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第一章有理数能力提优卷
时间：90分钟 满分:120分
一 选择题(每小题3分，共30分)
1.(2026·盐城月考)马年春晚，机器人表演的节目《武BOT》刷屏海内外.若人形机器人向前进行15次空翻记作+15，则人形机器人向后进行10次空翻记作( )
A.+10 B.-10 C.+5 D.-5
2.(2025·北京月考)在-2,0,250%,- ,-(-2),-,-|+7|中，负有理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列各对数中，互为相反数的是 ( )
A.-(+5)与+(-5) 与-(+0.5)
C.-|-0.01|与 与0.3
4.(2025·北京月考)如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最小的点是 ( )
A.点A B.点 B
C.点C D.点 D
5.下列语句中正确的有 ( )
①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么-a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0 ℃表示没有温度.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有 ( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
7.代数推理下列推理一定正确的是 ( )
A.若a>0,b>0,则-a>b B.若a<0,b<0,则-a>b
C.若a>0,b<0,则-a>b D.若a>0,b<0,则-a8.下列说法正确的个数为 ( )
①若a>0,则|a|=a;②若a>b,则|a|>|b|;③若|m|=|n|,则m=n;④若|a|=7,则a=±7.
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2025·北京月考)十一假期小明的日常生活情境作息时间如图，将小明假期每日的作息时间表示在数轴上(1个单位长度表示1小时，右边的事件比左边的事件后发生)，已知小明22：30上床睡觉，则下列说法正确的是( )
A.小明早上7：00起床 B.小明一天的睡觉时长为14个小时
C.小明午饭和晚饭间隔4个小时 D. 小明18:30吃晚饭
10.(2026·武威月考)在数轴上，一个动点从初始位置P 处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至P ，第二次向左移动4个单位长度至 P ，第三次向右移动6个单位长度至P ，第四次向左移动8个单位长度至P ……若这个动点在完成第2026次(n为正整数)移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置P 在数轴上表示的数为( )
A.-2 026 B.2 026 C.1 013 D.-1013
二填空题(每小题3分，共24分)
11.(2025·昌都期末)比较大小: (填“<”或“>”).
12.已知a<0,且|a|>1,请写出一个符合条件的a的值: .
13.(2025·北京月考)若b为-3,则-[+(-b)]的相反数是 .
14.已知点P在数轴上，如果将点P 向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数是-1，那么点 P 所表示的数是 .
15.图纸上一个零件的直径标注为φ45±0.04 mm，表示这个零件直径的标准尺寸是45mm，现有该零件的6个产品,直径尺寸分别为45.04 mm,44.09 mm,45.02 mm,44.98 mm,45.01 mm,45.10 mm,其中合格的产品有 件.
16.(2026·西安模拟)一组数- ,- , ,- ，…，按一定的规律排列，请你根据排列规律，推测这组数的第50个数应为 .
17.(2025·泰州期末)在一条可以折叠的数轴上，点A，B 表示的数分别是-10，7，点C在AB上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点 B 的左侧点A'处，且点 A'，B之间的距离为5，则点 C 表示的数是 .
18.(2025·珠海期末)如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次.例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“-2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，-2，+3”，如果一组开锁密码为“-15，+8，-3”，要想打开锁，旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为 .
三解答题(本大题共7小题，共66分)
19.(8分)把下列各数填在相应的括号中：15,
整数:{ …};
非负数:{ …};
负分数:{ …};
正有理数:{ …}.
20.(8分)在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序排列出来.
-3.5,|-2|,-(-3),-(+1.5).
(1)画出数轴，并在数轴上表示上面各数.
(2)按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来.
21.(6分)已知
(1)求x,y,z的值;
(2)求 的值.
22.(8分)如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是-5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏(甲移动黑棋，乙移动白棋).
-5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7
两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动(石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局)，移动规则如下：
①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；
②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度；
③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度.
前四局的部分情况如下表：
局次 第一局 第二局 第三局 第四局
甲的手势 石头 剪刀 布 布
乙的手势 石头 布 石头
(1)从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数.
(2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是谁 此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少
(3)若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是什么 此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度
23.(12分)(2025·西安校级月考)同学们都知道：|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助如图的数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 ；表示-3和 2 的两点之间的距离是 .(一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-nl)
(2)如果|x-(-1)|=3,那么x= .
