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2026-2027学年山西大学附属中学校高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面中，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象过函数图象的定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知某校名学生的体能测试得分单位：分服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为( )
A. B. C. D.
6.小明在某不透明的盒子中放入红黑个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉未看被丢掉小球的颜色现从剩下个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.若函数的最小值为，则正实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 数列是公差为的等差数列
10.在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则的值为 ．
13.已知函数，若图像上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是 ．
14.已知对于，都有，则的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长．
16.本小题分
平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．
求证：；
在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为每次回答是否被采纳相互独立．
求智能客服的回答被采纳的概率；
在某次测试中输入了个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望；
公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了个问题，智能客服的回答每被采纳次计分，不采纳则不计分记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，
18.本小题分
已知，分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为．
求的方程；
若倾斜角为的直线与交于，两点，求的中点的轨迹方程；
若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，，且，求．
19.本小题分
人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题牛顿在流数法一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的次近似值一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值．
若函数，取作为的初始近似值，求的次近似值；
若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，，，，，．
回答以下问题：
请将的长度用表示；
求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，结合余弦定理，
可得，即，
由余弦定理可得，所以，
因为，所以；
由的面积为，可得，解得，
由的角平分线交于点，且，
可得，整理得，
由余弦定理，有，解得，
故的周长为．
16.【答案】解：若为中点，连接、，又为的中点．
，由，则，
又为等腰直角三角形，，易知：，
由，、面，则面，
面，．
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又平面，
故
故以为原点，，，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，
，，，，则，，，
若存在使得平面平面，且，，
，，
则，，
若为面的一个法向量，则
令，即，
若是面的一个法向量，则
令，则，
，可得．
存在使得平面平面，此时．
17.【答案】
的分布列为：
期望
该系统会得到推广，，符合推广要求
18.【答案】
19.【答案】；
故；
证明见解析．
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