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北师大版2026—2027学年九年级上册期中模拟重点专练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025九上·温州期中）抛物线与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·岳阳期中）漳浦一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台AB的长为18m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则BC的长为（结果精确到0.1m）（　　）
A．6.8m B．10m C．11.1m D．10.8m
3．（2025九上·清镇市期中）如图，四边形的对角线与相交于点，且，，则四边形的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．8
4．（2025九上·永康期中）如图，已知 ，四边形 的面积为 若 经过 的重心，则 的面积为（　　）
A．25 B．26 C．27 D．28
5．（2025九上·淳安期中） 关于二次函数y=-3(x-1)2+2， 下列说法正确的是 (　　)
A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x=-1
C．抛物线的顶点坐标是(1，2) D．当x>1时，y随x的增大而增大
6．（2025九上·奉化期中）如图，在Rt△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（　　）
A．ac=b B．a+c=b C． D．c2=ab
7．（2025九上·义乌期中）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·东坡期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·绍兴期中） 如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3 m．记正方形内除水池外的面积为y m2，圆的半径为x m，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝(x＋3)2－πx2 B．y＝4(x＋3)2
C．y＝4(x＋3)2－πx2 D．y＝(x＋3)2．
10．（2025九上·慈溪期中）如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·乐清期中）已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y=x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为　 　.
12．（2025九上·白银期中）若，则　 　.
13．（2025九上·平武期中）在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为　 　．
14．（2025九上·龙港期中）已知在二次函数 中，函数值y和自变量x的部分对应值如下表：
x ● 0 1 2 3 　
y … -5 -2 -1 -2 　
则关于x的一元二次方程 的解是　 　
15．（2025九上·金华期中）如下图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是　 　米．（保留根号）
16．（2025九上·通州期中）已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是　 　．
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；
②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下；
③若此函数的表达式为（），且图象经过，则；
④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·云溪期中）解下列方程．
（1）；
（2）．
18．（2024九上·衡阳期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如：．根据以上知识解决问题：
（1）求的值；
（2）若， 求x的值．
19．（2024九上·义乌期中）一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得．
（1）写出平移后的抛物线的函数表达式；
（2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值．
20．（2025九上·诸暨期中） 如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°.
求：
（1）∠AED和∠ADE的大小.
（2）DE的长.
21．（2025九上·龙岗期中）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克，
（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为　 　千克，每天共盈利　 　元；
（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？
22．（2025九上·北京期中）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m(水平距离)处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度 4m.已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心.请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽.但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规.在(1)的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面　 　米范围内跳起拦截才能盖帽成功
23．（2025九上·福田期中）在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．
（1）如图1，若四边形是正方形，
①求证：；
②当G是中点时，________________度；
（2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长；
（3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________．
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北师大版2026—2027学年九年级上册期中模拟重点专练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025九上·温州期中）抛物线与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线与y轴相交时，
∴把代入，得，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：B．
【分析】把代入函数解析式进行计算，求出y值，即可得出答案．
2．（2025九上·岳阳期中）漳浦一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台AB的长为18m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则BC的长为（结果精确到0.1m）（　　）
A．6.8m B．10m C．11.1m D．10.8m
【答案】C
【解析】【解答】已知舞台AB=18m，点C是AB的黄金分割点且ACBC=×AB≈0.618×18≈11.1m.
故答案为：C。
【分析】本题主要考了黄金分割点的定义，若点C是线段AB的黄金分割点，且AC3．（2025九上·清镇市期中）如图，四边形的对角线与相交于点，且，，则四边形的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
平行四边形是矩形，
，，
，
，即，
四边形是正方形，
.
故答案为：C．
【分析】根据，可证明平行四边形是矩形，再根据，，可得，进一步得，可证明四边形是正方形，即可计算四边形的面积.
4．（2025九上·永康期中）如图，已知 ，四边形 的面积为 若 经过 的重心，则 的面积为（　　）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE经过△ABC的重心，
∴DF//BC， DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，
∴
∴
∴，，
∴设△ABC的面积为9k，则△BDE的面积为4k，△ADF的面积为k，
∴四边形DECF的面积为9k-4k-k=4k，
4k=12，
∴k=3，
∴9k=27.
故答案为：C .
【分析】设重心为G，则BG=2GH，根据三角形相似的判定与性质可得，，，列出方程组并求解即可.
5．（2025九上·淳安期中） 关于二次函数y=-3(x-1)2+2， 下列说法正确的是 (　　)
A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线x=-1
C．抛物线的顶点坐标是(1，2) D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵y=-3（x-1）2+2，
∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，2），
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故答案为：C .
【分析】 根据题目中的函数解析式，可以写出该抛物线的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意.
