意的不等式 恒成立．
①代数式 非负性；（填“具有”或“不具有”）
②若，二次函数 与直线交于点，，用线段围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．
参考答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：选项A：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
选项B：既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项D：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，
，方程无实数根；
B、，
，方程有两个相等的实数根；
C：，
，方程有两个不相等的实数根；
D：，方程没有实数根；
故答案为：B.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，代入方程中，
，
，
∴，．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：平移后的抛物线的解析式为.
故选：C．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：C．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：A、当时，， 故是反比例函数的图象一定经过的点，此选项符合题意；
B、当时，， 故反比例函数的图象经过的点，此选项不符合题意；
C、当时，，故一定不是反比例函数的图象一定经过的点，此选项不符合题意；
D、当时，，故一定不是反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意，
故选：A．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，
，，
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，
，
，
由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，
故答案为：B．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC，
∵，
∴，
由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵若点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：A.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：由图象开口向上，可知，图象交y轴负半轴，可知，
∵抛物线与轴交于，，
∴对称轴，
∴．
∴，故①错误；
二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，，
该函数的对称轴为直线，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∵，抛物线开口向上，在抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大，
则，故②错误；
时，，
；故③正确；
对称轴是直线，，
当，有最小值，
，
，故④错误；
综上所述：错误的有①②④，共3个．
故选：D．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”，
∴是多项式的“衍生值”，
∵方程的解是多项式的“衍生值”，
∴是多项式的“衍生值”，
∵二次多项式和的“衍生值”都相等，
∴，即，
∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，
∴，解得，
∴．
故选：B；
11．【答案】4
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m
根据韦达定理得：
解得：．
故答案为：4．
12．【答案】4051
【解析】【解答】解：∵α，β是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
则
，
故答案为：4051．
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，点为对角线的中点，是对角线，
∴点为的中点，即与相交于点，
∴点为的对称中心，
∴点和点关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴，
又∵，且轴，
即点向左平移个单位得到点，
∴点的坐标为．
故答案为：．
14．【答案】5
【解析】【解答】解：，点的坐标为，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
∴轴，
∴轴，
点的坐标为，
点恰好落在双曲线上，
故答案为：．
15．【答案】6
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
抛物线顶点坐标为(0，0)，且经过（-2，-2），（2，-2）
设抛物线的解析式是
代入得：0=a×0+b×0+C，
-2=4a-2b+c
-2=4a+2b+c
求出a=-0.5，b=0，c=0
抛物线解析式，
若水面下降米时 此时Y=-2+(-2.5)=-4.5
把代入抛物线解析式得出：-4.5=-0.5x，
解得：，
所以水面宽度为米，
故答案为：
16．【答案】
【解析】【解答】解：设DE与y轴的交点为点G，
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC=a，
∴B(a，a)
∵四边形CDEF是正方形
∴DE=EF=b，OG=b
∴EG=DE-DG=b-a
∵顶点F在x轴的负半轴上
∴E的横坐标为a-b
∴E(a-b，-b)
将B(a，a)、E(a-b，-b)代入得：
整理得：，
解得：或
∵a、b是正数，
∴
故答案为： .
17．【答案】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
.
解得，．
18．【答案】（1）解：格点△ABC和格点△DEF关于某条直线对称，如图1，直线l（对角线）即为所求；
（2）解：△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的格点△A'B'C，如图2，即为所求．
19．【答案】（1）解：把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴；
把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴，，即另一个根为-1.
（2）证明：∵ x2+kx-k-3=0 ，
∴，
∴无论k取何值，，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根.
20．【答案】（1）解：当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）2x；（50﹣x）
（3）解：根据题意，得：（50-x）×（30+2x）=2000，
整理，得：x2-35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
21．【答案】（1）解：设该抛物线的函数解析式为
由题意知：点，
把点代入得：
解得：
∴该抛物线的函数解析式为
（2）解：令时，
解得：
∴(米)
∴水面宽度增加米．
22．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴，
∵一次函数过点，，
∴，
解得：
∴一次函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，过点作于，过点作于，
，，
轴，，
点，，，
点，，，
∴在中，，
又，
∴，
解得：，
∴点到线段的距离为．
23．【答案】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；

（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【解析】【解答】（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
24．【答案】（1）
（2）解：不具有非负性，理由如下：
由题意可知：，
∴设，
则，，
∴
，
，
∴当时，，
答：不具有非负性；
（3）具有
解：②由①可知：，
，
，
恒成立，
，
即：，
化简，得：，
∴，
，，
由可得，
，两点坐标为，，
∴，
用围成一个平行四边形，要使其面积最大，则该平行四边形必为矩形，
设其一边长为，则另一边长为，
∴（），
故这个平行四边形面积的最大值为．

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