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北师大版2026—2027学年八年级上册期中模拟押题上分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八上·义乌期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．55
2．（2025八上·天津期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(　　)
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2025八上·柯城期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·安次期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的平方根为（　　）
A．1 B． C． D．0
5．（2025八上·南山期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．小米的速度为
B．小华提速后的速度为
C．小米比小华先出发
D．小华比小米提前到达客人位置
6．（2025八上·龙华期中）关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、四象限 B．函数值随自变量的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点
7．（2025八上·成都期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（　　）
A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米
8．（2025八上·成都期中）《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·岳阳期中）有下列算式：①；②；③；④。其中正确的是（　　）
A．②④ B．①③ C．③④ D．①④
10．（2025八上·通川期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·播州期中）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组　 　．
12．（2025八上·滨江期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为　 　．
13．（2025八上·龙岗期中）如图是函数的图象，与轴交于点，若点，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则　 　．
14．（2025八上·南山期中）将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x的函数关系式　 　.
15．（2025八上·鄞州期中）如图，已知 ，则∠BAD=　 　.
16．（2025八上·通川期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·锦江期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，
（1）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求、点的坐标；
（2）若满足．若点到轴的距离是点到轴距离的3倍，求点的坐标．
18．（2025八上·鹤山期中）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（2025八上·龙华期中）为响应政府号召，某地水果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台线上零售水果．已知线上零售200kg、线下批发400kg 水果共获得18000元：线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某月线上零售和线下批发共销售水果4000kg，设线上零售mkg，获得的总销售额为w元：
①请写出w与m的函数关系式：
②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？
20．（2025八上·玉环期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点E，AC⊥BD，请你利用所学的知识来解决以下问题：
（1）若AB=3， CD=4，
则 　 　；　 　；　 　.
（2） 猜想AB， BC， CD， AD的等量关系， 并说明理由.
（3） 若. 若 则四边形ABCD的面积为　 　.
21．（2025八上·兰州期中）峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元/kg的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元/kg的价格购买；某竹叶青二级经销商此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量；
（3）此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
22．（2024八上·南海期中）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝，过B点BCOG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024八上·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______；
（2）若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围．
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北师大版2026—2027学年八年级上册期中模拟押题上分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八上·义乌期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】【解答】解：有三个正方形a，b，c，
，
，
，
，，
，
，
在中，勾股定理得：，
．
故选C．
【分析】
利用正方形边长相等的性质，结合全等三角形的判定与性质和勾股定理进行计算即可．
2．（2025八上·天津期中）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(　　)
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据网格得出，，
在与中
∴，
∴，
即平分
∴到两边距离相等的格点应是点，
故选A
【分析】
通过SSS判定定理证明，再根据全等三角形对应角相等推出，最后结合角平分线的定义即可解决问题.
3．（2025八上·柯城期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、设，，，则，
，∴，不是直角三角形，符合题意；
B、，，，是直角三角形，不符合题意；
C、，且，，∴，是直角三角形，不符合题意；
D、，，是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，逐项进行判断是否为直角三角形，即可得出答案．
4．（2025八上·安次期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的平方根为（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，关于y轴对称，
∴，
解得，
∴，
即的平方根为，
故答案为：C．
【分析】关于y轴对称的点的特点，即横坐标互为相反数、纵坐标相等，因此本题可以先列式，求出a和b之后代入计算即可。
5．（2025八上·南山期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为（单位：），小米和小华行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．小米的速度为
B．小华提速后的速度为
C．小米比小华先出发
D．小华比小米提前到达客人位置
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始，
∴小米比小华先出发，故C错误.
∵当时，，当时，，
∴小华提速前的速度是，
∵小华出发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小华提速后的速度为，故B错误.
∴提速后小华行走所用时间为，
∴，
∴，
∴小米的速度为，故A正确.
∵，，
∴小华比小米提前到达客人位置，故D错误.
故答案为：A．
【分析】由图像可知，小米的图像从开始，小华的图像从开始，即可得小米比小华先出发，可判断 C，当时，，当时，，即可得小华提速前的速度，进而可计算出小华提速后的速度，可判断B，求出，即可求出小米的速度，可判断A，进一步计算可得小华比小米提前到达客人位置，即可判断D .