6．（2025九上·奉化期中）如图，在Rt△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（　　）
A．ac=b B．a+c=b C． D．c2=ab
【答案】B
【解析】【解答】解：将图上各点标记如下：
根据题意可知，DH∥AB，MF∥AB，
∴DH∥AB∥MF，
∴∠EDH=∠A，∠CFM=∠B，
又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFM+∠FGQ=90°，
∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFM，
∴△DHE∽△GMF，
∴，
即，
∴ac=（b-c）（b-a），
∴b2=ab+bc=b（a+c），
∴a+c=b，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得DH∥AB∥MF，进而得出∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFM，即可证明△DHE∽△GMF，根据相似三角形的性质可得，即，化简即可得出答案.
7．（2025九上·义乌期中）已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（为常数，）， 当时，，
∴抛物线开口向上，且与x轴的交点为（-1，0），（2，0），
∴ 二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为（-2，0），（1，0），
故答案为： B.
【分析】根据二次函数图象性质进行分析判断即可.
8．（2025九上·东坡期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故答案为：D．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，可表示出第一轮结束后患流感的人数，即可表示出第二轮结束后患流感总人数，然后列方程即可．
9．（2025九上·绍兴期中） 如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为3 m．记正方形内除水池外的面积为y m2，圆的半径为x m，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝(x＋3)2－πx2 B．y＝4(x＋3)2
C．y＝4(x＋3)2－πx2 D．y＝(x＋3)2．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得，正方形的边长为(2x+6)m，
故答案为：C.
【分析】根据题意得，正方形的边长为(2x+6)m，然后通过面积差即可求解.
10．（2025九上·慈溪期中）如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：延长交的延长线于一点，如图所示；
∵，
∴
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，，
则，
∵已知的值，
∴可以求出的值．
故选：A．
【分析】
先延长，交的延长线于点，结合平行线的性质，和是的中点，就可以证明。再结合已知条件，可以进一步证明。接下来，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质，可以推导出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例得到，整理后即可得到，由此即可得出最终答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·乐清期中）已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y=x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+4，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y=x2+bx+4上不同的两点，
∴A（x1，n）和B（x2，n）关于直线对称，
∴，即x1+x2=-b，
∵点（x1+x2，m），即（-b，m）在抛物线上，
∴m=b2+b （-b）+4=4．
故答案为：4．
【分析】利用二次函数的的对称性易得，即x1+x2=-b，再根据二次函数图象上点的特征，将（-b，m）代入二次函数解析式即可求解.
12．（2025九上·白银期中）若，则　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴b=2a，d=2c，f=2e，
∴.
故答案为：.
【分析】由等比的性质得b=2a，d=2c，f=2e，从而整体代入待求式子，分母利用提取公因式法分解因式后，约分化简即可.
13．（2025九上·平武期中）在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度与水平距离之间满足关系式，则实心球投出的水平距离为　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得x=8或x=-2(舍去)
∴实心球从起点到落地点的水平距离为8m，
故答案为：8.
【分析】把y=0代入，即可求出x的值即可得到结果.
14．（2025九上·龙港期中）已知在二次函数 中，函数值y和自变量x的部分对应值如下表：
x ● 0 1 2 3 　
y … -5 -2 -1 -2 　
则关于x的一元二次方程 的解是　 　
【答案】x1=0，x2=4
【解析】【解答】解：设二次函数y=-x2+bx+c，
依题意得：
解得：
∴二次函数为y=-x2+4x-5，
将b=4，c=-5代入方程-x2+bx+c+5=0得：-x2+4x-5+5=0，
化简得：-x2+4x=0，
-x(x-4)=0，解得x1=0，x2=4
故答案为：x1=0，x2=4.
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再将b=4，c=-5代入方程-x2+bx+c+5=0，求出方程的解即可.
15．（2025九上·金华期中）如下图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是　 　米．（保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：设边衬的宽度应该是xm，
则，
解得x=，
经检验：x=是方程的解，
∴x=，
故答案为： .
【分析】设边衬的宽度应该是xm，根据黄金比，列分式方程，解出x的值并检验解答即可.
