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第二章有理数的运算能力提优 (B卷)
时间：90分钟 满分:120分
一选择题(每小题3分，共30分)
1.(2026·安庆月考)与 的和等于1的数是 ( )
A.2 B. C.0
2.下列说法正确的是 ( )
A. 近似数1.894 5精确到0.001 B.近似数0.520精确到百分位
C.近似数3.72精确到百分位 D.近似数5000精确到千位
3.请在 中填入最小的正整数，在△中填入最小的非负数，在□中填入大于-5且小于-3的整数,并计算结果. +(△+□)=( )
A.3 B.-4 C.-3 D.4
4.若定义新运算： 则计算- 1-21|的结果是 ( )
A.-1.5 B.-0.5 C.0.5 D.1.5
5.(2025·汕头期末)以下是嘉淇对一道题的解题过程：
··第①步
·第②步
=-60 第③步
下列判断正确的是 ( )
A.第①步运用了乘法交换律
B.第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误
C.第②步的运算结果正确
D.第③步的结果是本题的正确结果
6.有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x ，只显示不运算，接着再输入整数x ，则显示lx -x l的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是11-21=1.此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
7.已知三个有理数a,b,c满足a+b+c=0,|a|>|b|>|c|,则下列结论可能成立的是 ( )
A. a>0,b>0,c<0 B. a>0,c>0,b<0
C. a<0,b>0,c>0 D. a<0,c<0,b>0
8.下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：
第2个数：
第3个数：
……
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 ( ,
A.第10个数 B.第11个数
C.第12个数 D.第13个数
9.(2026·郴州月考)下列说法中，正确的是 ( )
①若 则a<0;
②2-|x-2024|的最大值为2;
③若|a|>|b|,则(a+b)(a-b)是负数;
④A，B，C三点在数轴上对应的数分别是-2，x，6，若相邻两点的距离相等，则x=2；
⑤若a+b+c=0, abc>0,则 的值为1.
A.①②④ B.①②④⑤ C.①②⑤ D.①②③⑤
10.将九个数分别填在3×3(3行3列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”.如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”.若图④为“和m幻方”，则m的值等于( )
A.6 B.3 C.-6 D.-9
二填空题(每小题3分，共24分)
11.(2025·萍乡期末)人声鼎沸的景区、香辣四溢的市集、热情澎湃的赛事、人潮涌动的商圈，2025年国庆中秋“双节”期间，萍乡市消费市场热度持续攀升，累计吸引4 243 600人次参与，实现成交金额3 505 000 000元,将数据3 505 000 000用科学记数法表示为 .
12.小明在计算1-3+5-7+9-11+13-15+17时,不小心把一个运算符号写错了(“+”错写成“-”或“-”错写成“+”)，结果算成了-17，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了.
13.数轴上有三个点A，B，C，它们对应的有理数为a，b，c，如果( 与|b-5|互为相反数，点C是正半轴上到原点距离为2的点，那么 的倒数是 .
14.(2025·无锡模拟)“24点游戏”：将一副牌抽去大小王两张牌，剩下52张，其中A=1,J=11,Q=12，K=13.从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的数算成24.每张牌必须用一次且只能用一次.如抽出的牌是9，7，J，2，那么算式为(9-7)×11+2=24.现在抽出的牌是2，3,9,Q,请写出你的算式: .
15.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.则前4个台阶上数的和是 ；第5个台阶上的数x= ；从下到上前35个台阶上数的和= .
16.如图是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为-2时，最后输出的结果y是 .
17.(2025·西安月考)观察下列等式: 个位数字为7; 个位数字为9; 个位数字是 个位数字是1； 个位数字是7……根据其中规律可得 的结果的个位数字是
18.|x-2 022|+2|x-2 023|+3|x-2 024|+4|x-2 025|+5|x-2026|的最小值为 .解答题(本大题共6小题，共66分)
19.(12分)计算:
20.(10分)规定符号“ *”的意义是 比如： 求下列各式的值：
(1)(-3)*2;
(2)(-3)*(-2)+4*(-1);
21.(10分)嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示(单位：mm)，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”.
(1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块的大多少毫米.
(2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果扣分(每超过1mm扣1分,每不足1mm扣3分).
①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分
②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果.
22.(10分)(2025·杭州期末)定义了一种非零有理数运算“Δ”，解答下列问题：
【观察运算】
①2Δ4=+(2+4)=6.
②(-2)△4=-(2+4)=-6.
③2△(-4)=-(2+4)=-6.
④(-2)Δ(-4)=+(2+4)=6.
【归纳法则】
(1)根据以上运算，归纳“△”运算的法则：
已知有理数a和b,其中,a≠0,b≠0.
当 ab>0时,a△b= ;当 ab<0时,a△b= .
