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北京市第八十中学2026-2027学年高三上学期10月阶段评价
数学试题
一、选择题
1.设全集，集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.数列中，，，则 ．
A. B. C. D.
3.已知函数的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.在中，，，则( )
A. B. C. 或 D.
5.已知向量，满足，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知、、分别是的三个内角、、所对的边，若且，则的形状是三角形
A. 等腰锐角 B. 等腰钝角 C. 直角非等腰 D. 等腰直角
9.已知函数的定义域为，为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，为线段上一动点，则( )
三棱锥的体积为定值
直线与的夹角的大小的取值范围是
的最小值为
当时，平面截该正方体所得截面的面积为
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域是
12.记等差数列的前项和为若，，则 ， ．
13.已知数列的前项和为，且满足，则 ，数列的前项和为 ．
14.边长为的正三角形，为边的中点，若在边上运动点可与重合，则的最小值为 ．
15.已知无穷数列满足给出下列四个结论：
存在，使得集合中有无穷多个元素；
存在，使得集合中有有限个元素；
对于任意的，集合中至多有一个元素；
当时，集合．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16.已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若函数，求在区间上的最大值和最小值．
17.在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知函数，为的导数．
证明：在区间存在唯一极大值点；
求在区间的零点个数，并说明理由．
19.如图，在三棱柱中，，侧面为正方形，侧面底面，，为的中点，点在上，且平面．
求证：点为的中点；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.已知函数，函数．
求函数的最值；
讨论函数的极值；
已知函数，若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围．注明：表示，中的最小值
21.将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．
分别写出数列的前项；
记数列的第项为求证：当时，；
若，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：由图象可知：，，
将点代入得，
，，，
，
由得，
当时，即，
当时，即，．
17.【答案】Ⅰ；
Ⅱ选择条件，；选择条件，或．
18.【答案】解：由，得，
设，则．
因为函数在上单调递减，
所以在上单调递减，
而，，
所以在上有唯一零点，设为．
则当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点．
在有两个零点，理由如下：
当时，由知，在单调递增，而，，
所以是在的唯一零点，且，
当时，单调递减，而，
所以由零点存在定理可得，存在，使得，
所以在有两个零点．

19.【答案】解：证明：连接，因为平面，
平面，平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以点为的中点．
侧面为正方形，所以，侧面底面且交于，
平面所以平面．
又因为，所以．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，侧面为正方形，，
故，，，，，，
，
设平面的法向量为，
则
令得，，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则．

20.【答案】解：，
令，，
，，递增；
，，递减；
，，递增；
，时，，所以最小值是
，时，，所以无最大值；
的定义域为，，
当时，在恒成立，
在单调递减，故无极值，
当时，由得．
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
在处取得极小值，，无极大值．
综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值．
若是的零点，则必有或
的零点必为或的零点，
而有且仅有一个零点，且，时．
当时，由知在单调递减，至多只有一个零点，
此时至多只有两个零点，不合题意，舍去；
当时，由知在单调递减，在单调递增，
则．
当即时，至多只有一个零点，
此时至多只有两个零点，不合题意，舍去；
当即时，，，
由零点存在性定理知使得．
令，，则在单调递增，在单调递减，
，
，，
当时，，
，又，
由零点存在性定理知使得，
，；，；，，
当时，有三个零点，满足题意．
综上，实数的取值范围为．

21.【答案】数列的前项为，；数列的前项为，；
首先，当时，结论成立；
当时，对于相邻的两个数列：
因为都在数列中，且在之前，
所以在数列中，必有，
所以，
所以
所以构成首项为，公差为的等差数列，
所以
由各个数列生成的规则知，中不可能有两个元素是同一数列的项．
从上面的表格，我们猜想：集合中的每个元素，且仅是数列中某个数列的项．
具体地可概括成结论：对任意，有
下面用数学归纳法证明：
当时，由题意数列的首项分别是，，结论成立；
假设当时，结论成立，即对，
那么由第问的结论知：当时，
，
，
上式表明，集合中除了的每一个元素都是数列中的某个数列的项，
还剩下两个元素：，它们必是数列的首项，
结果只有．
根据知，结论成立．
由结论可得，数列的首项为，的首项为，
即
另一方面，由第问的结论：得：
，
，
，
相加得：，
当时，上式也成立．
所以
令，则
所以．
由得，所以，所以
所以所以，此时，所以；
令，有，
由得，所以．
所以，所以无解．
综上，当时，

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