16．（2025九上·通州期中）已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是　 　．
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；
②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下；
③若此函数的表达式为（），且图象经过，则；
④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：设过，两点的直线为，
∴ 解得：
∴直线为：
当时，
∴函数经过 故①符合题意；
此函数的图象为抛物线 且经过，，，
则 解得：
∴抛物线为：
∴抛物线的开口向上，故②不符合题意；
当函数的解析式为，且经过，，，
同理设抛物线
则解得：
∴抛物线为：
∴对称轴为直线
而 故③符合题意，
二次函数过，，则
解得：
所以抛物线为：
∴开口向下，且，而
∴，而
即
∴ 即 故④符合题意；
故答案为：①③④
【分析】本题考查一次函数与二次函数的解析式求解、图象性质综合应用。推断①用待定系数法求出直线解析式，代入验证是否过该点；推断②将三点代入一般式求出二次项系数，根据系数正负判断开口方向；推断③代入三点求出抛物线对称轴，验证对称轴的取值范围；推断④先用两点坐标表示出对称轴与的关系，再结合开口方向和对称轴范围，解不等式求出的取值范围。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·云溪期中）解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
∴；
（2）或
∴．
【解析】【分析】
（1）因式分解法解一元二次方程，利用十字相乘法进行因式分解，求解即可；
（2）因式分解法解一元二次方程，移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可．
（1）解：
或
∴；
（2）
或
∴．
18．（2024九上·衡阳期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如：．根据以上知识解决问题：
（1）求的值；
（2）若， 求x的值．
【答案】（1）解：∵，
∴当m=3，n=12时，
；
（2）解：∵，
当m=x，n=6时，
∴，
即，
解得：．
【解析】【分析】（1）直接根据新运算解答，即可求解；
（2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解．
（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
19．（2024九上·义乌期中）一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得．
（1）写出平移后的抛物线的函数表达式；
（2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值．
【答案】（1）解：向右平移1个单位得.
（2）解：将向上平移个单位后可得解析式为：，
∵平移后抛物线经过点，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据二次函数的平移法则即可得到答案，二次函数的平移法则为：横坐标：左加右减；纵坐标：上加下减；
（2）先根据平移法则得到平移后的解析式，再将点的坐标代入即可求出k的值．
（1）解：∵向右平移1个单位得，
∴平移后的抛物线的函数表达式为：；
（2）∵将向上平移个单位后得，
∴平移后的表达式为：，
∵平移后抛物线经过点，
∴，
∴．
20．（2025九上·诸暨期中） 如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°.
求：
（1）∠AED和∠ADE的大小.
（2）DE的长.
【答案】（1）∵ △ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C=35°，
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-40°-35°=105°；
（2）∵ △ABC∽△ADE，
∴，即，
解得DE=
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等求出∠AED的度数，然后根据三角形的内角和定理求出∠ADE的度数即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
21．（2025九上·龙岗期中）某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克，
（1）当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为　 　千克，每天共盈利　 　元；
（2）现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？
【答案】（1）480；3360
（2）解：设水果每千克应涨价x元，则
(5+x)(500－10x)=4500
解得：x1＝5，x2＝40．
因为同时又要使顾客得到实惠，所以水果每千克应涨价5元.
答：水果在原售价的基础上应涨价5元。
【解析】【解答】解：（1） 销售量 ：500-2×10=480（千克）； 盈利 ：480×（17-10）=3360（元）
故答案为：480；3360
【分析】（1）销售量=原销售量-涨价减少的销量，盈利=（售价-进价）×销量
（2）根据销量×单价利润=总盈利，设涨价为x元，根据题意列出方程解得
解得：x1＝5，x2＝40．因为同时又要使顾客得到实惠，所以水果每千克应涨价5元.
22．（2025九上·北京期中）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m(水平距离)处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度 4m.已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心.请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽.但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规.在(1)的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面　 　米范围内跳起拦截才能盖帽成功
【答案】（1）解：(∵抛物线顶点坐标为 (3，4)，
∴ 设抛物线的解析式为 。
把 (0，2.2) 代入，得 。
；
（2）解：把 x=5.5 代入抛物线解析式 ，
当x=5.5时，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的.
（3）1
【解析】【解答】解：（3）当y=3.2时， 解之，得x=1或x=5.
∴张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功.
故答案为：1.
【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为 ，求出手时的坐标为 ，设抛物线的解析式为 ，由待定系数法求解即可；
(2)求得当 时的函数值，与3.05比较即可说明小丽判断的正确性；
(3)将 代入函数的解析式求得 的值，进而得出答案.
23．（2025九上·福田期中）在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．
（1）如图1，若四边形是正方形，
①求证：；
②当G是中点时，________________度；
（2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长；
（3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________．
【答案】（1）①证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴.
②．
（2）解：如图，
取的中点，连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍去），
经检验：是原方程的解，
∴，
∴的长为.
（3）或或2.
【解析】【解答】解：②如图，
连接，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴.
故答案为：．
（3）∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当点为直角顶点时，如图：
设，则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴或.
当点为直角顶点时，如图：
过点作，则：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
综上所述，或或．
【分析】（1）①根据正方形的性质得相等，等于90度，进而得相等，再根据，结合即可证明.
②连接，即可得等于45度，根据全等得，再根据、相等，得，即可得，再根据为的中点，得，进而根据，计算即可得答案.
（2）取的中点，连接，根据为的中点，得，即可证明，根据相似三角形性质得，设，表示出，根据菱形性质求出，进而求出，代入比例式解出即可得的长.
（3）根据四边形是矩形，得等于3，等于4，等于90度，进而得
等于45度，当点为直角顶点时，设，表示出，，再根据，求出，再根据，证明，即可得，代入数据即可解出的长，当点为直角顶点时，过点作，同理可得的长，综上所述，即可得的长．
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