【运用法则】
(2)利用上述法则,分别计算1Δ(-2)和(-2)Δ1,你有什么发现
【探究规律】
(3)请你验证下列等式是否成立：
①(1Δ2)Δ3=1Δ(2Δ3).
②[1Δ(-2)]Δ3=1Δ[(-2)Δ3].
③(1Δ2)Δ(-3)=1Δ[2Δ(-3)].
你有什么发现 试着用字母表示你发现的规律.
23.(12分)阅读下面材料，回答问题：
已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图①,AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|.
当A，B两点都不在原点时，
①如图②,点A,B都在原点的右边,AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|;
②如图③,点A,B都在原点的左边,AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-(-a)=a-b=|a-b|;
③如图④,点A,B在原点的两边,AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(-b)=a-b=|a-b|.
综上所述，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示数4和-1的两点之间的距离是5.利用上述结论，回答以下问题：
(1)若表示数a和-3的两点之间的距离是5，那么a= ；
(2)若数轴上表示数a的点位于表示数-1与8的两点之间，则|a+1|+|a-8|的值为 ；
(3)若x表示一个有理数,且|x-2|+|x+4|=8,则有理数x的值为 ;
(4)若有理数x,y满足(|x-4|+|x+3|)(|y+2|+|y-2|)=28,求x+y的最小值和最大值.
24.(12分)数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题.如图①，点A，O，B，C，D，E为数轴上的点，O为原点，A表示的数是-6，B为线段OC 的中点，C表示的数是12，D表示的数是18，将点 D 向右移动4个单位长度得点 E.如图②，我们将数轴在点 O、点 B、点 C 和点 D 处均弯折一次，弯折后AO，BC，DE处于水平位置，线段OB与CD 处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”.其中O为“弯折数轴”原点.在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离.
动点M从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点 N从点E出发以相同的速度沿着“弯折数轴”向左运动.当点 N 运动到点 B 后立即掉头返回向右运动(掉头时间不计)，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的3倍，水平位置保持初始速度不变.当点 M运动到点 D 时，点 M、点N均停止运动，设运动时间为t秒.问：
(1)点M 从点A 运动到点 D 用时 秒，此时点N对应的数为 .
(2)在运动过程中，当t为何值时点M与点N在点 P 处相遇 并求出点 P 在数轴上对应的数.
(3)在“弯折数轴”上，是否存在某一时刻t，使得M，B两点的距离是N，C两点距离的2倍 若存在，请直接写出所有t的值，并把求其中一个t的过程写出来；若不存在，请说明理由.
1. B解析：根据题意 故选 B.
2. C 解析:A.近似数1.894 5 精确到0.000 1,所以A 选项错误;B.近似数0.520精确到千分位，所以B 选项错误；C.近似数3.72精确到百分位，所以C选项正确；D.近似数5 000 精确到个位，所以D选项错误.故选 C.
3. C 解析:根据题意得,原式=1+(0-4)=-3.故选 C.
4. C解析：根据定义新运算可知， 故选 C.
5. B 解析:原式 第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误.故选 B.
6. C 解析:依次输入2,3,6,于是得到12-31=1,11-61=5;依次输入2,6,3,于是得到12-61=4,14-31=1;依次输入3,2,6,于是得到13-21=1,11-61=5;依次输入3,6,2,于是得到13-61=3,13-21=1;依次输入6,3,2,于是得到16-31=3,13-21=1;依次输入6,2,3,于是得到16-21=4,14-31=1.综上,全部输入完毕后显示的结果的最大值是5.故选 C.
7. C解析:因为|a|>|b|>|c|,所以在数轴上表示数a的点距离原点最远.因为a+b+c=0，所以当a在原点右侧时，则b，c在原点左侧；当a在原点左侧时，则b，c在原点右侧，所以a>0,b<0,c<0或a<0,b>0,c>0,故选C.
8. A解析：按此规律，第n个数： 可得n越大，第n个数越小.故选 A.
9. C 解析：①因为分母不为0，所以a≠0，又因为 所以 所以a<0,故①正确;②因为 lx-20241≥0,所以2-lx-2024l≤2,所以当 lx-2 024l=0时,代数式取得最大值2,故②正确;③当a=3,b=2时,131>121,所以满足1al>1b1,但(a+b)(a-b)=(3+2)×(3-2)=5>0,结果是正数,故③错误;④A，B，C三点在数轴上相邻两点的距离相等有三种情况，当x在-2和6 之间时,x-(-2)=6-x,解得x=2;当x在-2左侧时,-2-x=6-(-2),解得x=-10;当x在6右侧时,x-6=6-(-2),解得x=14,故④错误;⑤因为a+b+c=0,所以b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,.所以原式 ?( ).因为 abc>0,a+b+c=0,所以三个数中有 2个负数 1个正数，所以 所以原式=-(-1)=1,故⑤正确.综上,正确的说法是①②⑤.故选 C.
