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2026-2027学年黑龙江省哈尔滨市爱建学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. B. x2-4=4 C. 5x2+3x-2y=0 D. x-5=0
2.下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形
4.一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是 　　
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.若关于x的一元二次方程（k-2）x2+x+k2-4=0有一个根是0，则k的值是（　　）
A. -2 B. 2 C. 0 D. -2或2
6.如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50°，测得BC=60m,则桥长AB=（　　）m.
A.
B. 60 cos50°
C.
D. 60 tan50°
7.点A（3，y1）和点B（-2，y2）都在直线y=-2x+3上，则y1和y2的大小关系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 不能确定
8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（　　）
A. 4 B. 3 C. D. 2
9.要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x个队参赛，则可列方程（　　）
A. B.
C. x（x-1）=4×7 D.
10.周末小晨、小亮相约进行长跑比赛，两人同时起跑，刚跑出350米，小亮发现重要物品落在出发地，立刻原速返回，取回后以更快的速度投入比赛，若他们距离出发地y（m）与比赛时间x（min）的关系如图，下列说法正确的个数有（　　）
（1）小亮共跑了5200m；
（2）小晨全程的平均速度为250m/min；
（3）两人起跑以后第一次相遇时间为；
（4）小亮再次投入比赛后在距离终点750m时追上了小晨.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12.把多项式2mx2-2m分解因式的结果是 ．
13.不等式组的解集为 ．
14.如图，AB∥CD，AC、BD相交于点E，AE=1，EC=2，DE=3，则BD的长 .
15.已知m,n是方程x2+x-2025=0的两个实数根，则m2+2mn-n的值为 .
16.某种茶叶的价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是 .
17.若y=kx+2的图象与x轴y轴所围成的三角形的面积为2，则k= .
18.如图，正方形ABCD，∠EAF=45°，∠EAF的两边分别交边BC，DC于点E、F，若BE=2，DF=3，则AF的长为 .
19.已知tanO=，点P在边OA上，OP=5，点M，N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么OM= .
20.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一个动点，连接DP，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，连接EF，有下列4个结论：①DP=EF；②DP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小值等于.其中正确的结论有 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求代数式的值，其中a=2cos30°+3tan45°.
22.(本小题7分)
如图为8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图.（只用无刻度的直尺.保留必要的作图痕迹）
（1）在图中，在AB边上取点E，连接CE，使得；
（2）在图中，作出△ABC的角平分线AG，连接GE，并直接写出tan∠CEG的值.
23.(本小题8分)
为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.x＜70），得到如下不完全的信息：
八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 86.6 m 86
九年级 86.6 88.5 n
八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89，88，86，86，86，86.
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66.
请根据以上信息完成下列问题：
（1）填空：m=______，n=______，并补全八年级的成绩条形统计图；
（2）规定在90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
24.(本小题8分)
在矩形ABCD中，点E是BC上的一个动点（点E不与端点B，C重合），点F为AE的中点，连接CF，DF.
（1）如图1，求证：CF=DF；
（2）如图2，连接BF，若AB=5，AD=12，当线段BF的长为整数时，直接写出线段BE的长.
25.(本小题10分)
为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等.且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元.
（1）求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用.
26.(本小题10分)
已知：⊙O两条弦AC与BD相交于点E，AC=BD．
（1）如图1，求证：CE=BE；
（2）如图2，直径BF⊥AC于点N，连接DF，求证：DF=2ON；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD交BF于点G，若AD=11，BN=，求ON的长．
27.(本小题10分)
已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA=OB
(1) 如图1，求直线AB的解析式
(2) 如图2，点C是第一象限内一点，BC⊥OB，AD⊥AC交x轴负半轴于点D，若点D的横坐标为t,线段BC的长为d,求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）