(3)若|a-3|=2,|b-(-2)|=1,且数a,b在数轴上表示的点分别是点A、点B,则A,B两点间的最大距离是 ，最小距离是 .
(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x-3|+|x-6|有最小值时x满足的条件，并求出最小值.
24.(12分)新定义(2025·北京月考)定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点 B的2倍原距点.已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m,n.(m≠4,n≠4)
(1)若点A 是点 M 的2倍原距点.
①当点 M 在数轴正半轴上时，m= ；
②当点M在数轴负半轴上，且点M到点A的距离等于点 M到点N的距离时，判断点 N是不是点A 的2倍原距点，并说明理由.
(2)若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M的运动速度为每秒2个单位长度，点N的运动速度为每秒a个单位长度.若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值.
25.(12分)项目式学习(2026·安徽模拟)综合与实践
制定排队方案
素材 育才学校八年级学生在劳动实践基地参加研学活动，并按8人一寝分配住宿.根据研学作息时间表，每个寝室8位同学需要在睡前排队完成洗漱，且同一时间仅有一人能进行洗漱.下表为某寝室第一天8人洗漱用时(以每人5分钟为标准，超出记为正数，不足记为负数).
学生 A B C D E F GH
用时/分+2-1.5+30-1-2-0.5+1
洗漱期间，每人开始洗漱前的时间称为排队时间.第一天，该寝室按A-B-C-D-E-F-G-H的顺序排队，A同学排队时间为0分钟，C同学排队时间为10.5分钟.该寝室同学希望探究出一种最合适的排队方案，使得所有人的总排队时间最短.
任务1：分析数据 计算第一天 F 同学的排队时间；
任务2：推理计算 计算第一天该寝室所有同学的总排队时间；
任务3：确定方案 请设计一种排队方案，使得该寝室所有人总排队时间最短，并求出最短总排队时间.
1. B解析：题目中规定向前进行空翻记为正，那么与它相反的向后进行空翻就应该记为负.所以向后进行10次空翻记作-10.故选 B.
归纳总结 “+”“-”的双重意义：①作为运算符号是加、减号；②作为数的性质符号是正、负号.
2. C 解析:在-2,0,250%, -(-2), -1+71中，负有理数有-2, -1+71,共3个.故选 C.
3. C 解析:A.-(+5)=-5,+(-5)=-5,选项 A不符合题意;B.-(+0.5)=-0.5,与 相等,选项 B不符合题意;C.-I-0.01I=-0.01, -0.01 与0.01 互为相反数,选项C符合题意； 与0.3不是相反数，选项D不符合题意.故选 C.
4. B 解析：因为A，B，C，D四个点，点B离原点最近，所以点B所对应的数的绝对值最小.故选 B.
5. A解析：①0不带“-”号但不是正数，故原说法错误；②如果a是正数，那么-a一定是负数，故正确；③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误；④0℃表示温度为0摄氏度，故原说法错误.故正确的有1个.故选 A.
6. C 解析:根据数轴的特点,-6.3到-1之间的整数有-6,-5,-4,-3,-2共5个,0到4.1之间的整数有1,2,3,4共4个,所以被墨迹盖住的整数点有5+4=9(个).故选C.
7. B 解析:A.若a>0,b>0,则-a是负数,因为正数大于负数,所以-ab，故此选项符合题意；C.若a>0，b<0，则-a是负数，所以-a与b都是负数，大小关系不确定，故此选项不符合题意;D.若a>0,b<0,则-a是负数,所以-a与b都是负数，大小关系不确定，故此选项不符合题意.故选 B.
考试秒杀 本道选择题还可以用特殊值法解题，比如A 选项因为a>0,b>0,假设a=2,b=1,则-a=-2,-2<1,故A选项不符合题意.
8. B 解析:①若a>0,则|a|=a,正确;②若a>b,如a=-1,b=-2,-1>-2,|-1|=1,|-2|=2,即|-1|<|-2l,此时|a|<|b|,故原说法错误;③若|ml=|n|,则m=n或m=-n,故原说法错误;④若|a|=7,则a=±7,正确.所以正确的有①④,共2个.故选 B.
