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★2026年10月22日
2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2回答选择題时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1.等差数列{a}的前n项和为Sn,若a1=-1,a4=5,则S4=
A.12
B.8
C.6
D.4
2.集合A={1+a},B={-1,a2,2},若A二B,则实数a可能的值的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
3.下列命题是真命题的是
A.Hx∈R,x2+1=0
B.3x∈R,x2>1
C.3x∈R,|x+1=0
D.Vx∈R,x2-1≠0
4.等比数列{an}中，a1+a+a,=8,a2+a4+a6=12,则{an}的公比为
C.4
50,则++2)的最小值为
A.12
B.15
C.16
D.18
6.已知f(x)=|lnx,a=f3-05),b=f23),c=f(3.3),则a,b,c的大小顺序为
A.aB.bC.cD.c7.已知函数f代x)的定义域为D,命题p:对任意a∈R,存在x1,x2∈D,使得fx1)>a且f(x2)<-a,命是
q:f(x)的值域为R,则p是g的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
高三数学试题第1页（共4页）
x2-0x+3,x<4
8晒数的解析式为八)xt0324
,若(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为
A.[-2V5,25]
B.[-2√5，+o)
C.[-2,2]
D.[-2,25]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知a>0,b>0,则下列不等式可能成立的是
A.a2+b2>2ab
B.1+1≥1
a b ab
C.a+b<√ab
1+≤2
D.
·ab√ab
10.已知数列{a,}的前n项和为Sn,下列说法正确的是
A.数列{an}单调递增是数列{Sn}单调递增的充分不必要条件
B.数列{an}和数列{Sn}有可能都是单调递减数列
C.数列{a}和数列{Sn}有可能都是等差数列
D.数列{an}和数列{Sn}不可能都是等比数列
11.已知f(x)=√Tx+√x+a,下列说法正确的是
A.对任意a<0,则f(x)在[0，+o)上存在单调递减区间
B.存在a<0,使f(x)的值域包含的整数的个数有限
C.若关于x的方程f(x)=b有三个实数根，且最大的一个根为x=b,则a+b=144
D.存在a>0,使关于x的方程f(x)+x=0有三个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分：
12.数列{a,}满足a,+a1=元若a=1,则a=一
13.已知函数f(x)是偶函数，x≥0时，f(x)=x3+a,f(-1)=4,则x<0时，f(x)=
14.函数f(x)=(x2+ax+a)ln(x+1)的图像经过四个象限，则实数a的取值范围为
高三数学试题第2页（共4页）2026-2027 学年普通高中高三第一次教学质量检测
数学参考答案
一、选择题
1-8 . BDBA　 　 CDBD
二、选择题
9. ABD　 10. BCD　 　 11. AD
三、填空题
　
12. 5 　 13. -x3 +3　 14. (1- 56 ,02 )
四、解答题
15. 解:(1)m= 2 时,B= {x | 0CUB= {x | x≤0 或 x≥4} ………………………………………………………… 4 分
(CUA ) ∩ (CUB ) = {x | x≤-2 或 x≥4} ; ………………………………………… 6 分
(2)若 A∩B= ,则有以下两种情况:
①B= 时,即 2-m≥m2,得-2≤m≤1; ……………………………………… 8 分
{2-m即 A∩B= 时 m≤1. ………………………………………………………… 12 分
故 A∩B≠ 时,m 的取值范围为 (1,+∞ ) . ………………………………… 13 分
16. 解:(1)m= -1 1时,f (x ) = lnx+ x2,f′(x 1) = +x, ……………………………… 2 分
2 x
欲证 f′(a ) +f′(b ) +f′ a(c) > + b + c +4,………………………………………… 3 分
2 3 4
1 + a只需证明 + 1 + 2 b+ 1 + 3 c>4, ………………………………………… 4 分
a 2 b 3 c 4
1 + a
　 　 　
