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(共5张PPT)
九年级数学上学期期中模拟卷（人教版，测试范围：第25-27章）试卷分析
一、试卷分析
一、单选题
1 0.85 二次函数的识别
2 0.7 一元二次方程的定义
3 0.7 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
4 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
5 0.65 二次函数图象的平移；y=a（x-h） +k的图象和性质
6 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；抛物线与x轴的交点问题
7 0.65 由反比例函数值求自变量；判断反比例函数的增减性
8 0.64 二次函数的识别；识别一次函数
9 0.55 一次函数、二次函数图象综合判断
10 0.55 反比例函数与几何综合；求反比例函数解析式；一次函数与几何综合；利用平行四边形的性质求解
二、填空题
11 0.7 增长率问题(一元二次方程的应用)
12 0.7 y=a（x-h） +k的图象和性质
13 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；根据交点确定不等式的解集
14 0.65 一次函数与反比例函数的交点问题
15 0.65 实际问题与反比例函数
16 0.55 已知式子的值，求代数式的值；判断是否是一元二次方程的解
三、解答题
17 0.7 解一元二次方程——配方法；含乘方的有理数混合运算
18 0.8 求抛物线与x轴的交点坐标；根据交点确定不等式的解集
19 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数；由一元二次方程的解求参数
21 0.65 求反比例函数解析式；求一次函数解析式；一次函数与反比例函数的实际应用
22 0.65 因式分解法解一元二次方程；列二次函数关系式；图形问题(实际问题与二次函数)；一元一次不等式组的其他应用
23 0.65 待定系数法求二次函数解析式；求一次函数解析式
24 0.65 实际问题与反比例函数；求反比例函数解析式2026—2027学年九年级数学上学期期中模拟卷
（测试范围：九年级上册人教版2024，第25-27章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的二次函数（），下列说法中正确的个数有( )
①若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点；
②若，则该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点；
③若，则该二次函数的图象与x轴无公共点；
④若，则该二次函数的图象与x轴总有公共点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．据统计，2024年某地区手机支付用户的规模为亿，经过连续两年增长，2026年约为亿．已知第二年的增长率是第一年的2倍，设第一年的增长率为x，可列方程__________．
12．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________．
13．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______．
15．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________．
16．已知A是方程的一个根，试求的值_______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算、解方程
(1)
(2)．
18．已知抛物线与轴的交点为、（点在点左边）．
(1)直接写出点、的坐标．
(2)根据图象写出当时，的取值范围．
19．某景点前年十月一日国庆节旅游人数为万人，由于该景点知名度的扩大与服务质量的提高，今年十月一日国庆节旅游人数预计达到万人．
(1)该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为多少？
(2)该景点销售一种纪念品，平均每天可售出件，每件盈利元．若每件降价元，则平均每天可多售出件，在平均每天要盈利元，且降价幅度不超过元的情况下，那么每件应降价多少元？
20．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
21．某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线．
(1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天．
22．如图，体育科组想用长为的警戒线，再借助器材保管房的一面墙（墙的最大可用长度为），围成一个长方形空地，并在边上留一个宽的小口．设空地的宽为，面积为．
(1)求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当这块空地的边的长为多少时，能围成一个面积为的长方形空地？
23．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求另一交点的坐标．
24．将某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中（如图所示），其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米．
(1)求段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求点到轴的距离（的长）；
(3)若滑梯上有一个小球距水面的高度不高于3米，求到距离的取值范围．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A A C A D A B
1．B
根据二次函数的定义逐一判断即可．
解：、中含分式，不是二次函数，不符合题意；
、中自变量最高次数为，二次项系数不为，是二次函数；
、中自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意；
、含二次根式，不是二次函数，不符合题意．
2．B
判断方程是否为一元二次方程，先看是否为整式方程，若是再整理，若能整理为的形式，则是一元二次方程．
解：A. 当时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B. 是整式方程，只含一个未知数，最高次数为2，二次项系数不为0，故该选项符合题意；
C. 方程含分式，是分式方程，故该选项不符合题意；
D. 将方程右边展开得，移项整理得，是一元一次方程，故该选项不符合题意．
3．B
设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：．
4．A
将所求代数式拆分为含与的两部分，结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系代入计算．
解：∵是一元二次方程的实数根，
∴，即，
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系得，
∴．
5．A
先得出平移后的解析式，分别将正方形的临界顶点坐标代入求出的值，从而确定取值范围．
解：由图象可知抛物线开口向下，设平移后的解析式为，
当抛物线经过点时，取得最小值，即，
解得；
当抛物线经过点时，取得最大值，即，
解得；
的取值范围是．
6．C
二次函数（）的图象与轴的公共点个数由的符号决定，据此逐一分析各说法．
解：①若，则．当与同号时，，图象与轴无公共点，故①错误．
②若，则，图象与轴仅有一个公共点，故②正确．
③若，则．
，
，
，
∴图象与轴无公共点，故③正确．
④若，则，
，
，
∴图象与轴总有公共点，故④正确．
综上，正确的说法有3个．
7．A
结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围.
解：∵ 反比例函数中，
∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小.
当时，对应第一象限的图象，
当时，，
∵随增大而减小，
∴.
当时，对应第三象限的图象，
当时，，
∵随增大而减小，
∴.
∴的取值范围是或.
