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2026-2027学年广东省广州市真光中学高中部汾水校区高三（上）阶段训练数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？结果取整数，参考数据：，
A. B. C. D.
5.“”是“点在圆外部”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.非零向量满足与垂直，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.数列的前项和为，的前项和为，则数列( )
A. 有最大项也有最小项 B. 无最大项也无最小项
C. 有最小项但无最大项 D. 有最大项但无最小项
8.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 一共有项 B. 第项为
C. 所有项的系数和为 D. 所有项的二项式系数和为
10.在边长为的等边三角形中，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数有三个单调区间
B. 函数有最小值
C. 函数在上单调的充要条件是
D. 函数有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个等边三角形边长为，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为 ．
13.在中，若，，则 ．
14.已知不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项．
求数列的通项公式；
若恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数的图象在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是正三角形，，，．
求证：平面平面；
设，若点，，，，均在球的球面上且点在平面内．
求四棱锥的体积；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，信号的传输相互独立由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为假设发送信号和是等可能的．
若，，求接收的信号为的概率；
现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为．
若采用三次传输方案，若发送，求依次收到，，的概率；
若发送的信号为，译码为，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由．
19.本小题分
如图，圆：，是圆内一个定点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
记的左顶点为，直线与交于，两点，直线，的斜率之积为．
证明：直线过定点；
若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为：？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】，；

17.【答案】证明：由条件得，，，则是线段的中垂线，
所以，
又，，，平面，
所以平面，而平面，
故平面平面；
；
18.【答案】；
；
当时，此时选用三次传输方案．
当时，选用哪种传输方案都可以．
当时，此时选用单次传输方案
19.【答案】；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
则，
整理得，
解得或，
当时，直线方程为，
此时直线过点，不符合题意；
当时，直线方程为，
此时直线过定点，
综上所述，直线过定点；
存在，
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