10. D解析：题图④中，由从上往下数第1行与从左往右数第1列三数和相等，便可求得从上往下数第3行第1个数为-2，观察题中前三个图可知正中间的数等于两边数相加的和的一半.因为-2-4=-6,所以正中间的数是(-6)÷2=-3,所以m=-2-4-3=-9.故选 D.11.3.505×10°解析:3 505 000 000=3.505×10 .
12.6 解析:因为1-3+5-7+9-11+13-15+17=9,9>-17,所以小明不小心把“+”写成“-”,因为9-(-17)=26,26÷2=13,所以小明将+13错写为-13.故答案为6.
解析：已知数轴上有三个点A，B，C，它们对应的有理数为a,b,c,因为(3-a) 与 lb-51互为相反数,所以(3-a) +1b-51=0,所以3-a=0,b-5=0,解得a=3,b=5.因为点 C是正半轴上到原点距离为2的点，所以c=2，所以 ，则其倒数为
14.(9-3)×2+12=24(合理即可) 解析:因为抽出的牌是2,3,9,Q,所以(9-3)×2+12=24.
15.3 -5 18 解析:由题意得前4个台阶上数的和是-5+(-2)+1+9=3,则有-2+1+9+x=3,解得x=-5,则第5个台阶上的数x是-5.由题意知台阶上的数字是每4个一循环，35÷4=8……3,因为-5-2+1+9=3,所以3×8+(-5)+(-2)+1=24-6=18.即从下到上前35个台阶上数的和为18.
解析：由题图可得，当x=-2时，| 当x= 时， 故答案为
17.7 解析:因为 7 =117 649,7 =823 543,7 =5 764801,…,所以从7 开始,底数为7的乘方运算结果的个位数字按7，9，3，1循环出现.因为2025÷4=506……1,则506×(7+9+3+1)+7=10 127,所以 的结果的个位数字是7.
18.15 解析：原式可以看成数轴上表示x的点到1个表示2 022的点、2个表示2 023 的点、3个表示2 024 的点、4 个表示2025的点、5个表示2026的点的距离之和,共1+2+3+4+5=15(个)点.因为数轴上有奇数个点时，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点，所以当x=2 025 时,原式有最小值,最小值=12025-2 022|+212025-20231+312025-20241+412025-20251+512 025-2 026|=3+2×2+3×1+4×0+5×1=15.
=2.8-0.8-4.1-0.7 (1分)
=-2.8 (3分)
=-1+(-125+44)÷9+2 (4分)
=-1-9+2 (5分)
=-8 (6分)
(7分)
(8分)
=35-9+21-12=35 (9分)
(10分)
=-1-8 (11分)
=-9 (12分)
评分标准 本题每小问3分，计算题必须有计算步骤，直接写答案的情扣分.
20.(1)由题意得,( (3分)
(2)(-3)*(-2)+4*(-1)=(-2) +(-3)+4 -(-1)=4-3+16+1(5分)
= 18. (6分)
(8分)
(10分)
评分标准 本题第(1)(2)小问每问3分，第(3)小问4分.
21.(1)由题意可得3-(-1)=3+1=4(mm).
故最大块的边长比最小块的大4mm. (3分)
(2)①10×2-1×3-3×1=14(分). (6分)
②1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸2mm的正方形木板.解析：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故嘉嘉又制作了2块正方形木板，计8分，所以有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸2mm的正方形木板.…(10分)
评分标准 本题第(1)小问3分,第(2)①小问3分,第(2)②小问4分.
22.(1)|a|+|b| - (|a|+|b|) 解析：根据题意可得，当ab>0时,a△b=|a|+|b|;当 ab<0时,a△b=-(|a|+|b|).…(2分)
(2)1△(-2)=-(1+2)=-3,.(3分)
(-2)Δ1=-(2+1)=-3, (4分)
发现：对于“△”运算，交换两个数的位置，结果不变.
(5分)
(3)①因为(1Δ2)Δ3=[+(1+2)]Δ3=3Δ3=+(3+3)=6,1△(2△3)=1△[+(2+3)]=1△5=+(1+5)=6,
所以(1△2)△3=1△(2△3),(6分)
所以①成立；
②因为[1△(-2)]△3=[-(1+2)]△3=-3△3=-(3+3)=-6,1△[(-2)Δ3]=1Δ[-(2+3)]=1Δ(-5)=-(1+5)=-6,
所以[1Δ(-2)]Δ3=1Δ[(-2)Δ3],
所以②成立；(7分)
③因为(1Δ2)Δ(-3)=+(1+2)Δ(-3)=3Δ(-3)=-(3+3)=-6,
1△[2△(-3)]=1△[-(2+3)]=1△(-5)=-(1+5)=-6,
所以(1Δ2)Δ(-3)=1Δ[2Δ(-3)],
所以③成立.(8分)
发现：当三个数进行“△”运算时，结合律成立.