6．（2025八上·龙华期中）关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、四象限 B．函数值随自变量的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点
【答案】D
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A，B不符合题意；
当时，则，解得，
∴图象与x轴交于，故C不符合题意；
当时，则，
∴图象与y轴交于，故D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查一次函数的图象性质、增减性及与坐标轴的交点计算。一次函数中，决定直线的倾斜方向与增减性，决定直线与 y 轴的交点位置。本题中、，因此直线从左下向右上上升，y 随 x 的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，据此可判断 A、B 选项错误。求与 x 轴交点时令，解方程得，即交点为，故 C 选项错误；求与 y 轴交点时令，得，即交点为，因此 D 选项正确。
7．（2025八上·成都期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（　　）
A．2.2米 B．1.9米 C．2.5米 D．2米
【答案】C
【解析】【解答】解：设竿的长度为x米，则门宽为米，
根据勾股定理，得，
解得，
则竿的长度为米．
故答案为：C．
【分析】设竿的长度为x米，可表示出门的宽，再根据勾股定理可得到关于x的方程，解方程即可.
8．（2025八上·成都期中）《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意得：，
故选：A．
【分析】设买美酒斗，买普通酒斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
9．（2025八上·岳阳期中）有下列算式：①；②；③；④。其中正确的是（　　）
A．②④ B．①③ C．③④ D．①④
【答案】A
【解析】【解答】解：、不是同类项，①计算错误；
，②计算正确；
，③计算错误；
，④计算正确，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断即可.
10．（2025八上·通川期中）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（　　）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】A
【解析】【解答】解：一次函数图象与x轴交于点B
将代入得，，点A的坐标为，
同理可得，点B的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
OC即为AB边上的高h，即
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，
，
解得：，
即点的坐标为，
．
故选：A．
【分析】本题主要对一次函数图象上点的坐标特征进行考查，根据一次函数与x，y轴分别交于A、B两点．可求出点A和点B的坐标分别为点A的坐标为，点B的坐标为，再求出的长，利用面积法求出边上的高h=2.4，由意义中可以得出，过点D作的垂线，垂足为H，证明，可得出，设，则，在中有，解方程计算出。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·播州期中）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤两，半斤两）其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，可列方程组　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设客人为人，银子为两，每人分7两时，银两总数可表示为；每人分9两时，银两总数可表示为，
故得方程组，
故答案为：
【分析】设客人为人，银子为两，每人分7两时，银两总数可表示为；每人分9两时，银两总数可表示为，进而即可列出方程组。
12．（2025八上·滨江期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设，
∵绳索长度不变，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中，，代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】
秋千摆动时绳长始终保持不变，因此可得。已知秋千初始位置的高度和推送后的高度分别为和，由此可以推出。设绳长，那么，在直角三角形中，三边满足勾股定理，代入求解即可得到未知数的值。
13．（2025八上·龙岗期中）如图是函数的图象，与轴交于点，若点，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：点，，都在函数图象上，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
故答案为：．
【分析】因为所有的点都在一次函数的图象上，所以把它们代入，求出纵坐标，再把代入，找到规律后，根据有理数混合运算等知识计算即可得答案．
14．（2025八上·南山期中）将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x的函数关系式　 　.
【答案】y=27x+3．
【解析】【解答】解：每张纸条的宽度是30cm，x张应是30xcm，由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去，∴y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3．
故答案为：y=27x+3．
【分析】等量关系为：纸条总长度=30×纸条的张数﹣（纸条张数﹣1）×3，即y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3.
15．（2025八上·鄞州期中）如图，已知 ，则∠BAD=　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：由∠BAC=90°，故AC=，
而AD=CD=1，故，
故△ACD为等腰直角三角形
得∠CAD=45°
故∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-45°=45°.
故答案为： 45°.
【分析】由勾股定理得AC的长，由此知△ACD为等腰直角三角形，得∠CAD的度数，即可得∠BAD的度数.