(3) 如图3，在（2）的条件下，当d=-2t时，点E是线段AB上，点F在线段OA上，，连接CE，作FG∥x轴，连接CG交线段AB于点H，连接DF、AG，若∠ECG=45°，DF=AG，求点H的坐标．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】x 2
12.【答案】2m（x+1）（x-1）
13.【答案】x≤-2
14.【答案】4.5
15.【答案】-2024
16.【答案】20%
17.【答案】1或-1
18.【答案】3
19.【答案】2或4
20.【答案】①②④
21.【答案】解：原式=
=
=，
当时，原式==．
22.【答案】 ，
23.【答案】87，88；补全八年级的成绩条形统计图见解析；
八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人．
24.【答案】过点F作FM⊥BC交BC于M，延长MF交AD于N，

∴∠BMN=∠EMF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠B=∠EMF=∠ANF=90°，
∴四边形ABMN是矩形，
∴∠EMF=∠ANF=∠DNF=90°，
∴AN=BM，
∴BC-BM=AD-AN，
∴CM=DN，
∵F是AE的中点，
∴EF=AF，
在△EFM与△AFN中，
，
∴△EFM≌△AFN（AAS），
∴MF=NF，
∴△CMF≌△DNF（SAS），
∴CF=DF 或或或
25.【答案】甲种路灯60元/盏，乙种路灯80元/盏 购买甲种路灯10盏时总费用最小，最小总费用为3000元
26.【答案】（1）证明：如图1，连接BC，
∵AC=BD，
∴=，
∴-=-，
即=，
∴∠ACB=∠CBD，
∴CE=BE；
（2）证明：如图2，过点O作OM⊥BD于点M，连接OA，则∠BMO=90°，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BDF=∠BMО=90°，
∵OM⊥BD，
∴M为BD中点，
∵O为BF中点，
∴OM为△BDF的中位线，
∴OM=DF，
∵BF⊥AC，
∴AN=AC，∠ANO=∠BMO=90°，
∵AC=BD，
∴AN=BM，
在Rt△ANO和Rt△BMO中，AO=BO，AN=BM，
∴Rt△ANO≌Rt△BMO （HL），
∴ON=OM，
∵OM=DF，
∴ON=DF，
即DF=2ON；
（3）解：如图3，连接AB、AO、AF，过点O作OK⊥AD于点K，
则AK=AD=×11=，∠AKO=90°，
∵BF为⊙O的直径，BF⊥AC，
∴=，∠ANB=∠ANG=90°，
∵=，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，
又∠ANB=∠ANG，AN=AN，
∴△ANB≌△ANG（ASA），
∴GN=BN=，
设ON=x，且x＞0，
则OA=OB=ON+BN=x+，
∴BF=2OB=2x+2，
∴FN=BF-BN=2x+2-=2x+，OG=ON-GN=x-，
在Rt△AKO中，根据勾股定理得，OK2=OA2-AK2=（x+）2-，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°，
∴∠BAN+∠FAN=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠ANB=∠FNA=90°，
∴∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠ABN=∠FAN，
∴△ABN∽△FAN，
∴=，
∴AN2=BN FN=（2x+）=2x+5，
在Rt△ANG中，根据勾股定理得AG2=AN2+GN2=2x+5+=2x+10，
∵OK⊥AD，BF⊥AC，
∴∠OKG=∠ANG=90°，
又∠OGK=∠AGN，
∴△OGK∽△AGN，
∴=，
∴=，
即=，
整理得，（2x-3）（9x+37）=0，
∴x=或x=-（舍去），
∴ON=．
27.【答案】【小题1】直线y=kx+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，
当x=0时，得：y=3，
∴A（0，3），
∴OA=3．
∵OA=OB，
∴OB=3，
∴B（3，0），
将B（3，0）代入y=kx+3中，得：
0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线AB的解析式为y=-x+3
【小题2】如图2，连接CD，过点C作CE⊥AO于点E，
由题意可得：D（t,0），C（3，d），
∵BC⊥OB，AD⊥AC，CE⊥AO，
∴CD2=AD2+AC2=BD2+BC2，AC2=AE2+CE2，
在直角三角形AOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+OA2，
∴t2+32+（3-d）2+32=（3-t）2+d2，
∴d=3+t
【小题3】由（2）可知，d=3+t,
又∵d=-2t,
∴3+t=-2t,
∴t=-1，
∴d=2，即OD=1，BC=2，
如图3，延长FG交BC于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∵∠GCM=∠ECG+∠ECB，∠NEC=∠ECB+∠EBC，∠ECG=45°，∠EBC=90°-∠ABO=45°，
∴∠GCM=∠NEC，
∴∠ECN=90°-∠NEC=90°-∠GCM=∠CGM．
∵BC=2，∠CNE=90°，∠EBC=45°，
∴，
设，则OF=2m,
∵tan∠ECN=tan∠CGM，
∴，
∴，
解得：n=1或m=1，
当n=1时，得：FG=DO=1，
∵DF=AG，
∴Rt△DOF≌Rt△GFA（HL），
∴，
∴．
设直线CG解析式为y=kx+b,将点C，点G的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线CG的解析式为，
∵直线AB的解析式为y=-x+3，
联立直线CG、AB的解析式得：，
解得：，
∴，
当m=1时，，OF=CB=2，点C与点M重合，点E与点N重合，
此时点H的坐标为直线AB与直线FG的交点坐标，
∴把y=2代入y=-x+3，得：2=-x+3，解得：x=1，
∴H（1，2），C（3，2），
∴AF=OD=1．
∵DF=AG，
∴Rt△DOF≌Rt△AFG（HL），
∴FG=OF=2，
∴G（2，2），
∴此时G点在H点的右侧，线段CG和线段AB没有交点，故不符合题意，舍去，
综上所述，点H的坐标为

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