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第二章有理数的运算压轴挑战(C卷)
时间:120分钟 满分:100分
压轴挑战1有理数的巧算
1.(10分)阅读下列材料，计算：
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式的倒数为
故原式=300.
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的.
请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：
2.(10分)(2026·合肥模拟)观察算式:
(1)按规律填空：
(2)计算(由此拓展写出具体过程)：
压轴挑战2 定义新运算
3.(10分)(2025·金华期末)研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题.
【观察运算】
①(+2)☆(+3)=1;(+8)☆(+3)=5;(-2)☆(-8)=6;(-7)☆(-4)=3;
②(+2)☆(-5)=-7;(+14)☆(-6)=-20;(-5)☆(+8)=-13;(-9)☆(+3)=-12;
③(+2)☆0=2;0☆(+4)=4;(-5)☆0=-5;0☆(-9)=-9;0☆0=0.
【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则：
①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值；
②异号两数进行“☆”运算，结果为 ；
③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为 .
【应用法则】计算：[(-10)☆(+3)]☆(-17).
【拓展延伸】探究结合律(a☆b)☆c=a☆(b☆c)是否成立 .
A.成立 B.不成立
4.(10分)新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”.定义运算[a]：若a是正数，则[a]就是这个数字积值；若a是负数，则[a]就是这个数字积值的相反数；若a是0，特别地，0的数字积值是0，则[0]=0.
例:[46]:146|=46→4×6=24→2×4=8,所以[46]=8;
[-39]:|-39|=39→3×9=27→2×7=14→1×4=4,因为原数是负数,所以[-39]=-4.
(1)计算:[134]= ;[-4722]= .
(2)若a是一个两位数，且[a]=6，写出满足条件的一个有理数a的值： .
(3)猜想：对任意整数m，n是否一定有[[m]×[n]]=[m×n]成立 若成立，请说明理由；若不成立，请举一个例子说明.
压轴挑战3绝对值的几何意义
5.(12分)(2025·广元月考)在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：15-3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-(-3)|，所以15+3|表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|.
[尝试运用]
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数-5，-1，3，那么点A到点B的距离是 ，点A到点C 的距离是 ；(直接填最后结果)
(2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-3，1，那么点A到点 B 的距离与点A 到点 C 的距离之和可表示为 (用含绝对值的式子表示)；
【拓展探究】
(3)利用数轴探究：
①满足|x-3|+|x+1|=8的x的所有值是 ;
②设|x-3|+|x+1|=m,当-1≤x≤3时,m的值是不变的,而且是m的最小值,这个最小值是 ;当x的值在 的范围时,|x-1|+|x-3|的最小值是2;当x的值取 时,|x-1|+|x-3|+|x-5|的最小值是 ;
(4)试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值.
压轴挑战4数轴上的动点问题
6.(10分)(2025·荆州期中)在数轴上,点A,B分别表示数a,b,且|a+6|+|b-10|=0,记AB=|a-b|.
(1)求AB 的值;
(2)如图，点P，Q分别从点A，B出发沿数轴向右运动，点P 的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度，求经过多少秒，点C 与点 P，Q的距离相等；
(3)在(2)的条件下，点M 从对应-8的点出发沿数轴向左运动，速度是每秒4个单位长度，求MP+MC-3MQ 的值.
7.(12分)如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上(A点在B点的左边)，若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到 B 点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A 点的位置时，A点与O 点重合.
(1)直尺AB 的长为 个单位长度.
(2)若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A 点对应的数为 .
(3)当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2个单位长度/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点 P从点A出发，以m个单位长度/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒.
①若B，P，C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 ；
②当t=15时，B，P，C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值.
压轴挑战5 有理数的实际应用
8.(4分)七年级一次数学活动中，某小组同学决定对如下问题进行探索：在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号最多是 个，最少是 个.
9.(10分)项目式学习(2025·抚顺期末)综合实践：根据背景素材，探索解决问题.
爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生.
素材1 准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店.
素材2 这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，向西为负，她这天行车里程(单位：km)如下:-3,+6,+2.5,-4,-10.
素材3 出租车价目表： 起步价(不超过3km时)车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费2元.
问题解决
任务1 问饭店在小丽家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算打车从礼品店到蛋糕店所用的车费；
任务3 现在打车有优惠，实际付费满10元即将获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券(每种优惠券只能在以后打车时每次只能使用一张).说说小丽在该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费.