由基本不等式得 + 1 + 2 b+ 1 + 3 c≥2 1 × a +2 1 ×2b +2 1 ×3c = 　 2 +
a 2 b 3 c 4 a 2 b 3 c 4
2 　 6 +　 3 >1. 4+1. 3+1. 7>4,不等式得证. ……… 7 分(未验证等号成立条件不扣分)
3
- 2
(2) f′ x = 1 -mx= 1 mx( ) , …………………………………………………… 9 分
x x
①若 m≤0,则 f′(x ) ≥0 恒成立,f (x ) 无极值; ……………………………… 11 分
1 1 1
②若 m>0,x∈ (0,　 ) 时 f′(x ) >0,x∈ ( +　 , ∞ ) 时 f′(x ) <0,f′m m ( 　 ) = 0,m
1 1 1
故此时 f (x ) 的极大值为 f ( 　 ) = - lnm- ,无极小值. ………………… 15 分m 2 2
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17. 解:(1)a= 1 时,f (x ) = 2x-x-2,f′(x ) = 2x·ln2-1, …………………………… 1 分
　 x　 x>log 12 时,f′(x ) >0,f (x ) 单调递增,故 f (x ) 至多 2 个零点, …………… 3 分ln2
由 f (-3 ) >0,f (0 ) <0,f (3 ) >0 得 f (x ) 在 (-3,0 ) ,(0,3 ) 内各有一个零点,
故函数 f (x ) 有 2 个零点; ……………………………………………………… 5 分
(未使用零点存在性定理给出严格证明扣一分)
(2)x≥2 时,f (x ) ≥0,由 f (2 ) ≥0 得 a≤1, …………………………………… 7 分
a≤1,f′(x ) = 2x·ln2-a≥4ln2-a≥4ln2-1>0, ……………………………… 8 分
f (x ) 在 [2,+∞ ) 上单调递增,f (x ) ≥f (2 ) ≥0,
故实数 a 的取值范围为 (-∞ ,1 ] ; …………………………………………… 10 分
(3)由(2)知,x≥2 时,2x-x-2≥0,即 2x≥x+2, …………………………… 11 分
= - - = - 1 = x-设 g (x ) x 1 lnx,x≥2,g′ 1(x ) 1 >0,g (x ) 在 [2,+∞ ) 上单调递增,x x
g (x ) ≥g (2 ) = 1-ln2>0,即 x-1-lnx>0,x>1+lnx, …………………………… 12 分
故 2x≥x+2>3+lnx,
∴ n≥2 时,2n>3+lnn
∴ 22 +23 +24 +……+2n>3 (n-1 ) +ln2+ln3+ln4+……+lnn …………………… 13 分
22(1-2n-1)
即 >3 (n-- 1 )
+ln2+ln3+ln4+……+lnn,
1 2
即 n≥2 时,2n+1 >3n+1+ln2+ln3+ln4+……+lnn …………………………… 14 分
经验证得 n= 1 时,21+1 = 3×1+1+ln1
可得对任意正整数 n,2n+1≥3n+1+ln2+ln3+ln4+……+lnn. ……………… 15 分
(其他方法证明只要正确也可给分,含数学归纳法)
18. 解:(1)不存在,理由如下: ……………………………………………………… 1 分
∵ a1 不是整数,{an}的偶数项分母均为偶数,且求和后无法完全消去, …… 2 分
{an}的奇数项要么为整数,要么分母是奇数,故而整体求和后不可能是整数,
∴ 不存在 n 使 Sn 为整数 ………………………… 5 分(其他合理方法酌情给分)
(2)由题意知 M=a1 +a3 +a5 +……+a2m-1 =
5
m (a m ( +4m+11 +a2m-1 ) = 3 3 ) =m(2m+3), …………………………………… 7 分
2 2 3
b 1n = log 1 a2n = log 1 =2n n, ……………………………………………………… 8 分4 4 2
N= b1 +b2 +b3 +……+b
m(m+1)
m = , …………………………………………… 9 分2
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- =m (2m+3 ) -m (m+1 ) =m (m+3 )M N >0,即 M>N　 ……………………… 11 分
3 2 6
1 (1- 14 n ) 1
(3) 4 1 1数列{an}的前 2n 项中偶数项的和为 = (1- < , ……… 12 分
1- 1 3 4
n ) 3
4
n(2n+3) 1
数列{an}的前 2n 项中奇数项的和为 ,要么为整数,要么小数部分为 或3 3
2 , 1偶数项的和恒小于 ,{a
3 3 n
