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沪科版2026—2027学年九年级上册期中模拟演练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各组种的四条线段成比例的是（　　）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
2．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，矩形的对角线相交于点．若，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为：若的面积为，则的面积是(　　)
A． B． C． D．
5． 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象关于原点对称
C．图象经过点（1，）
D．若点，都在该函数图象上，且，则
6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　）
A．2.5m B．5m C． D．10m
7． 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为 （　　）
A． B．
C． D．
8． 如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点C为原点建立平面直角坐标系，若AB=16，CD=5，则此抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　)
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知点为线段的靠近点的黄金分割点，其中线段，则线段的长度为　 　．
12．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 　 　米．
13．如图，反比例函的图象经过菱形OABC的顶点A，点B在y轴上，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若，则点D的坐标是　 　．
14．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则　 　
15．已知如图：抛物线与直线相交于点、两点，则关于的不等式的解集是　 　
16．如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知二次函数的图象经过点．
（1）求b的值；
（2）当时，求y的取值范围．
18．如图，在直角梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O．过点D作，交AC于点F．
（1）联结OE，若，求证：；
（2）若且，求证：．
19．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角，点C处的俯角，线段的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，，米．
（1）求无人机的飞行高度．
（2）求河流的宽度．
（参考数据：，，）
20．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品比每套B型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元．
（1）求A、B两种类型纪念品的进价；
（2）该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数，物价局规定该纪念品利润率不能高于，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？
21．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求的值；
（3）为何值时，有最大值？最大值是多少？
22．已知抛物线（a为常数）经过点（-1，0）.
（1）求a的值.
（2）过点A（0，m）（其中m<3）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若AC=2AB，求m的值.
（3）设直线l与抛物线交于点P（t-1，y），Q（t，y2），若直线l上方的抛物线（包含点P，Q）上，函数值的最大值大于2，求t的取值范围.
23．如图，四边形中，，，平分，点，分别在，上，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）求证：；
（3）如图2，连接交于点，若，，当时，求的值．
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沪科版2026—2027学年九年级上册期中模拟演练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各组种的四条线段成比例的是（　　）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
【答案】C
【解析】【解答】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据成比例线段的定义逐一判断即可得出结论.
2．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点，，
与关于轴对称，故选项A，B不符合题意；
，，
当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由点，，的坐标，即可得到与关于轴对称；且时，随的减小而增大，即可解题．
3．如图，矩形的对角线相交于点．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据矩的形性质可得，即可得到，进而得到是等边三角形，再利用余切函数解题即可．
4．如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为：若的面积为，则的面积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：与是位似图形，
位似比为2：3，
与的相似比为2：3，
的面积为，
，
.
故答案为：D.
【分析】先根据位似变换的定义得到再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
5． 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象关于原点对称
C．图象经过点（1，）
D．若点，都在该函数图象上，且，则
【答案】D
【解析】【解答】A选项：∵k=-2，
∴图象分布在第二、四象限，故A选项错误；
B选项：图象关于原点对称 ，故B选项错误；
C选项：∵当x=1时，y=-2，
∴图象经过点(1，)，故C选项错误；
D选项：∵k=-2，
∴y随x的增大而减小，
∴当，时，，故D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象的性质进行分析，即可得到答案.
6．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　）
A．2.5m B．5m C． D．10m
【答案】C
【解析】【解答】解：∵水平距离为5m， 坡比为i＝1：2.5 ，
∴铅直高度为5÷2.5=2m，
由勾股定理得：相邻两棵树间的坡面距离为(m).
故答案为：C.
【分析】利用坡度先求出铅直高度，再利用勾股定理求出坡面距离即可.
7． 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 将抛物线 先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位后， 抛物线的解析式为y=-（x-1+2）+4-3即y=-（x+1）+1.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
8． 如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点C为原点建立平面直角坐标系，若AB=16，CD=5，则此抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为：，
故答案为：．
【分析】根据待定系数法求解。先确定B点坐标，代入设定的抛物线解析式建立方程求解。
9．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
在和中，
，
，
，
，
在菱形中，，为的角平分线，
，则，
，
，
解得，则，
，
即，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
整理得，解得或（舍去），
即．
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质和翻折的性质得到，即可得到，然后推理证明，根据对应边成比例求出CH长解答即可．
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知点为线段的靠近点的黄金分割点，其中线段，则线段的长度为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由黄金分割点的概念进行计算，其中较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点的概念进行计算。其中较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．
12．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 　 　米．
【答案】8
【解析】【解答】由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
解得：CD=8米，
【分析】由题意得利用相似三角形的性质列出比例式将数据代入即可求解.
