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华东师大版2026—2027学年九年级上册期中模拟全优达标卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．用配方法解方程时，配方变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
4．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．估计的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
7．如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
8．若中，锐角A、B满足，则是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
10．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则c=　 　.
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 　 　 ．
13．如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
14．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是　 　．
15．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为　 　．
16．如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）；
（2）
18．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下：
小马的解法： ① ② ③ ④ ∴，⑤ 小虎的解法： ，，① ∵② ∴原方程无实数根③
（1）小马的解法从第_____步开始错；其错误的原因是_____，小虎的解法从第______步开始错；
（2）请你用喜欢的方法求解此方程．
19．如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为1.7米，求：
（1）直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）；
（2）路灯杆的高度．
20．已知点P（2a-2，a+5），解答下列各题．
（1）若点 P 在x轴上，求点 P 的坐标；
（2）若点 P 在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2025的值．
21． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人．
（1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率．
（2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
22．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：.
（1）利用上面所提供的解法，请化简：
（2）不计算近似值，利用上面提供的方法比较 与 的大小，并说明理由.
（3） 若 请用a的代数式表示 (要求不含根号)
23． 请依次完成以下三个问题：
（1）如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和　 　全等，线段，和之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长；
（3）如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接
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华东师大版2026—2027学年九年级上册期中模拟全优达标卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．用配方法解方程时，配方变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：方程变形得：x2-2x=3，
配方得：x2-2x+1=4，即（x-1）2=4，
故答案为：A．
【分析】方程移项，添加一次项系数一半的平方，然后等式的左边写成平方的形式解答即可．
2．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
3．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，点G是的中点，
，
，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，根据等边对等角可得，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
4．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：，，
四边形为平行四边形，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形为矩形，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得CD，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
5．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故答案为：D．
【分析】根据题意得到，米，再根据正弦函数结合题意解直角三角形即可求解。
6．估计的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
7．如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：∵、的中垂线分别交于点和点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理，根据”垂直平分线上的点到线段两端距离相等“得AD=BD、AE=CE，再结合勾股定理和线段的和差关系求线段长度.
8．若中，锐角A、B满足，则是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∴锐角A=60°，锐角B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
故选：D.
【分析】根据非负数的性质得到，，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A=60°，锐角B=60°，然后根据等边三角形的判定方法进行判断.
9．如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形，四边形是菱形，，
，，
，分别是对角线，的中点，
，，
，
设，则，，，由勾股定理得，
，
时，有最小值，最小值为．
【分析】
通过作辅助线，根据给出的已知条件可得出直角三角形，设出未知数，通过勾股定理列出二次函数，求出最值即可．
10．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【答案】C
【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则c=　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab，
而线段a=8，b=2，
∴c2=8×2=16，
而c＞0，
∴c=4.
故答案为：4.
【分析】根据比例中项的概念可得c2=ab，然后将a、b的值代入计算就可求出c的值.
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 　 　 ．
【答案】0
【解析】【解答】解：根据题图可知：，且
．
故答案是：0．
【分析】
根据数轴上实数a和b的位置，利用绝对值、平方根和立方根的性质化简给定的表达式即可.
13．如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
【答案】11
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
14．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题可知，是线段的垂直平分线，如图所示：
设与的交点为，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了基本作图方法中的尺规作图以及线段垂直平分线的性质。由题可知，直线实际上是线段的垂直平分线，因此可以得到的关系。进一步分析可知，从而推导出最终结论。
15．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
折叠，
，
设，
则，
在中，，
，
解得，，
，，
，
，
，
，
，
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据折叠性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，作于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据边之间的关系可得FH，再根据勾股定理即可求出答案.