16．（2025八上·通川期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：∵，
∴，
方法二：∵，
∴．
∵，
∴最短距离是： ．
故答案为： ．
【分析】这道题目要求我们计算一只蚂蚁从点A爬到点P的最短距离，其中A和P分别位于两个正方体的顶点上，我们需要结合几何知识和展开图的方法来解决这个过程.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·锦江期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，
（1）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求、点的坐标；
（2）若满足．若点到轴的距离是点到轴距离的3倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是
∴
则
解得
则
解得；
∴点的坐标为，
∵
∴
∵是的整数部分，
∴
∴点的坐标为，
（2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，且点到轴的距离是点到轴距离的3倍，
∴，
当时，
∵，
∴，
整理得
解得，
此时；
当时，
∵，
∴，
整理得
解得，
此时；
综上：或．

【解析】【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义计算：因为的立方根是，的算术平方根是，由此可以算出，；接下来估算无理数，是的整数部分，可得，代入后就能得到、两点的坐标；
（2）先明确“点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值”，题目说点到轴的距离是点到轴距离的3倍，因此可以得到关系式，接下来分横坐标同号、横坐标异号两种情况分类讨论，再结合方程组求解，就能得到最终结果.
（1）解：∵的立方根是的算术平方根是
∴
则
解得
则
解得；
∴点的坐标为，
∵
∴
∵是的整数部分，
∴
∴点的坐标为，
（2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，且点到轴的距离是点到轴距离的3倍，
∴，
当时，
∵，
∴，
整理得
解得，
此时；
当时，
∵，
∴，
整理得
解得，
此时；
综上：或．
18．（2025八上·鹤山期中）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解： 因为△ABC≌△DEF.
所以BC=EF.
所以BC-FC=EF-FC.
即BF=EC=3m.
因为BE=BF+FC+EC.
所以10=3+FC+3.
解得FC=4m.
【解析】【分析】 (1) 本题主要考查了全等三角形的判定. 首先由AB平行DE得出内错角相等， 即∠ABC=∠DEF. 然后结合已知条件AB=DE， ∠A=∠D， 利用ASA判定定理即可证明两三角形全等；
(2) 本题主要考查了全等三角形的性质及线段长度的计算. 首先由全等三角形对应边相等得BC=EF. 两边同时减去FC， 可得BF=EC. 再由BE=BF+FC+EC代入数值， 即可求出FC的长度.
19．（2025八上·龙华期中）为响应政府号召，某地水果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台线上零售水果．已知线上零售200kg、线下批发400kg 水果共获得18000元：线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某月线上零售和线下批发共销售水果4000kg，设线上零售mkg，获得的总销售额为w元：
①请写出w与m的函数关系式：
②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？
【答案】（1）解：设线上零售水果的单价为每千克x元，线下批发水果的单价为每千克y元，由题意得：
，解得，
∴线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元.
（2）解：①由题意可得：
，
∴w与m的函数关系式是.
②∵线上零售和线下批发的数量相等，
∴，解得，
∴当时，，
∴当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为130000元．
【解析】【分析】（1）设线上零售水果的单价为每千克x元，线下批发水果的单价为每千克y元，根据题目情境列出方程组，解出即可得线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元.
（2）①根据题目情境，结合（1）中线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元，即可写出w与m的函数关系式.
②根据线上零售和线下批发的数量相等，可以求得m的值，然后代入①中关系式计算即可得当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为130000元．
（1）解：设线上零售水果的单价为每千克x元，线下批发水果的单价为每千克y元，由题意得：
，
解得，
答：线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元；
（2）解：①由题意可得，，
即w与m的函数关系式是；
②∵线上零售和线下批发的数量相等，
∴，
解得，
∴当时，，
答：当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为130000元．
20．（2025八上·玉环期中）如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点E，AC⊥BD，请你利用所学的知识来解决以下问题：
（1）若AB=3， CD=4，
则 　 　；　 　；　 　.
（2） 猜想AB， BC， CD， AD的等量关系， 并说明理由.
（3） 若. 若 则四边形ABCD的面积为　 　.
【答案】（1）9；16；25
（2）解：等量关系为：
∵AC⊥BD
同理：
（3）
【解析】【解答】解：
+16=25；
故答案为： 9， 16， 25.
(3)设AE=x，则(CE=3x，设DE=y，则BE=2y，
由(2)结论可知
即.
