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2026-2027学年广西柳州市鹿寨县鹿寨中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知：，，：在上单调递增，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
6.若满足，当时，，则时，的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知为棱长为的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分个等级，其中能量单位：焦耳与里氏震级的对应关系为，则( )
A. 若某次地震的震级不超过级，则产生的能量低于焦耳
B. 若某次地震的震级超过级，则产生的能量高于焦耳
C. 级地震的能量是级地震的能量的倍
D. 级地震的能量是级地震的能量的
10.如图，在矩形中，，，为的中点，现分别沿，将，翻折，使点，重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的体积是
11.已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在四棱柱中，，四边形是边长为的菱形，，为与的交点则的长等于 ．
13.若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
14.在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间包括平面上现有一圆柱，其底面半径与高可任意调节，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且．
求的面积；
若为的中线，且，判断的形状．
16.本小题分
一个不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出个球．
求摸出的红球个数比黄球个数多的概率；
记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望．
17.本小题分
已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且．
求的方程；
过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点满足．
若时，求三棱锥的体积；
若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线，在点处的切线方程；
若在定义域内为增函数，求的取值范围；
若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 为等腰直角三角形
16.【答案】；

17.【答案】；
证明：如图：
方法：由题意知，的斜率不为，
可设的方程为，，
由，，可得，
则，，．
由题意知，则，，
，
所以．
方法：若的斜率不存在，可得，由题意知，
则，，，则．
若的斜率存在，可设的方程为，，
由可得，
则，，．
，
则
，
所以
18.【答案】 连接，，
由平面过直线，且，平面，则平面是平面，
因为平面，平面平面，所以，
结合的空间直角坐标系，
不妨设，则，，
又，，，，
则，所以，
，所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
显然是平面的法向量，
又平面与平面的夹角为，
则，
整理得，解得，或舍去，
即点，分别为侧棱，的中点，且平面的法向量为，
又点满足，
结合有，
则，
又平面，则，
所以，解得，
所以存在点为的三等分点，且靠近处，使得平面与平面的夹角为．
结合，在中有，则，
在正中，有，则，
又平面，，则平面，
又平面，则，
所以此时的面积为
19.【答案】解：因为，
所以当时，，
求导得，
所以，
又因，
所以曲线在点处的切线方程是；
因为函数，
所以
，
设，则在上单调递减，在上单调递增．
若，即时，则，有，，则是增函数；
若，即时，因为，
则有两个零点，记为，，不妨假设，
则，有，，
则在上单调递减，不合题意；
所以的取值范围是；
当时，由可知，是增函数，则在上至多一个零点；
当时，由可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，且，
所以，．
又因为，，，，
所以在，上各恰有一个零点，
所以在区间，各恰有一个零点，
所以的取值范围是．
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