13．如图，反比例函的图象经过菱形OABC的顶点A，点B在y轴上，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若，则点D的坐标是　 　．
【答案】
【解析】【解答】设菱形OABC的边长为a，
∵∠BAO=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴点A的坐标为（），点C的坐标为（），
∵反比例函数的图象 经过菱形OABC的顶点A，
∴，
解得a1=2，a2=-2（舍），
∴菱形的边长为2，
∴点B的纵坐标为2，
∴点B的坐标为（0，2），
将y=2代入，可得2=，
解得：x=，
∴点D的坐标为（，0），
故答案为：.
【分析】设菱形OABC的边长为a，先求出点A的坐标为（），点C的坐标为（），再将点A代入求出a的值，再求出点B的坐标，再将y=2代入，可得2=，求出x的值，可得点D的坐标，从而得解.
14．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则　 　
【答案】
【解析】【解答】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，如图所示：
∵点A、B、C在正方形网格的格点上，
∴AC=，AB=，
∵S△ABC=×AC×BD=×BC×AE，
解得：BD=，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AC和AB的长，再利用S△ABC=×AC×BD=×BC×AE，求出BD的长，最后利用正弦的定义求出即可.
15．已知如图：抛物线与直线相交于点、两点，则关于的不等式的解集是　 　
【答案】或
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 抛物线在直线的下方，
即在交点A，B之间的图像符合题意，
∴或
故答案为： 或.
【分析】根据函数图象的上下关系即可解不等式.
16．如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：延长，两线交于点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
；
如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴．
故答案为：9
【分析】本题以四边形中的角平分线及等腰三角形为背景，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理的应用。延长CE、DA交于点Q，证△EAQ∽△EBC求AQ，由角相等得DQ=DC；过D作DH⊥CF，得矩形ABHD，设CH=HF=m，用勾股定理列方程求m，进而得CF。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知二次函数的图象经过点．
（1）求b的值；
（2）当时，求y的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入，
得，
解得；
即b的值为1.
（2）解：由（1）得：函数解析式为．
该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值为，
又∵，
∴当时，；
当时，．
故y的取值范围是．
【解析】【分析】本题主要考查二次函数解析式的求解、二次函数的图象与性质以及二次函数最值的计算.
（1）第一步先把点代入给定的函数解析式，进而计算得到参数b的值；
（2）先结合已知条件得到完整的二次函数解析式，再根据二次函数的开口方向与对称轴，确定自变量满足时，函数的最大值与最小值即可.
（1）解：将点代入，
得，
解得；
（2）由（1）得：函数解析式为．
该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值为，
∵，
∴当时，；
当时，．
故y的取值范围是．
18．如图，在直角梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O．过点D作，交AC于点F．
（1）联结OE，若，求证：；
（2）若且，求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形ABED为平行四边形
又∵
∴四边形ABED为矩形
∴，
又∵
∴
，
∴
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例求证。由，，得到，得比例式：，根据已知的OF AD=EC AO，得比例式：，于是有，则；
（2）根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例求证。先证明四边形ABED为矩形，得，根据ASA证明，得到，根据得到比例式，又，得到，即可证明.
19．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角，点C处的俯角，线段的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，，米．
（1）求无人机的飞行高度．
（2）求河流的宽度．
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：由题意得：，
∴．．
在中．，
∵米，
∴（米），
答：无人机的飞行高度为75米
（2）解：在中，，
∴（米），
∴（米），
答：河流的宽度为75米．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得．，在中，，据此即可求解；
（2）在中，由可求出的长，利用BC=CD-BD即可求解.