压轴挑战6 进位制的探究
10.(12分)项目式学习
活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换
材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制.逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 十进制数 记作1 024; 八进制数( 记作(1 024) ; 五进制数( 记作(1 024) ; 二进制数( 记作(1011) ; n(n≥2，且n为整数)进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘 n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数.如：八进制数(1 024)8转化成十进制数为(
材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法.即用2连续除十进制数，直到商为0、逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法.同样地，十进制数转化为八进制数可用除八取余法.例如：
解决问题
任务 (1)将下列进制数转化为十进制数； (2)现有三进制数( 二进制数 试比较a，b的大小. (3)十进制数21 转化为二进制数得 ；十进制数 120转化为五进制数得 .
第二章压轴挑战(C卷)
1.一解析：没有除法分配律，故解法一错误. …(2分)
=-216. …6分
(2)因为
…(8分)
所以
(10分)
评分标准计算题必须有计算步骤，直接写答案酌情扣分.
2.(1)① 解析： (2分)
②9 解析： …(4分)
(7分)
…(10分)
评分标准 计算题必须有计算步骤，直接写答案酌情扣分.
3.【归纳法则】②两数差的绝对值的相反数 解析：题目②中(+2)☆(-5)=-12-(-5)|=-7,(+14)☆(-6)=-114-(-6)|=-20,规律为：异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数. (2分)
③这个数本身 解析:观察题目③中(+2)☆0=2,0☆(+4)=4,(-5)☆0=-5,0☆(-9)=-9,0☆0=0,规律为:0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为这个数本身.…(4分)
【应用法则】[(-10)☆(+3)]☆(-17)
— 8 —
=-|-10-3|☆(-17) (5分)
=(-13)☆(-17) (6分)
=|-13-(-17)| =1-13+171
==4.· (7分)
【拓展延伸】B 解析:取特殊值验证,例如a=1,b=2,c=3,左边:(1☆2)☆3=11-2|☆3=1☆3=|1-3|=2;右边:1☆(2☆3)=1☆12-3|=1☆1=|1-11=0,
左边=2，右边=0，两边不相等，故结合律不成立.故答案为B.
·(10分)
评分标准 本题【归纳法则】每空2分，【应用法则】【拓展延伸】每小问3分.
4.(1)2 -2 解析:根据“数字积值”的定义可知,[134]:11341=134→1×3×4=12→1×2=2,所以[134]=2,根据“数字积值”的定义可知,[-4 722]:1-4 7221=4 722→4×7×2×2=112→1×1×2=2,所以[-4722]=-2.(4分)
(2)23(答案不唯一) 解析:根据题意可知,[a]=6,所以a为正数,因为6=2×3,所以a=23.(6分)
(3)不一定成立， (7分)
当m=13,n=14时,
[m]=[13]=1×3=3,[n]=[14]=1×4=4,
所以[[m]×[n]]=[3×4]=[12]=1×2=2,
因为m×n=13×14=182,
所以[m×n]=[182]=1×8×2=16→1×6=6,
因为2≠6,
所以[[m]×[n]]=[m×n]对任意整数m,n不一定成立.
·· (10分)
评分标准 本题第(1)(2)小问每空2分，第(3)小问举例不唯一，合理即可.
5.(1)4 8 解析:由条件可知,A到B的距离是|-5-(-1)|=4,A到C的距离是|-5-3|=8.(2分)
(2) |x+3|+|x-1| 解析:由条件可知A 到 B 的距离与A到 C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|.(4分)
(3)①5或-3 解析:当x<-1时,|x-3|+|x+1|=8,即3-x-x-1=8,解得x=-3;当x>3时,|x-3|+|x+1|=8即x-3+x+1=8,解得x=5;当-1≤x≤3时,|x-3|+|x+1|表示-1,3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立.故x的所有值是5或-3..(6分)
②4 1≤x≤3 3 4 解析:设|x-3|+|x+1|=m,当-1≤x≤3时，m的值不变，且是m的最小值，最小值是3-(-1)=4；当x在1≤x≤3时,|x-1|+|x-3|的最小值是|3-1|=2;|x-1|+|x-3|+|x-5|表示x在数轴上对应的点到1，3，5在数轴上对应的点的距离之和,所以当x的取值是3时,|x-1|+|x-3|+|x-5|的最小值是4.(10分)
(4)当50≤x≤51时,|x-11+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值为x-1+x-2+x-3+…+x-50+51-x+52-x+…+100-x=(51-1)+(52-2)+…+(100-50)=50×50=2 500.(12分)
评分标准 本题第(1)小问每空1分，第(2)小问2分，第(3)①小问2分,第(3)②小问每空1分,第(4)小问2分.
