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2026-2027学年河南省郑州外国语学校高三（上）调研
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.若函数的零点所在区间为，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.使得“”成立的充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为，集合，，则( )
A. B. C. D.
5.将方程对应的曲线绕原点逆时针旋转角后，所得曲线是一个函数的图像，则锐角的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.若不等式恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题：，命题：，且命题是的必要不充分条件，则( )
A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件
C. 命题可以是“” D. 命题可以是“”
10.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的一个周期为
C.
D. 的图象关于点对称
11.已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有( )
A.
B. 当时，与的大小关系不确定
C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为
D. 记，当时，若为的极小值点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ．
13.若对满足条件的任意实数，，恒成立，则实数的最大值为 ．
14.若，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式．
数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，．
求证：．
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻．
第二局乙获胜的概率；
若，求甲在四局以内赢得比赛的概率；
若，记游戏局数为，求的最大值．
18.本小题分
已知双曲线
，求双曲线的渐近线方程．
设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值；
已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为，求直线的斜率．
19.本小题分
已知，
当时，证明：；
设，若对任意的，恒成立，求的取值范围；
证明：对任意的正整数，总有．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设等差数列公差为，
因为，所以，
因为，，所以，
则，解得，即，
联立，解得，
则．
证明：由知，故，
，
，
因为，所以．
16.【答案】解：证明：取中点，连接，，
因为底面为平行四边形，，，，，
所以根据余弦定理可得，
所以，又，中点为，
所以，，又，
所以平面，又平面，
所以；
因为侧面底面，又，，
所以可得，，，两两相互垂直，所以建系如图：
底面为平行四边形，，，，．
所以，，所以，
则，，，，
所以，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，，
取，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
，．
17.【答案】；
；
．
18.【答案】；
；

19.【答案】证明：由题意，，
当，，则，定义域为，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以当时，
所以得证 证明：由中结论，
有当时，，对任意的恒成立，
取可得，，对任意的恒成立，
即对任意的，，变形可得，
分别令，，，，可得，，，，
累加可得，证毕
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