（1）解：由题意得：，
∴．．
在中．，
∵，米，
∴（米），
答：无人机的飞行高度为75米
（2）在中，，
∴（米），
∴（米），
答：河流的宽度为75米．
20．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品比每套B型纪念品的多元，套A型纪念品与套B型纪念品共元．
（1）求A、B两种类型纪念品的进价；
（2）该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数，物价局规定该纪念品利润率不能高于，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A、B两种类型纪念品的进价为x元，y元．
由题意得，
解得．
答：A、B两种类型纪念品的进价分别为元，元．
（2）解：根据题意可知，A型纪念品利润率不能高于，即，
解得，
又要保证A型纪念品有利润，
．
∴n的取值范围是．
设A型纪念品的销售总利润为w元，
，
， 即二次函数开口向下，
在范围内，w随n的增大而增大，
当n为元，w取到最大值，元．
答：当n为元，A型纪念品的销售总利润最大．最大利润是元．
【解析】【分析】（1）设A、B两种类型纪念品的进价为x元，y元，根据每套A型纪念品比每套B型纪念品多元及1套A型纪念品与2套B型纪念品共元，列出二元一次方程组并求解即可得到答案；
（2）先结合题意及利润率公式“利润率=利润成本”求出n的取值范围，再设A型纪念品的销售总利润为w元，根据总利润=单个商品的利润乘以销售数量列出w关于n的二次函数解析式，结合二次函数性质求出n取值范围内得w的最大值，即销售总利润的最大值．
（1）解：设A、B两种类型纪念品的进价为x元，y元．
由题意得，
解得．
答：A、B两种类型纪念品的进价分别为元，元．
（2）解：根据题意可知，A型纪念品利润率不能高于，
即，
解得，
又要保证A型纪念品有利润，
．
∴n的取值范围是．
设A型纪念品的销售总利润为w元，
，
， 即二次函数开口向下，
在范围内，w随n的增大而增大，
当n为元，w取到最大值，元．
答：当n为元，A型纪念品的销售总利润最大．最大利润是元．
21．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求的值；
（3）为何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：，∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，即，
解得，，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：由（1）知，化成顶点式：，
因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，
∴当时，y有最大值，且为，
此时，符合题意．
【解析】【分析】（1） 设矩形空地中，垂直于墙的边 ，据此可得， 利用矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，根据 墙长不超过 可得：，解不等式可求出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，则由可列出关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，再进行取舍，可确定x的值；
（3）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式可得：，据此可得开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，利用二次函数的性质可求出最大值，进而可求出AD，求出答案.
（1）解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
即，
解得，，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：由（1）知，
化成顶点式：，
因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，
∴当时，y有最大值，且为，
此时，符合题意．
22．已知抛物线（a为常数）经过点（-1，0）.
（1）求a的值.
（2）过点A（0，m）（其中m<3）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若AC=2AB，求m的值.
（3）设直线l与抛物线交于点P（t-1，y），Q（t，y2），若直线l上方的抛物线（包含点P，Q）上，函数值的最大值大于2，求t的取值范围.
【答案】（1）解：将点(-1，0)代入y=-x2+ax+3，
得：0=-(-1)2+a×(-1)+3
0=-1-a+3

（2）解：由(1)得抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，对称轴为直线x=1，
设B(xB，m)， C(xC，m)， xB∵直线BC//x轴
∴点B，C关于直线x=1对称，即，得xC=2-xB
∵A(0，m)，
∴AB=|xB|=-xB(B在y轴左侧)，AC=|xC|=xC(C在y轴右侧)
∵AC=2AB
∴xC=-2xB
联立xC=2-xB和xC=-2xB，得：-2xB=2-xB
∴xB=-2
当x=-2时，
∴y=-(-2)2+2×(-2)+3=-4-4+3=-5
∴
（3）解：抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为x=1，开口向下，
直线l上方的抛物线部分对应的自变量x的范围是[t-1，t]
①当t≤1时，区间在对称轴左侧，函数单调递增，最大值在x=t处取得
-t2+2t+3>2
t2-2t-1<0
解得
结合t≤1，得
②当14>2恒成立，故1③当t≥2时，区间在对称轴右侧，函数单调递减，最大值在x=t-1处取得
-(t-1)2+2(t-1)+3>2
令u=t-1，则-u2+2u+1>0，解得
即，得
结合t≥2，得
综上所述，t的取值范围为
答：t的取值范围是
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将已知点坐标代入解析式即可求出a的值；
(2)利用抛物线的对称性，结合AC=2AB的几何关系，确定点B或C的横坐标，进而求出纵坐标m；
(3)重难点在于理解“直线l上方的抛物线”即为x在区间[t-1，t]上的图象，需要结合二次函数的对称轴x=1，分析区间[t-1，t]与对称轴的位置关系，从而确定最大值的位置，建立关于t的不等式求解.
23．如图，四边形中，，，平分，点，分别在，上，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）求证：；
（3）如图2，连接交于点，若，，当时，求的值．
【答案】（1）证明：，平分，
，，
，
，
又，
，
四边形为菱形．
（2）证明：，
，
．
又，
，
．
，
，
，
即．
（3）解：由（2）可知，，
设．
，
，
解得．
，
，
，
．
过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
则，，
，
∵，
．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）设，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x=3，根据平行线分线段成比例定理可得，根据边之间的关系可得，过点作于点，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据勾股定理可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
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