9. D解析：依题意，22：30表示数字7，从起床到睡觉中间间隔了14个小时，则起床时间为8：30，故A 选项错误；小明一天的睡觉时长为24-14=10(个)小时，故B选项错误；小明午饭和晚饭间隔6个小时，故C选项错误；7-3=4，吃晚饭时间为18：30故D 选项正确.故选 D.10. B解析：由题知，设P 在数轴上表示的数为x，则根据所给移动方式可知，第一次移动后的位置表示的数为x+2，第二次移动后的位置表示的数为x-2，第三次移动后的位置表示的数为x+4，第四次移动后的位置表示的数为x-4……所以第2 026次移动后的位置表示的数为x-2 026.因为第2026次移动后落在原点处，所以初始位置P 表示的数为2 026.故选 B.
11.> 解析:
12.-2(答案不唯一)解析：根据题意可知，a<-1，写出一个符合条件的a的值为-2.
13.3 解析:因为b=-3,所以-b=-(-3)=3,-[+(-b)]=-3,-3的相反数是3.
14.-4解析：将数轴上表示数-1的点向左移动6个单位长度，所得点表示的数为-1-6=-7，再将表示-7的点向右移动3个单位长度，所得点表示的数为-7+3=-4，所以点 P 所表示的数是-4.
15.4解析：该零件直径的标准尺寸为45 mm，那么合格产品的直径范围为 44.96 mm~45.04 mm,合格产品的尺寸有45.04 mm,45.02 mm,44.98 mm,45.01 mm,共4件.
归纳总结 我们把“200±3”称为双向对称公差，表示基准是200,变化范围是197~203;“100±20”称为双向非对称公差,表示基准是100，变化范围是80~115.这些表示方法常常用于工程图纸标注、包装袋说明等.
16. 解析：观察数可得，分子是从2开始连续的偶数，分母是分子加1，奇数位置为正，偶数位置为负，所以这组数的第50个数是
17.-4解析：由题知，因为点B 表示的数为7，点A'在点 B 左侧且点A'，B之间的距离为5，所以点A'表示的数为7-5=2.又因为点A 表示的数为-10，点C在A和A'之间，且点C到点A 的距离等于点 C到点A'的距离，所以点C到点A 的距离为6，所以点 C表示的数为-4.
18.30 解析:根据题意“-15,+8,-3”表示,先顺时针旋转15个小格，再逆时针旋转8个小格，最后顺时针旋转3个小格，15-8+3=10，即顺时针旋转10个小格.转盘型密码锁总的刻度线为40，因为40-10=30，所以要想打开锁，旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示的数为30.
19.整数:{15,-3,-4,0,171…}; (2分)
非负数：{15,0.81, ,0,3.14,π/2,1.6,171…}; (4分)
负分数：{- ,-3.1…}; (6分)
正有理数：{15,0.81, ,3.14,1.6,171…}. (8分)
20.(1)|-2|=2,-(-3)=3,-(+1.5)=-1.5, (3分)
在数轴上表示各数如图：
(5分)
(2)-3.5<-(+1.5)<|-2|<-(-3) (8分)
评分标准 本题第(1)小问5分，第(2)小问3分.
21.(1)因为 |x-7|+|4-y|+ |z-3|=0,所以x-7=0,4-y=0,z-3=0,解得x=7,y=4,x=3.
(2)由(1)知x=7,y=4,z=3,
所以|x|-|-y|-|z|=|7|-1-4|-|3|=7-4-3=0. (6分)
评分标准 本题每小问3分，第(1)小问x，y，z的值各1分.
22.(1)从起始位置开始，第一局结果为平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度到-4，乙将白棋向左移动1个单位长度到4.
(2分)
(2)由表格可知：第二局甲赢，所以甲将黑棋向右移动2个单位长度，甲在数轴上的位置为-2；乙将白棋向右移动1个单位长度，乙在数轴上的位置为5；
由表格可知：第三局甲赢，所以甲将黑棋向右移动2个单位长度，甲在数轴上的位置为0；乙将白棋向右移动1个单位长度，乙在数轴上的位置为6.