16．如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，
，
四边形是矩形，
，
矩形中，，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】
分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，即可得到，利用相似三角形的对应边相等得到为定值，然后推理得到，在中，运用勾股定理得到，解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】(1)先根据二次根式化简法则把化为，化为，代入原式得到 ；再合并同类二次根式得到最简结果；
(2)先根据乘法分配律展开括号，得到；再根据二次根式乘法法则a×b=ab分别计算两项得到 ；最后相加得到结果10．
18．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下：
小马的解法： ① ② ③ ④ ∴，⑤ 小虎的解法： ，，① ∵② ∴原方程无实数根③
（1）小马的解法从第_____步开始错；其错误的原因是_____，小虎的解法从第______步开始错；
（2）请你用喜欢的方法求解此方程．
【答案】（1）②，方程左右两边没有同时加上1，②
（2）解：，，
或，
∴，．
【解析】【解答】（1）解：小马的解法从第②步开始错；原因是方程左右两边没有同时加上1；
小虎的解法从第②步开始错，去括号时应变号；
故答案为：②，方程左右两边没有同时加上1，②；
【分析】（1）本题考查配方法与公式法的易错点辨析。配方法的核心是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，小马在第②步只在左边加1、右边没有同步加1，违反了等式两边同加一个数仍相等的性质，故从这一步出错；小虎在第②步计算根的判别式时，，应为，他误算成，导致判别式符号错误。
（2）本题可用因式分解法求解，将方程左边二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“两因式之积为0则至少其一为0”，分别解两个一元一次方程，即得原方程的两个根。
（1）解：小马的解法从第②步开始错；原因是方程左右两边没有同时加上1；
小虎的解法从第②步开始错，去括号时应变号；
故答案为：②，方程左右两边没有同时加上1，②；
（2）解：，
，
或，
∴，．
19．如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为1.7米，求：
（1）直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）；
（2）路灯杆的高度．
【答案】（1）△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH
（2）解：(2)设BD=x米，AB=h米，
由△CDE∽△ABE，得
，
BE=BD+DE=x+3，CD=1.7，DE=3，
代入，得①，
BG=BD+DG=x+5，BH=BG+GH=x+5+5=x+10，
由△FGH∽△ABH，得
，FG=1.7，GH=5，
代入，得②，
联立①②，得，解得x=7.5，
把x=7.5代入①，解得h=5.95，
因此，路灯杆AB的高度为5.95米
【解析】【解答】解：(1)∵CD∥AB，
∴△CDE∽△ABE，
∵FG∥AB，
∴△FGH∽△ABH，
两组相似三角形：△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH．
【分析】(1)先根据人和路灯杆垂直地面得到两组平行线，再根据平行于三角形一边的直线截另外两边所得三角形与原三角形相似，直接写出△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH；
(2)先设BD，AB为未知数，先根据第一组相似三角形列出比例式，再根据第二组相似三角形列出第二个比例式，再联立两个分式方程，先求解BD=7.5米，最后代回比例式计算路灯杆AB=5.95米．
20．已知点P（2a-2，a+5），解答下列各题．
（1）若点 P 在x轴上，求点 P 的坐标；
（2）若点 P 在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2025的值．
【答案】（1）解：由题意得a+5＝0，
解得a＝-5，
所以2a-2＝-12，
所以P（-12，0）．
（2）解：因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
所以2a-2+a+5＝0，
解得a＝-1，
所以a2025＝-1．
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0得到a+5＝0，求出a的值解答即可；
（2）根据题意得到2a-2+a+5＝0，求出a的值，然后代入解答即可.
21． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人．
（1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率．
（2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
【答案】（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，
由题意得：1000(1+x)2=1210，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)，
答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%
（2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，
由题意得：(50-m-30)(1600+200m)=36000，
整理得：m2-12m+20=0，
解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=10，
答：该护膝肌贴组每组应降价10元
【解析】【分析】(1)设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，根据复利公式：初始值×(1+增长率)^年数=最终值，进而即可求解；
(2)设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，根据总利润=单件利润×销量，进而即可求解.
22．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：.
（1）利用上面所提供的解法，请化简：
（2）不计算近似值，利用上面提供的方法比较 与 的大小，并说明理由.
（3） 若 请用a的代数式表示 (要求不含根号)
【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：
因为
所以
所以
（3）
【解析】【解答】(3)若
则
①+②得：
整理得：
故答案为：
【分析】（1）根据所给二次根式的运算进行分母有理化，然后合并解答即可；
（2）把两个二次根式化为分子为2的形式，然后比较分母，根据分母大的数值小解答即可.
（3）根据题意求得的值，然后两式相加并计算即可.
23． 请依次完成以下三个问题：
（1）如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和　 　全等，线段，和之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长；
（3）如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接
【答案】（1）；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴
（3）解：，
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及特殊直角三角形的性质，核心是利用旋转构造全等三角形转化线段。
（1）根据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，结合已知的45°角推导出一组相等的夹角，利用SAS证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合线段的和差关系即可得到三条线段的数量关系；
（2）沿用第一问的旋转思路，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接MD，先通过SAS证明与全等，将DE转化为MD，再证明是直角三角形，利用勾股定理求出MD的长度，即为DE的长度；
（3）先根据含30°角的直角三角形的性质直接求出BC的长度；取BC中点F并连接AF，构造等边三角形，再将绕点A顺时针旋转60°得到，连接DG，通过SAS证明与全等，将DE转化为DG；过G作BC延长线的垂线构造直角三角形，设DE为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程求解，即可得到DE的长度。
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