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2026-2027学年内蒙古包头市第四中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，真命题是( )
A. ，
B. ，
C. “，”是“”的充分不必要条件
D. 设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，则三角形的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
6.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
7.若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知为定义在上的偶函数，且，当时，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 当时，的最小值为
B. 函数且恒过定点
C. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为
D. 函数的定义域为
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在处取得极小值
B. 若在区间上单调递减，则
C. 当时，对任意，都有
D. 存在唯一的，使的极大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数为，且，则 ．
13.已知，，则 ．
14.中，为边中点，，，则 用，表示；若，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：
；
；
已知角的终边经过点，求的值．
16.本小题分
已知向量，函数．
求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；
当，且时，求的值．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
求角；
若，，求的面积；
若，求的取值范围．
18.本小题分
珠城陶山西麓，嘉年华主题乐园中的淮河之眼摩天轮曾被誉为“蚌埠地标”游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，该摩天轮最高点距离地面高度为米，转盘直径为米，设置有个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转；游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
坐上摩天轮转动一圈，当距离地面米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感小明能有多长时间感受这个过程？
小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性与极值点；
当时，
证明：曲线关于中心对称；
若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：原式
；
原式
；
因为角的终边经过点，
所以，
原式．
16.【答案】最小正周期为，对称轴为；
．
17.【答案】解：因为，且，所以，
结合正弦定理得，即，
所以，可得，，结合，所以；
由得，在中，，，根据余弦定理得，
即，化简得，解得不符合题意，舍去，
所以；
若，则由余弦定理得，即，整理得，
结合，可得，
所以，当且仅当时等号成立，
解得，结合，解得，所以的取值范围为．
18.【答案】，， 米
19.【答案】解：由，
得，
当时，，在上单调递增，无极值点；
当时，由，可得或，由，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
极大值点为，极小值点为；
当时，由，可得或，由，可得，
在和上单调递增，在上单调递减，
极大值点为，极小值点为；
证明：当时，，，
又
，
故曲线关于点中心对称；
设切点为，则切线方程为，
代入点得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，，
要使过点有三条切线，需，即，
故实数的取值范围为．
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