整理得
在 中，
两式联立可得
解得为线段长，负值舍去)，
故答案为：
【分析】(1)由勾股定理直接得解即可；
(2)由题易得. 同理： 即可得解；
(3)设AE=x，则(CE=3x，设DE=y，则BE=2y，由题易得 在 中， 进而建立方程组求x、y即可得解.
21．（2025八上·兰州期中）峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元/kg的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元/kg的价格购买；某竹叶青二级经销商此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量；
（3）此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【答案】（1）解：根据题意，得；
（2）解：当时，，
解得：，
若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为；
（3）解：当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
，
按方式一购买可以获得更多的茶叶．
【解析】【分析】(1) 总费用=会员费+单价×购买质量，据此直接列出函数解析式：，；
(2) 令，列方程，求解的值，即为两种方式费用相同时的购买质量；
(3) 分别令和，列方程求出对应的值：解得，解得，比较两个的大小，，故方式一购买更多。
22．（2024八上·南海期中）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝，过B点BCOG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线y=x-4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令y=0，则x-4=0，
∴x=4，
令x=0，则y=-4，
∴A（4，0），B（0，-4）；
（2）∵A（4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE=2，
过F作FB'⊥y轴于B'，
∴∠AOE=∠OB'F=90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF=∠B'OG+∠AOF=90°，
∴∠OAE=∠B'OF，
∵OF=AE，
∴△AOE≌△OB'F（AAS），
∴FB=OE=2，OB'=OA=4，
∵OB=4，
∴点B与点B'重合，∴EF=，
（3）存在，∵k=，
∴直线OG：y=x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴设直线BC的解析式为y=x-4，
当y=0时，即x-4=0，
∴x=-3，
∴C（-3，0），
如图，当点M在点A的左侧，
∵∠ABO=45°，∠ABM+∠CBO=45°，
∴∠MBO=∠CBO，
∵∠COB=∠NOB=90°，OB=OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM=OC=3，
∴M（3，0）；
当点M在点A的右侧时，
∵∠OAB=∠AM'B+∠ABM'=45°，∠ABM'+∠CBO=45°，
∴∠AM'B=∠OBC，
∵∠CBO=∠OM'B，
∴∠COB+∠OBM'=90°，
设OM'=a，
，
∵，
∴，
解得：，
∴M'（，0），
综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，然后代入y=x-4，即可求出A和B的坐标；，（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，进而可求出OA和OB的值，然后再根据点E是线段OB的中点，求出OE的值，过F作FB'⊥y轴于B'，根据全等三角形的性质，得到FB=OE，OB'=OA=4，最后再根据勾股定理，即可求出EF的值；
（3）根据题意，求出C点坐标，分两种情况：当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质，求出OM=OC=3；当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得到结论。
23．（2024八上·北京市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴．给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知，，，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是______，______，______；
（2）若点D的坐标是，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，，，，以线段为边在x轴上方作正方形，若点P，Q关于y轴和直线l的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，直接写出a的取值范围．
【答案】（1），，；
（2）解：∵点D的坐标是，
∴点D关于y轴对称点的坐标为，
∴关于直线l对称的点，
∴；
（3）或．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴点A关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点B关于y轴对称点的坐标为，
∵直线l经过点，且平行于y轴．
∴关于直线l对称的点为，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点C关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标；
故答案为：（3，0）；；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，或，
∴，或．
故a的取值范围为：或．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，结合二次反射点的定义即可求出答案.
（2）据关于y轴对称的点的坐标特征，结合二次反射点的定义即可求出答案.
（3）根据，，二次反射点的定义得出，根据，，求出，或，即可求出答案.
（1）解：∵，
∴点A关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点B关于y轴对称点的坐标为，
∵直线l经过点，且平行于y轴．
∴关于直线l对称的点为，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标，
∵，
∴点C关于y轴对称点的坐标为，
∵关于直线l对称的点，
∴关于y轴和直线l的二次反射点的坐标；
故答案为：（3，0）；；
（2）解：∵点D的坐标是，
∴点D关于y轴对称点的坐标为，
∴关于直线l对称的点，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，或，
∴，或．
故a的取值范围为：或．
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