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2026-2027学年辽宁省阜新市第一中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A. x+=0 B. ax2+bx+c=0
C. （x-1）（x+2）=1 D. 3x2-2xy-5y2=0
2.线段a、b、c、d是成比例线段，a=4、b=2、c=2，则d的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列说法中，错误的是（　　）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
4.一元二次方程x2+kx-4=0的一个根是x=-1，则k值是（　　）
A. 4 B. -1 C. -3 D. -2
5.2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性.某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人.若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（　　）
A. B. C. x（x-1）=15 D. x（x+1）=15
6.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC=1：2，DE=2，则EF的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A. ∠ABD=∠ACB
B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD AC
D.
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，∠DAE=∠DEA，AD=15，AC=18，则BE的长为（　　）
A. 9
B. 10
C. 13
D. 15
9.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＜-1 B. k≥-1 C. k＞-1 D. k≥-1且k≠0
10.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH.其中，正确的结论有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若===（b+d+f≠0），则= ___ ___ .
12.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x,根据题意列方程得 .
13.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳.如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm,千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为 cm.
14.如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
三、计算题：本大题共4小题，共37分。
16.解下列方程：
(1) x2-6x+7=0（配方法）
(2) 3 x2-4x-2=0（公式法）
(3) （x-1）（x+4）=4x+8
(4) x2-x+=0
17.方程4x2-7x-3=0的两个根为x1、x2，求下列各式的值
(1) +
(2)
18.如图，有长为18m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,如果要围成面积为24m2的花圃，AB的长是多少米？
19.新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店通过合理提高售价进行调整.经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条.该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元的利润，应将零售价定为多少？
四、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
21.(本小题8分)
如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．若点D在边BC上，∠EDC=∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证：
(1) △ABC∽△ADE
(2) OA OC=OD OE
22.(本小题10分)
定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且3<<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=-10，x2=-3，因为-10＜-3＜0，3<<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2=-1，求k的值；
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1-m）x-m=0是“限根方程”，求m的取值范围．
23.(本小题12分)
如图，P为正方形ABCD边BC上任意一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．
(1) 如图①，若正方形的边长为，PB=1，求BG的长度
(2) 如图②，当P点为BC的中点时，求证：CE=
(3) 如图③，∠CBE的平分线交AE于点N，连接DN，请直接写出BN、DN、AN三条线段的数量关系
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】168（1-x）2=128
13.【答案】
14.【答案】4或
15.【答案】
16.【答案】【小题1】x2-6x+7=0，
x2-6x=-7，
x2-6x+9=-7+9，
（x-3）2=2，
x-3=±，
所以x1=3+，x2=3-
【小题2】3x2-4x-2=0，
∵a=3，b=-4，c=-2，
∴Δ=（-4）2-4×3×（-2）=40，
∴x==，
∴x1=，x2=
【小题3】（x-1）（x+4）=4x+8．
方程化为一般式为x2-x-12=0，
（x-4）（x+3）=0，
x-4=0或x+3=0，
所以x1=4，x2=-3
【小题4】x2-x+=0，
（x-）2=0，
x-=0，
所以x1=x2=

17.【答案】【小题1】已知方程4x2-7x-3=0，
∵Δ=（-7）2-4×4×（-3）=97＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∵它的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2=，x1x2=-，
∴+
=（x1+x2）2-2x1x2
=（）2-2×（-）
=+
=
【小题2】∵x1+x2=，x1x2=-，
∴
=
=
=-

18.【答案】解：设AB的长为x m,则BC的长为（18-3x） m,
根据题意得：（18-3x）x=24，
整理得：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
当x=2时，18-3x=18-3×2=12＞10，不符合题意，舍去；
当x=4时，18-3x=18-3×4=6＜10，符合题意．
答：AB的长是4米．
19.【答案】解：设应将零售价定为x元/条，则每条的销售利润为（x-16）元，周销量为180-×15=（430-10x）条，
根据题意得：（x-16）（430-10x）=1800，
整理得：x2-59x+868=0，
解得：x1=28，x2=31，
又∵要尽可能让利于顾客，
∴x=28．
答：应将零售价定为28元/条．
20.【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE，
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
证明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
故当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．（答案不唯一）
21.【答案】【小题1】∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠ADE+∠EDC+∠ADB=180°，∠EDC=∠BAD，
∴∠B=∠ADE，
∵BA=BC，DA=DE，
∴，
∴△ABC∽△ADE
【小题2】∵△ABC∽△ADE，
∴∠ACB=∠AED，
∴∠OCD=∠OEA，
∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴，
∴OA OC=OD OE

22.【答案】解：（1）此方程为“限根方程”，理由如下：
x2+9x+14=0可化为：
（x+2）（x+7）=0，
解得x1=-7，x2=-2，
∵3<<4，
∴此方程为“限根方程”；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，
∵x1+x2+x1x2=-1，
∴+=-1，
∴k=2或-1；
①当k=2时，x1=，x2=-1，
∴3<<4，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，x1=-2，x2=-1，
∴<3，
∴k=-1（不合题意，舍去）．
∴k的值为2；
（3）解此方程得：x=-1或m,
∵此方程为“限根方程”，
∴Δ＞0，且m＜0，即（1-m）2+4m＞0，
∴（m+1）2＞0，
∴m＜0且m≠-1；
①当-1＜m＜0时，x1=-1，x2=m,
∵3<＜4，
∴；
②当m＜-1时，x1=m,x2=-1，
∵3<＜4，
∴-4＜m＜-3．
综上所述，m的取值范围为或-4＜m＜-3．

23.【答案】【小题1】解：∵AG=GE，BG⊥AP，
∴AB=BE=2，
在正方形ABCD中，∠ABP=90°，AB=2，PB=1，
在Rt△ABP中，AP==3，
∵△ABP的面积=AP×BG=AB×BP，
∴BG==
【小题2】如图2，过C作CH⊥AE于H，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP=∠CHP=90°，
∵P为BC的中点，
∴BP=CP，
∵∠BPG=∠CPH，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG=CH，∠GBP=∠PCH，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°，∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠GBP=∠BAG，
∴∠PCH=∠BEP，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠HCE=∠HEC，
∴CH=EH，
∵∠CHE=90°，
∴CE=CH，
即CE=BG
【小题3】如图3，过点D作DK⊥AE于K，
∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=∠EBN，
由（2）可知∠GBP=∠BEP，
∵BG⊥AE，
∴∠GBP+∠PBN=45°，即∠GBN=45°=∠GNB，
∴BG=GN，BN=GN，
∵DK⊥AP，∠DAB=90°，
∴∠DAK+∠ADK=∠DAK+∠BAK=90°，
∴∠ADK=∠BAK，
∵∠AKD=∠AGB=90°，AD=AB，
∴△ADK≌△BAG（AAS），
∴AK=BG=GN，DK=AG，
∴KN=KG+GN=KG+AK=AG，
∴DK=KN，
∵∠DKN=90°，
∴DN=KN=AG，
∴BN+DN=GN+AG=AN

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