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2026-2027学年辽宁省名校联盟高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知定义域为的函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知内角，，所对的边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.记为正项等比数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则( )
A.
B. 点为曲线的一个对称中心
C. 将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
D. 函数在上的值域为
11.在等差数列中，，记为数列的前项和，且从数列中去掉与数列中相同的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列，设数列的前项和为，则( )
A.
B.
C.
D. 当是的倍数时，被整除的余数为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
13.已知函数，若实数满足，则满足条件的实数的值有 个
14.已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后既可为等差数列，也可为等比数列，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求数列的通项公式；
设，证明：．
16.本小题分
已知函数．
求关于的不等式的解集；
若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数是偶函数，且函数为奇函数．
求的解析式；
若不等式的解集为．
求集合；
(ⅱ)设，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
设点在边上，，边上的中线与相交于点．
若为定值，且的最大面积为，求；
(ⅱ)若，且，证明：．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
证明：有唯一的极大值点；
设为的极大值点，且证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，得，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
故．
证明：由知，，
所以．
16.【答案】解：．
由得，即，
所以，即，，
故不等式的解集为．
当时，，且与一一对应．
在该区间上，在上由递增到，在上由递减到．
所以方程有两个不相等的实根，当且仅当，即．
17.【答案】解：因为是偶函数，所以，
所以，
又，
所以，
由得；
由可知，为奇函数，则，
又，在上均为减函数，所以在上为减函数，
由，得，
根据在上的单调性可知，，
解得，故A；
(ⅱ)由(ⅰ)可知，所以，
当时，，
由，得，
所以在上恒成立，
令，则，
所以，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
故实数的取值范围为．
18.【答案】解：根据二倍角公式可得，
根据边角转换可得，
则，
，则；
过点作，交于点，如下图所示：
易知为的中位线，则，，
，则，
，则，所以，
则，
，则，则，
，当且仅当时取等号，
所以，
的最大面积为，则，
解得；
(ⅱ)证明：由，
两边平方得，，
又由，所以，
即，
又由，有，整理得，
又由，所以，
因此为等边三角形，所以，
由(ⅰ)可知，，所以，
在中，，由余弦定理得，．
19.【答案】解：当时，，
又，则，
所以当时，曲线在点处的切线方程为，
即；
证明：，
当时，，在上单调递减；
当时，，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
由，得，
所以，则，
令，
易知在上单调递减，又，
，
设，则，令，
所以，则在上单调递减，
所以，即，
因此，
结合单调性，可知存在唯一的，使得，
即，故为唯一的极值点，
当时，，即，所以在上单调递增，
当时，，即，所以在上单调递减，
再结合在上单调递减，所以为在上的极大值点；
综上可知，有唯一的极大值点；
由知，的最大值为，
当时，，所以，
则，
由，恒成立，得，则，
因为，且，可得，有，
又由函数单调递增，且有，可得，
将代入不等式，
可化为，
令，
有，
令，
有，
由，有，
可得函数单调递减，可得，
可得函数单调递增，有，
故不等式成立．
第1页，共1页

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