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2026-2027学年四川省眉山第一中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和，，等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知二项式的展开式中所有项的系数和为，若且，则为( )
A. B. C. D.
6.在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，，，且，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 若，则
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称
10.设，为一次随机试验中的两个事件，若，则( )
A. B. C. D. 与相互独立
11.已知函数，，，则( )
A. 若，则函数有两个极值点
B. 若，且，则函数在上不单调
C. 若函数既有极大值又有极小值，则其极大值必大于
D. 函数的图象关于点成中心对称图形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则点到，两点的距离之和的最小值为 ．
14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
求证：平面；
若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的余弦值．
18.本小题分
设圆：与抛物线：交于，两点，已知．
求抛物线的方程；
若直线：与抛物线交于，两点点在第一象限，动点异于点，在抛物线上，连接，过点作交抛物线于点，设直线与直线交于点，当点在直线的左边时，求：
点的轨迹方程；
面积的取值范围．
19.本小题分
某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功次”或“连续失败次”时立即停止，各次测试相互独立若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率．
求，；
求；
该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，，即成功后动作稳定性会提升；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，，
所以由余弦定理得：，
又因为，所以；
由正弦定理得：，
所以，
由，得，
解得或舍去，
所以．
16.【答案】解：当时，，
，
则，，
所以当时，在点处的切线方程为．
，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，
因为当时，，
所以，即的取值范围是．
17.【答案】证明：取的中点，连接，，因为
平面平面，，，，
所以，平面平面，
所以平面，平面，
所以，
所以，，，
所以，所以，
即，而，
所以平面；
解：由可得在平面的投影为，
设二面角的平面角为，则，
设，则，
由可得，所以，
，
所以，解得，
因为平面，
所以为直线与底面所成的角，设，
则，
所以．
即直线与底面所成角的余弦值为．
18.【答案】解：圆化为标准方程，
则圆心，半径为，
设与轴交于点，如图，
圆和抛物线都关于轴对称，则，两点也关于轴对称，，
在，，则，
抛物线过点，即，则，
则抛物线方程为；
由 ，解得点，，则，
设动点，
则直线的斜率为，直线，
直线的斜率为，直线，
将抛物线代入直线得，
解得点，则直线的斜率为，
直线，
联立，
消去，化简得，
又点在直线的左边，则，即，
，则，
又，，，解得：，，
点的轨迹方程为且，
设，则到直线的距离，
又，
则，
，
又且，
，
．
19.【答案】解：根据题意，若恰好次测试后成功终止，则第一次测试失败，第二、三次测试成功，
恰好次测试后成功终止的概率为，
同理：若恰好次测试后成功终止，需要第一次测试成功，第二次测试失败，第三、四次测试成功，
恰好次测试后成功终止的概率为；
根据题意，要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功，
当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败，成功失败各次，
所以；
当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败，则前次测试成功次，失败次，
所以；
综合可得：，变形可得．
根据题意，定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止，
为上次测试成功但测试未终止，
设，，为从状态，，出发最终成功终止的概率．
则，故，
当成功增益为，即时，
将代入得初始状态下最终成功终止的概率，
同理若成功增益，
则初始状态下最终成功终止的概率，
由题设有，故，此时，
所以满足条件的的最小值为．
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