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2026-2027学年江苏省苏州市草桥中学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⊙O的半径为7cm.若点P到圆心O的距离为10cm,则（　　）
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断
2.下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A. B. C. D. y=x2+1
3.对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A. 图象经过点（3，-4） B. 图象位于第二、四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
4.下列说法中正确的说法有（　　）个.
①不在同一直线上的三点确定一个圆；
②同弧或等弧所对的圆周角相等；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④垂直于半径的直线是圆的切线.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.若点A（x1，-4），B（x2，-1），C（x3，2）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A. x1＜x2＜x3 B. x3＜x1＜x2 C. x2＜x1＜x3 D. x2＜x3＜x1
6.如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A. -2＜x＜0或x＞2
B. x＜-2或0＜x＜2
C. x＜-2或x＞2
D. -2＜x＜0或0＜x＜2
7.如图，在⊙O中，所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（　　）
A. 90°+n°
B. 180°-n°
C. 195°-n°
D. 2n°
8.如图，点A是函数y=的图象上的一点，点B，C的坐标分别为B（-，-），C（，）．试利用性质：“函数y=的图象上任意一点A都满足|AB-AC|=2”求解下面问题：作∠BAC的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，若x轴上一点P的坐标为（-3，0），则PF的最小值为（　　）
A. 2 B. 2 C. D. 4
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
9.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠PAB=52°，则∠P= °.
10.已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 .
11.小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系.在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高y cm与小孔到物体的距离x cm成反比例函数关系.已知当小孔到物体的距离为20cm时，光屏上的像高为9cm.若要使像高为6cm,则小孔到物体的距离为 cm.
12.如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，过点A平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则四边形ABCD的面积为 .
13.用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个容器盖铁皮的面积 .
14.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=4，∠BAC=30°.在图中作弦AD，使AD=2，则∠CAD的度数为 .
15.如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2．
16.如图，直线y=x-1与x轴交于点B，与双曲线y=（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线y=交于点C．且AB=AC，则k的值为 ．
17.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC=6，BC=8，则BD= .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
18.某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成.其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系.经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？
四、解答题：本题共8小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知函数的图象经过点（-2，3）
(1) 求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象
(2) 当x=4时，求函数y的值
20.(本小题8分)
如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4），B（-4，4），C（-6，2），该圆弧所在圆的圆心为P
(1) 点P的坐标为 ，⊙P的半径为
(2) 若点E的坐标是（-6，1），试判断点E与⊙P的位置关系，并说明理由
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AE=2，CD=8，求直径AB的长.
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，6）和点B（-4，m）
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式
(2) 连接AO、BO，求△ABO的面积
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交AB于点F.
（1）如图1，过点D作DM⊥AC于点M.
①求证：DM是⊙O的切线；
②若∠CED=30°，AB=6，求阴影部分的面积；
（2）如图2，连接BE，若，BE=2，求AE的值.
24.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD=AB，连接AD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）当AB=5，AC=8时，求BC的长及⊙O的半径.
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别为（m,0），（0，n）（m＞0，n＞0），顶点C在反比例函数（x＞0）的图象上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上
(1) 如图（1），当D点坐标为（4，1）时，
①求k2的值；
②求m,n的值
(2) 如图（1），当m,n满足什么关系时，k1＞k2，并说明理由
(3) 如图（2），当k1=k2时，在AD的延长线上取一点E（a,4），过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数的图象于点G，当G为EF的中点时，代数式m2-m的值为 ．（直接写出结果）
26.(本小题8分)
[概念认识]
在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图，
（1），AB，CD是⊙O的弦，AB=CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB，CD是等垂弦，E为等垂弦AB，CD的分割点．
[数学理解]
（1）如图（2），AB是⊙O的弦，作OC⊥OA，OD⊥OB，分别交⊙O于点C，D，连结CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB，CD的分割点，，求AB的长度；
[问题解决]
（3）AB，CD是⊙O的两条弦，，且CD⊥AB，垂足为F．若⊙O的半径为r,AB=mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】76
10.【答案】k＜3
11.【答案】30
12.【答案】5
13.【答案】2000πcm2
14.【答案】30°或90°
15.【答案】108
16.【答案】4
17.【答案】5
18.【答案】y与x之间的函数关系式为： 应生产5000个双肩包
19.【答案】【小题1】∵函数的图象经过点（-2，3）．
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数为y=-，即该反比例函数图象上点的横、纵坐标的乘积为-6，
x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 …
其图象如图所示：
【小题2】把x=4代入y=-得，y=-=-

