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2026-2027学年河北省廊坊市中国石油天然气管道局中学高三（上）阶段检测数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.正四棱锥的顶点都在半径为的球面上，当棱锥的体积最大时，它的高为．
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线上运动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知平面直角坐标系中三个点，若函数的图象恰好只经过上面三个点中的两个，则的值不可能为( )
A. B. C. D.
8.命题：“，有解”是假命题，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数其中且，则下列结论正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 函数在其定义域上有零点
C. 函数的图象过定点
D. 当时，函数在其定义域上为单调递增函数
10.设无穷数列的前项和为，且若存在，使成立，则( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 对任意给定的实数，总存在，当时，
11.已知函数的导函数为，与的定义域都是，且满足，，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于中心对称 B. 为周期函数
C. D. 是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则 ．
13.已知棱长为的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为的小正四面体如图，剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内容器壁厚度忽略不计，则该球形容器表面积的最小值为 ．
14.已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数，，．
求函数的解析式；
若函数在区间不单调，求的取值范围．
求函数在区间的最大值．
16.本小题分
题目将两正数积定以隐藏的形式给出比如与的积为定值的式子有什么呢？与的积为定值的式子有什么呢？解决下面问题：
若，求的最小值．
若，求的最小值．
17.本小题分
在中，．
求的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长．
条件：的面积为；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的标准方程．
已知圆，直线：，直线与椭圆交于，两点，为上异于，的点，且直线与圆相切．
若直线，的斜率存在，证明：直线，的斜率之积为定值，且直线与圆相切．
求面积的最小值．
19.本小题分
已知圆，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦．
求定点的坐标；
证明：不论取何实数，弦的长为定值；
设，，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为二次函数满足，所以函数的图象的对称轴为直线，
因为，
所以的最大值为，
可设函数，，
因为，所以，
故．
函数对称轴为直线，
要使函数在区间上不单调，则，
所以，解得，所以的取值范围；
由知：函数图象的对称轴为直线，且开口向下，
当，即时，函数在上单调递增，
此时最大值；
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减；
此时最大值；
当时，函数在上单调递减．此时最大值，
综上所述，当时，；
当时，；
当时，，
因此，．
16.【答案】解：若，则，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为；
若，则，，
根据基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
17.【答案】 选时三角形不存在；选时边上的中线的长为；选时边上的中线的长为
18.【答案】解：因为椭圆的长轴长为，所以；
又因为离心率，
解得，
因此椭圆的标准方程为．
如图，
设，，由于直线过原点，所以，关于原点对称，
因此点，
如果，的斜率存在，分别记为，，
那么有，
由于点，在椭圆上，
将两点代入椭圆方程可得，，
两式作差可得，
所以；
因此，的斜率之积为定值．
设过且斜率为的直线与圆相切，
所以的方程为，
所以，
有，
化简可得，
因为，
可化为，
如果与圆相切，那么有为方程的根，
所以，
又因为，的斜率之积为，所以，
所以
，
得也为方程的根，所以与圆相切；
当斜率不存在时，那么当时，
得，此时满足与圆相切，
当时，可得，满足与圆相切，
综上所述，有，与圆相切，那么，又因为点为的中点，
所以≌，所以，
，
直线：，那么可得直线的方程为，
联立直线和椭圆方程可得，解得，
所以，
同理，
所以，
令，可得：
，
导函数，，可得；，可得，
因此函数在单调递增，在单调递减，所以，
所以三角形的面积的最小值为．
19.【答案】．
将圆化为标准方程得，
该圆圆心为，半径为，
由弦长公式可得，
不论取何实数，弦的长为定值．

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