}的前 n 项和的整数部分完全由奇数项决定,
在判断 Sn 首次超过 365 时只需考虑奇数项的和, ………………………… 14 分
S -1>365 ,n(2n
+3)
当 2n 时 >365,可解的 n≥23, …………………………… 16 分3
即前 45 项的和首次大于 365(通过求出 S2n-1 及 S2n 再比对也正确)
即满足 Sn>365 的最小整数 n 为 45. ………………………………………… 17 分
19. 解:(1)由题意,x≠0,f(1)= 1+a+3 = 4,所以 a= 0, ………………………… 1 分
所以 f(x)= x2 +3,故 x2 +3+ 1 >4x+ 12 2 , ………………………………………… 2 分x x
所以 x2 -4x+3>0 且 x≠0,
所以 x∈( -∞ ,0)∪(0,1)∪(3,+∞ );…………… 4 分(未将 x= 0 去掉扣一分)
(2)∵ x>0 时,4x+ 12 >0x
∴ 欲证明对于任意实数 a,f(x)与 g(x)的图像在第一象限均有公共点
只需证明关于 x 的方程 x2 +ax+3 = 4x+ 1 在(0,+2 ∞ )有解x
即证关于 x 的方程 a= -x- 3 + 1 +3 4 在(0,+∞ )有解 ………………………… 5 分x x
设 h (x ) = -x- 3 + 1 +
x x3
4,x>0
显然 h (x ) 的图像连续,x→+∞ 时 h (x ) →-∞
- 2
x→0
1 3x
时,h (x ) = -x+4+ +3 → ∞ ,故 h (x ) 的值域为 R, …………………… 6 分x
所以对于任意实数 a, x a= -x- 3 1关于 的方程 + +3 4 在(0,+∞ )有解,命题得证x x
…………………………………………………………………………………… 7 分
(其他正确方法证明按步骤给分)
(3)①由题意,f′(x)= 2x+a,f′(0)= a,故 l1 为 y=ax+3,
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l2 斜率为-
1 , 1故 l2 为 y= - x+3, …………………………………………… 8 分a a
由题意 ax+3 = 4x+ 12在(0,+∞ )内无解,x
故 a= 1 - 3 +3 4 在(0,+x ∞
)内无解. …………………………………………… 9 分
x
1
不妨设 t= ∈(0,+∞ ),h( t)= t3 -3t+4,x
所以 h′( t)= 3t2 -3 = 3( t+1)( t-1),
所以 h( t)在(0,1]单调递减,在[1,+∞ )单调递增,
故 h( t) min =h(1)= 2,x→+∞ ,h( t)→+∞ ,
故 h( t)∈[2,+∞ ),
即 a∈( -∞ ,0)∪(0,2);
同理- 1 ∈( -∞ ,0)∪(0,2) a∈a (-∞ ,- 1 ) ∪(0,+∞ ) .2
综上,a∈ (- 1∞ ,- ) ∪(0,2) . ……………………………………………… 11 分2
② ① 1 1由 知,若△PAB 为等腰直角三角形,必有- = 1 或- = -1,a= ±1,
a a
PA = PB = 3 　 2 , ………………………………………………………… 12 分
若要求该正方形内部可以容纳的最大半圆,则半圆的直径的端点必在正方形的边上.
　
(i) 3 2若半圆的直径的端点在正方形相对的两边上,易得半径的最大值为 ; …
2
………………………………………………………………………………… 13 分
(ii)若半圆的直径的端点在正方形相邻的两边上,不妨设端点分别为 M,N,其中
点 M 在 PA 上,点 N 在 PB 上,设 MN 与 PA 所成角为 θ,半圆的半径为 r,
r+rcosθ≤3 　可得 2 ,且 r+rsinθ≤3 　 2 ,θ∈ (0, π2 ) ,
3 　 2 3 　 2
即 r≤ + ,且 r≤ + …………………………………………………… 14 分1 cosθ 1 sinθ
　 　
设 f (θ ) = min{ 3 2 , 3 2 } ,θ∈ (0, π ) , ………………………………… 15 分1+cosθ 1+sinθ 2
π é π π π
可得 f (θ ) 在 (0, ) 上单调递增,在 êê , ) 上单调递减,f (θ ) max = f ( ) = 6 　 2 -6,4 4 2 4
　
∵ 6 　 2 -6>3 2
2
∴ r 　的最大值为 6 2 -6,此时半圆的面积为 (54-36 　 2 ) π.
综上所述,该正方形内部可以容纳的最大半圆的面积为 (54-36 　 2 ) π. … 17 分
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