20.【答案】【小题1】
（-2，0）
2
【小题2】
点E在⊙P内，
理由：∵点E的坐标是（-6，1），P（-2，0），
∴PE==＜2，
∴点E在⊙P内

21.【答案】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，
∴∠OEC=90°，CE=DE=CD=×8=4，
∵AE=2，
∴OE=OA-2，
∵OE2+CE2=OC2，且OC=OA，
∴（OA-2）2+42=OA2，
解得OA=5，
∴AB=2OA=2×5=10，
∴直径AB的长为10．
22.【答案】【小题1】∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，
∴k2=2×6=12，
∴反比例函数的表达式为：；
又∵点B（-4，m）也在反比例函数的图象上，
∴-4m=12，
解得：m=-3，
∴点B的坐标是（-4，-3），
∵点A（2，6）和点B（-4，-3）都在一次函数y=k1x+b的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
【小题2】设AB与y轴相交于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，如图所示：
对于，当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC=3，
∵点A的坐标是（2，6），点B的坐标是（-4，-3），
∴AD=2，BE=4，
∴S△OAC=OC×AD==3，S△OBC=OC×BE==6，
∴S△ABO=S△OAC+S△OBC=9

23.【答案】（1）①证明：如图1，连接AD，OD，

∵AB为⊙O的半径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，即点D为BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
②解：如图1，连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵=，
∴∠AOD=2∠AED=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=OB=AB=3，∠OAD=60°，
∴BD=AB sin∠DAB=6 sin60°=3，
∴S△ADB=AD BD=×3×3=，
∵点O为AB的中点，
∴S△BOD=S△ADB=，
∵∠BOD=180°-∠AOD=120°，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD=-=3π-；
（2）解：如图2，取AC的中点T，连接DT，

由（1）可得点D为BC的中点，
∴DT为△ABC的中位线，
∴DT∥AB，
∴==，
设AE=x,AT=CT=2x,则AC=AT+CT=4x,
∴AB=AC=4x,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，
∴（4x）2=x2+（2）2，
解得：x=2或x=-2（舍去），
∴AE=2．
24.【答案】（1）证明：连接AO并延长交圆⊙O于点E，则线段AE是⊙O的直径，连接BE，如图，
∵BD=AB，
∴∠D=∠BAD，
∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠BAD，
∵∠E=∠C，
∴∠E=∠BAD，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠E+∠BAE=90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，
即∠DAE=90°，
∴AE⊥AD，
∵AE为直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠D=∠C=∠BAD，
∴AD=AC=8，DB=AB=5，
∵∠BAD=∠C，∠ADB=∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，
∴DB：DA=DA：DC，
即5：8=8：DC，
解得DC=，
∴BC=-5=；
过A作AH⊥CD交CD于H，
∵AD=AC，
∴CH=CD=，
在Rt△ACH中，∵AC=8，CH=，
∴AH==，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵∠E=∠C，∠ABE=AHC，
∴△ABE∽△AHC，
∴AE：AC=AB：AH，
即AE：8=5：，
解得AE=
∴⊙O的半径为．
25.【答案】【小题1】
①将点D（4，1）代入反比例函数y=中，
∴k2=4×1=4，
即k2的值为4；
②如图（1），过点D作DM⊥x轴于点M，
∴∠AOB=∠AMD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAM=∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠BAO=∠ADM，
在△AOB和△DMA中，
，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴OB=AM=n,OA=DM=m,
∴OM=m+n,
∴D（m+n,m），
∴D（4，1），
∴，
∴，
∴m,n的值为1，3
【小题2】
当m＜n时，k1＞k2，理由如下：
如图（2），过点C作CN⊥y轴于点N，
由（1）知，△AOB≌△BNC（AAS），k2=m（m+n），
∴OB=CN=n,OA=NB=m,
∴ON=m+n,
∴C（n,m+n），
∴k1=n（m+n），
∵k1＞k2，
∴n（m+n）＞m（m+n），
∵m＞0，n＞0，
∴m＜n,即当m＜n时，k1＞k2
【小题3】
6

26.【答案】（1）证明：如图②，连接BC，
∵OC⊥OA、OD⊥OB，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，
∵∠ABC=∠AOC=45°，∠BCD=∠BOD=45°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BCD=90°，
即AB⊥CD，
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（2）解：如图，若点E在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴四边形OHEG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH=AB，DG=CD，
∴AH=DG，
又∵OA=OD，
∴△AHO≌△DGO（HL），
∴OH=OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH=HE．
∵=，且AH=BH，
∴AH=2BE=2OH，
在Rt△AOH中，AO2=AH2+OH2．
即（2OH）2+OH2=AO2=25，
解得OH=，
∴AB=4HE=4；
若点E在⊙O外，如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理，AH=，则AB=2AH=2；
综上，AB的长为4或2；
（3）解：如图，当点F在⊙O上时，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，
同理可证四边形OHBG是矩形，
∴BH=，OH=BG=，
∵OB2=BH2+OH2，
∴r2=+，
∴m=，
∴当m=时，点F在⊙O上；
当0＜m＜时，点F在⊙O外；
当＜m≤2时，点F在⊙O内．
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