所以第三局结束时甲离原点更近，所以甲获胜， (3分)此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0. (5分)
(3)因为第三局结束时，白棋在数轴上的位置所对应的数是6，第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，所以第四局乙赢，所以乙第四局的手势是剪刀， (6分)
所以黑棋在数轴上的位置所对应的数是-1，
所以此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度. (8分)
评分标准 本题第(1)小问2分，第(2)(3)小问每小问3分.
23.(1)35 解析：由题知，数轴上表示4和1 的两点之间的距离是3，表示-3和2的两点之间的距离是5. (2分)
(2)-4或2 解析:|x-(-1)|的值可看成数轴上表示数x的点到表示-1的点的距离，因为数轴上表示-4或2的点到表示-1的点的距离为3,所以|x-(-1)|=3中的x=-4或2. (4分)
(3)82 解析：|a-3|的值可看成数轴上表示数a的点到表示3的点的距离，因为数轴上表示1或5 的点到表示3的点的距离为2,所以|a-3|=2中的a=1或5;|b-(-2)|的值可看成数轴上表示数b的点到表示-2的点的距离，因为数轴上表示-3或-1的点到表示-2的点的距离为1,所以|b-(-2)|=1中的b=-3或-1，则A，B两点间的最大距离是8，最小距离是2. …(8分)
(4)|x-3|+|x-6|的值可看成数轴上表示数x的点到表示3和6的点的距离之和.
当表示数x的点在表示3的点和6的点之间时(包括端点)，|x-3|+|x-6|取得最小值为6-3=3, (10分)
所以当3≤x≤6时,|x-31+|x-6|取得最小值为3. (12分)
评分标准 本题第(1)小问每空1分，第(2)(3)小问每空2分,第(4)小问4分.
24.(1)①2 解析:由题知4=2|m|,所以m=±2.因为m>0,所以m=2. (2分)
②是.理由:因为m<0,所以m=-2.
因为点M到点A 的距离等于点M到点N的距离，点M 到点A的距离等于6，
所以点M到点 N的距离为6.
因为数轴上表示-8或4的点到表示-2的点的距离为6，
所以n=-8或4(舍去),所以n=-8, (4分)
所以点N到原点的距离为8，点N到原点的距离为点 A 到原点的距离的两倍，
故点N是点A的2倍原距点. (6分)
(2)a所有可能的值为4,8, , 解析：因为点A 在数轴上表示的数为4，
若点M 为点A的2倍原距点，点M 在数轴上表示的数为±8. (7分)
若点A 是点 N的2倍原距点，点N在数轴上表示的数为±2.… · (8分)
当点M在数轴上表示的数为8时，此时点M运动了1秒，点N在数轴上表示的数可能为±2，
即点N运动1s的距离a可能是6-2=4或6+2=8; (10分)
当点M在数轴上表示的数为-8时，此时点 M 运动了(10+
8)÷2=9(s),点N在数轴上表示的数可能为±2,即点 N 运动
9s的距离9a可能是6-2=4或(6+2=8, 或
综上所述，a所有可能的值为4，8， ,. … (12分)
评分标准 本题第(1)①小问2分,第(1)②小问4分,第(2)小问6分.
25.思路分析 任务1：计算每个同学的洗漱时间，再将A-B-C-D-E同学的洗漱时间相加；任务2：总排队时间等于每位同学的洗漱时间乘其后面排队的人数，再将所有结果相加；任务3：按洗漱用时从少到多排序再计算等待时间即可.
任务1：每个同学的洗漱时间：
学生 A B C D E F G H
用时/分 +2 -1.5 +3 0 -1 -2 -0.5 +1
洗漱时间/分 7 3.5 8 5 4 3 4.5 6
(2分)
7+3.5+8+5+4=27.5(分钟).
答：F同学的排队时间为27.5分钟. (4分)
任务2:7×7+3.5×6+8×5+5×4+4×3+3×2+4.5×1=49+21+40+20+12+6+4.5=152.5(分钟).
答：第一天该寝室所有同学的总排队时间为152.5分钟.… (8分)
任务3：按洗漱用时从少至多的顺序排列：F-B-E-G-D-H-A-C,…(10分)
排队时间为3×7+3.5×6+4×5+4.5×4+5×3+6×2+7×1=114(分钟).
答：最短总排队时间为114分钟.… (12分)
评分标准 本题每小问4分，应用题作答时须以“答：”总结，未写“答：”酌情扣1分.

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