6.(1)因为 la+61+1b-101=0,所以a+6=0,b-10=0,所以a=-6,b=10,…(1分)
所以AB=|-6-10|=16,所以AB 的值是16.(2分)
(2)设运动时间为t秒，则P 表示的数是-6+4t，Q表示的数是
10+t,C表示的数是3t,所以PC=1-6+4t-3t1= lt-61,QC=110+t-3t1=|10-2t|,(3分)
根据点C与点P,Q的距离相等,得|t-6|=|10-2t|,…(4分)
解得t=4或 所以经过4秒或 秒,点C 与点 P,Q 的距离相等.(6分)
(3)M表示的数是-8-4t,
因为P 表示的数是-6+4t,Q 表示的数是10+t,C表示的数是3t,所以MP=-6+4t-(-8-4t)= 8t+2,MC=3t-(-8-4t)=7t+8,MQ=10+t-(-8-4t)=5t+18,(8分)
所以MP+MC-3MQ=8t+2+7t+8-3(5t+18)=-44,
所以MP+MC-3MQ的值为-44.(10分)
评分标准 本题第(1)小问2分，第(2)(3)小问每小问4分.
7.思路分析 本题难点在第(3)②小问，需要分五种情况：
(I)当B是P,C中点时,(Ⅱ)当B与P重合时,(Ⅲ)当P是B,C中点时,(Ⅳ)当P与C重合时,(V)当C是P,B中点时.
(1)20 解析：因为当A点移动到B点的位置时，B点与 C点重合，所以AB=BC.因为当B点移动到A 点的位置时，A点与O点重合,所以OA=AB,所以OA=AB=BC.因为OC=60,所以AB= (2分)
(2)-5或-50 解析:因为OC=60,所以OB+BC=60 或BC-OB=60.因为BC=3OB,所以 或 OB=30,所以A点对应的数是15-20=-5或-30-20=-50,即A点对应的数是-5或-50.…(4分)
(3)①4 解析：当A点对应的数为20时，所以 B运动前表示的数是20+20=40.因为直尺AB 以2个单位长度/秒的速度沿数轴匀速向右运动,所以B,C重合时t=(60-40)÷2=10(秒).
因为点P从点A出发，以m个单位长度/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，若B，P，C三点恰好在同一时刻重合，所以10m=60-20,所以m=4.(6分)
②m的值是2或 或3或 或4. 解析:t=15时,运动后B表示的数是40+15×2=70,P 表示的数是20+15m,C 表示的数是60,
(Ⅰ)当 B是 P,C中点时,依题意有20+15m+60=70×2,解得m=4;…(7分)
(Ⅱ)当B与P重合时,依题意有20+15m=70,解得
(8分)
(Ⅲ)当P是B,C中点时,依题意有70+60=2(20+15m),解得m=3;……(9分)
(Ⅳ)当P与C重合时,20+15m=60,解得 (10分)
(V)当 C是 P,B中点时,依题意有20+15m+70=60×2,解得m=2.(11分)
综上所述，m的值是2或 或3或 或4.··…(12分)
评分标准 本题3个填空每空2分，第(3)②小问共6分.
8.8 4 解析:因为1+2+3+…+11+12=78,所以78÷2=39,所以添上负号的数的和为-39，其余数的和为39.要使添加的负号个数最多,需从小的数字前面加负号,-1+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+(-6)+(-7)=-28,-28+(-11)=-39,所以添加的负号个数最多是8个；要使添加的负号个数最少，需从大的数字前面加负号,-10+(-11)+(-12)=-33,-33+(-6)=-39,所以添加的负号个数最少是4个. (4分)
9.任务1:由题意可得-3+6+2.5-4-10=-8.5(km).
答：饭店在小丽家的西边8.5km处. (3分)
任务2:由题意可得8+(6-3)×2=14(元).
答：打车从礼品店到蛋糕店所用车费是14元. (6分)
任务3:由题意可得水果店到饮料店费用:8+(4-3)×2=10(元); (7分)
饮料店到饭店费用:8+(10-3)×2=22(元), (8分)
所以总车费:8+10×0.8+8+14+22×0.7=53.4(元).
答：小丽应在水果店到饮料店用8折券，饮料店到饭店用7折券，最低总车费为53.4元. (10分)
评分标准 本题任务1、2每问3分，任务3共4分，应用题作答时须以“答：”总结，未写“答：”酌情扣1分.
10.(1)①13解析：
②260 解析:(
(2)将三进制数和二进制数都转化为十进制数可知：
(5分)
(6分)
因为25>23,所以a>b. (8分)
(3)(10101) (440) 解析:21除以2的商为10,余数为1；10除以2的商为5，余数为0；5除以2的商为2，余数为1；2除以2的商为1，余数为0；1除以2的商为0，余数为1，逆序排列余数为10101,所以十进制数21转二进制数得(10101) ;120除以5的商为24，余数为0；24除以5的商为4，余数为4；4除以5的商为0，余数为4，逆序排列余数为440，所以十进制数120转五进制数得(440) . (12分)

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