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2026-2027学年上海市闵行区九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A. y=（2x+1）2-4x2 B.
C. D. y=（3x）2+1
2.如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，下列结论成立的是（　　）
A. DB=1，CE=2，AD=3，AE=4
B. DB=1，CE=2，AB=3，AC=4
C. DB=1，CE=2，AB=3，AE=4
D. DB=1，CE=2，AD=3，AC=4
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判
定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A. CA平分∠BCD B. ∠DAC=∠ABC C. AC2=BC CD D.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果=，AD=9，那么BC的长是（　　）
A. 4
B. 6
C. 2
D. 3
5.兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤.经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤.设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A. y=（10+x）（50-10x） B. y=（10-x）（50+10x）
C. y=（10-x）（50-10x） D. y=（10+x）（50+10x）
6.我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象.墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，室内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像.已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　）
A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米 C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米
二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。
7.当m= 时，函数y=（m-2）-2x+1是二次函数.
8.已知线段a=12cm,b=6cm,如果b是a、c的比例中项，那么线段c等于 cm.
9.已知==，则= .
10.函数y=2x2向左平移4个单位，向上平移5个单位得到的函数的表达式是 .
11.已知线段AB上有一点P，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若较长的线段AP为2，则线段AB的长为 .
12.已知二次函数y=（m-2）x2+7x+3与x轴有两个交点，m的取值范围是 .
13.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，4）和（5，4），若图象上点A（2，y1），点B（6，y2），比较y1和y2的大小 .
14.已知二次函数y=mx2+4x-3的图象全部位于x轴下方，则m的取值范围是 .
15.在△ABC中，M，N分别是BC，AC边上一点，连接AM，BN交于点P，若BM：CM=2：3，AN：CN=1：4，则AP：MP= .
16.如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，连接AN，CM交于点G，GF∥AC交BC于点F，那么= .
17.如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C.点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB=3时，点P的坐标为 .
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
18.发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线y=a（x-20）2+k.
(1) 若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式
(2) 在（1）的条件下，石块能否飞越防御墙？请说明理由
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知线段a,b,c满足ax=bc,求作满足条件的线段x.
20.(本小题12分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，DF．已知四边形DFCE是平行四边形，
(1) 若AB=12，求线段AD的长
(2) 若△ABC的面积为36，求平行四边形DFCE的面积
21.(本小题14分)
如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF CD=BC AD.
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果BE=CE，求证：BC2=2BD AC.
22.(本小题14分)
我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组在研究“鹊桥”函数时发现，这类函数的图象具有独特的形态：它由三部分组成，中间部分形似一座向上拱起的桥梁，两侧则向上延伸．实际上，当自变量x的取值范围受到一定限制时，“鹊桥”函数的每一部分都可以看作一个二次函数的图象．
现在以函数G：y=|x2-x-6|为例展开研究，其图象如图所示，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
(1) 初识“鹊桥”：观察函数G的图象，写出A、B、C三点的坐标，并写出经过A、B、C三点的二次函数表达式
(2) 探究“桥拱”：数学兴趣小组发现，“鹊桥”中间的桥拱可以看作某个二次函数图象的一部分．现取桥拱上的一点P，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若PQ=4，求点P的坐标
(3) 探索交点：数学兴趣小组进一步研究发现，当一条直线的位置发生变化时，它与“鹊桥”函数图象的公共点个数也可能发生变化．现将直线y=-x+m（m＜6）沿y轴方向平移，若直线l与函数G的图象恰有两个公共点，求m的取值范围
23.(本小题18分)
综合与探究
问题情境
小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”.小丽进行了如下操作：
（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M.小丽发现这就是手拉手模型，易证△AOC≌△BOD，进而可以得知：
①的值为______；
②∠AMB的度数为______.
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，若∠AOB=∠COD=90°，，连接AC交BD的延长线于点M，AO与BM交于点P.小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型.请你求出此时的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内任意旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】-2
8.【答案】3
9.【答案】
10.【答案】y=2（x+4）2+5
11.【答案】+1
12.【答案】且m≠2
13.【答案】y1＜y2
14.【答案】m＜-
15.【答案】5：8
16.【答案】
17.【答案】（1，4）或（2，3）
18.【答案】【小题1】将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线y=a（x-20）2+k,
由题意得，函数的最大值为10，即k=10，
∴将点（0，0）代入抛物线y=a（x-20）2+10，
得a（0-20）2+10=0，
解得，
∴此抛物线的表达式
【小题2】石块能飞越防御墙；
理由如下：由题意知，点B的坐标为（28，6），
∴C（30，6），
当x=30时，，
∴石块能飞越防御墙

19.【答案】解：如图，线段x为所作．

20.【答案】【小题1】∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE∥CF，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB=12，
∴AD=4
【小题2】∵△ADE∽△ABC，
∴=（）2=，
∵△ABC的面积为36，
∴△ADE的面积为4，
∵，
∴，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴=（）2=，
∴S△BDF=16，
∴平行四边形DFCE的面积=36-16-4=16

21.【答案】证明：（1）∵AF CD=BC AD，
∴，
又∵∠ADF=∠BDC，
∴△ADF∽△CDB，
∴∠F=∠B，
∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠F+∠BCD=90°，
∴AE⊥BC；
（2）∵BE=CE，AE⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABE=∠DBC，∠BDC=∠AEB=90°，
∴△ABE∽△CBD，
∴，
∴BC BC=AB BD，
∴BC2=2BD AC．
22.【答案】【小题1】当y=0时，x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
解得：x1=3，x2=-2，
当x=0时，y=6，
∴A（-2，0），B（3，0），C（0，6），
设经过A、B、C三点的二次函数表达式为：y=ax2+bx+c,
∴，
解得：，
∴y=-x2+x+6
【小题2】当y=4时，
-x2+x+6=4，
（x-2）（x+1）=0，
解得：x1=2，x2=-1，
∴P（2，4）或（-1，4）
【小题3】当直线y=-x+m（m＜6）经过点A（-2，0）时，直线y=-x+m与“鹊桥”函数图象的公共点有3个，
2+m=0，
解得：m=-2，
当直线y=-x+m（m＜6）经过点B（3，0）时，直线y=-x+m与“鹊桥”函数图象的公共点有1个，
-3+m=0，
解得：m=3，
∴若直线l与函数G的图象恰有两个公共点，m的取值范围为-2＜m＜3

23.【答案】①1；
②40°；
，∠AMB=90°，理由见解析；
或．
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