用字母表示为(a△b)Δc=a△(b△c). …(10分)
评分标准 本题第(1)小问每空1分，第(2)小问3分，第(3)小问5分.
23.(1)2或-8 解析:由题意,得 la-(-3)l=5,所以a+3=5或a+3=-5,得a=2或a=-8.…(2分)
(2)9解析：因为数轴上表示数a的点位于表示数-1与8的两点之间，|a+1|+|a-8|表示的含义为数轴上表示数a的点到表示-1与8的两点的距离和,由数轴可得|a+1|+|a-8|=9.……(4分)
(3)-5或3 解析:|x-2|+|x+4|表示的含义为数轴上表示数x的点到表示数-4与2的两点的距离和，分三种情况：当x≥2时，要使得数轴上表示数x的点到表示数-4与2的两点的距离之和为8,则可得x-2+x+4=8,得x=3;当-4≤x<2时,数轴上表示数x的点到表示数-4与2的两点的距离之和始终为6，不符合题意；当x<-4时，要使得数轴上表示数x的点到表示数-4与2的两点的距离之和为8,则2-x+(-4)-x=8,则x=-5.综上所述,有理数x的值为-5或3. …(4)根据题意,对于|x-4|+|x+31,数轴上,当x在-3和4之间时，表示数x的点到表示数-3与4的两点的距离和最小，最小值为1-3-41=7,所以 lx-41+lx+3l≥7;对于 ly+2l+ly-2l,数轴上，当y在-2和2之间时，表示数y的点到表示数-2和2的两点的距离和最小,最小值为1-2-21=4,所以 ly+21+ly、21≥4.又因为(|x-4|+|x+3|)(|y+2|+|y-2|)=28,所以-3≤x≤4,-2≤y≤2,所以x+y的最大值为4+2=6,最小值为-3;(-2)=-5.…分)
评分标准 本题第(1)(2)(3)小问每问2分，第(4)小问6分.
24.思路分析 (1)根据A，C，D表示的数，求出C和E表示的数，根据弯折之后相邻两点间距离不变，求出AO，OB，BC，CD，DE的长，再根据速度、时间、路程的关系求解M的运动时间；先确定N是否掉头，再根据时间确定N点停止的位置，即可求出N点所代表的数；(2)根据M到达B点时，N点的位置，可以得出相遇点的位置，再根据相遇问题求解相遇时间，进而可确定P所代表的数；(3)根据运动时间分类讨论，用t表示出M，B两点的距离是N，C两点的距离，列等式求解即可.
(1)13 16 解析:因为B是OC的中点,C表示的数是12,所以B表示的数是6.因为将点 D 向右移动4个单位长度得点E,所以DE=4,所以OA=OB=BC=CD=6,所以M从A到D所用时间为6÷2+6÷(2×3)+6÷2+6÷(2÷2)=3+1+3+6=13(秒).
因为N从E到B所用时间为4÷2+6÷(2×3)+6÷2=2+1+3=6(秒)，所以N已经从B点掉头.因为N从B到 C所用时间为6÷2=3(秒),从C到D所用时间为6÷(2÷2)=6(秒),6+3<13<6+3+6,所以停止时,N在CD上,此时,N与C的距离为(13-6-3)×1=4,所以点N表示的数为12+4=16.
(2)因为AO-DE=2,所以当M到B时,N在BC上且距离C点两个单位长度，所以P点在 BC上，所以从M到达B点,到M,N相遇所用时间为(6-2)÷(2+2)=1(秒),
所以相遇总时间为t=3+1+1=5(秒),BP=2×1=2,所以点P 表示的数为6+2=8.
(3)存在,
当0令BM=2CN,即12-2t=2(10-2t),
解得t=4>2，不符合题意；
当2令BM=2CN,即12-2t=2(18-6t),
解得t=2.4,符合题意;
当3令BM=2CN,即24-6t=2(2t-6),
解得t=3.6,符合题意;
当4令BM=2CN,即2t-8=2(2t-6),
解得t=2，不符合题意；
当6令BM=2CN,即2t-8=2(18-2t),
解得 不符合题意；
当7令BM=2CN,即t-1=2(18-2t),
解得t=7.4,符合题意;当9综上所述,t=2.4或3.6或7.4. (12分)
评分标准 本题每小问4分，第(3)小问需分类讨论，情况未讨论全的，酌情扣分.

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