8．D
先化简选项C的表达式，再结合二次函数的特征逐一判断各选项．
解：A选项是一次函数，不符合；
B选项含分式，不符合；
C选项，是一次函数，不符合；
D选项是二次函数，符合．
9．A
根据二次函数图象的开口方向、对称轴的位置确定、的符号，再结合一次函数图象所过的象限进行判断即可．
解：A、由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得；
由直线过一、三、四象限可知，，即，
∴b矛盾，故选项A符合题意；
B、由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得；
由直线过一、二、四象限可知，，即，
故选项B不符合题意；
C、由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得；
由直线过二、三、四象限可知，，即．
故选项C不符合题意；
D、由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得；
由直线过一、二、三象限可知，，即，
故选项D不符合题意．
10．B
先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果．
解：在反比例函数上，
，
解得，
反比例函数解析式为，
设直线表达式为，
将点坐标代入得，
解得，
直线表达式为，
设，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的面积是，
，
，
，
，
，
点在直线上，
，
解得（负值已舍去），
，
故选：B．
11．
已知第一年增长率为，可得第二年增长率为，根据增长后总量的计算方法，结合最终用户量即可列出方程．
解：由题意得，第二年增长率为，
∵2024年手机支付用户量为亿，
∴2025年用户量为亿，
∴2026年用户量为亿，
又∵2026年用户量约为亿，
∴列方程得．
12．
先确定二次函数的开口方向与对称轴，再比较各点到对称轴的距离，即可判断函数值大小．
解：，，
函数的图象开口向下，对称轴为直线，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．
∵，
∴．
13．
利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可．
解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为
∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为，
∴由题意可得：时，的取值范围为： ．
14．
因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出．
解：连接，
取与轴的交点为，连接
此时
联立，
得，，
又因为点在第二象限，
所以，则的高即为
得，
15．
根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解．
解：根据题意，，即．
设当时，电功率为，则当时，电功率为，
电源电压不变，
，
解得，
，
关于的函数关系式为，
当时，．
16．2029
由A是方程的一个根，将代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
解：∵A是方程的一个根，
∴，即，，
则
．
17．(1)
(2)
，
（1）按照有理数混合运算顺序计算，先算乘除、乘方，再算加减；
（2）用配方法求解一元二次方程即可．
（1）解：原式
；
（2）解：，
移项，得，
配方，得，
，
开平方，得，
∴，．
18．(1)
，
(2)
或
（1）令解一元二次方程，结合点的位置得到、坐标；
（2）根据抛物线开口方向和交点位置得到时的取值范围．
（1）解：对于，
令，则，解得，，
∵点在点左侧，
∴，；
（2）解：∵抛物线的二次项系数为，开口向下，与轴交于和，
∴由图象可知，当时，的取值范围是或．
19．(1)；
(2)．
设该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为，由题意得，然后解方程并检验即可；
设每件应降价元，由题意得，然后解方程并检验即可．
（1）解：设该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为，
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该景点这两年十月一日国庆节旅游人数平均增长率为；
（2）解：设每件应降价元，
由题意得，
整理得，
解得，，
∵降价幅度不超过元，
∴舍去，
答：每件应降价元．
20．(1)
(2)
（1）根据一元二次方程有两个实根的条件，列判别式不等式求解m的取值范围；
（2）利用方程根的定义代换，代入已知等式求解，结合（1）的范围取舍.．
（1） 解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
，
解得；
（2）解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴，
代入，
，
，
解得，，
∵，
∴ 不符合题意，舍去，
∴．
21．(1)线段的解析式为；反比例函数为
(2)18
（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围．
（2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数．
（1）解：设线段的解析式为，
，，
，解得，
线段的解析式为．
设反比例函数的解析式为，
经过，
，
，
．
（2）解：，
满足的函数有线段的解析式和反比例函数，
时，代入得，
时，代入得．
时，，
畅销期持续的天数为（天）．
22．(1)（）
(2)的长为
（1）根据警戒线长，小口宽，得，，再根据长方形面积公式计算即得，根据警戒线长和外墙长列不等式组求x的取值范围即可；
（2）当时，解方程即可，在x的取值范围内取值；
（1）解：∵长方形空地中，，
∴，
∴，
∵，
解得，
∴．
（2）解：当时，，
解得，
∵，
∴
故边的长为时，能围成一个面积为的长方形．
23．(1)
(2)
（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式．
（2）利用待定系数法先求出正比例函数解析式，再将两个解析式联立，即可求出点的坐标．
（1）解：将点，点代入中，得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：将点代入中，得：，
∴正比例函数的解析式为，
令，
解得：或，
当时，；当时，；
∵为点的坐标，
∴的坐标为．
24．(1)
(2)米
(3)距离
本题考查反比例函数的实际应用，正确求出点B坐标，得出反比例函数解析式是解题关键．
（1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点B坐标，代入可求出k值，根据为4米得出的长可求出x的取值范围，即可得答案；
（2）把的长代入，求出的长即可得答案；
（3）根据Q距水面的高度不高于3米得出，即可得出x的取值范围，进而可得出Q到的最小距离，可得答案．
（1）解：设段所在的反比例函数关系式为，
∵，
∴，
解得 .
∵出口C点到的距离为米，
∴.
∴段所在的反比例函数关系式为；
（2）解：∵，
当时，，
∴C点到轴的距离长为米；
（3）解：∵Q距水面的高度不高于米，
∴，
即，
解得 ，
又，
∴，
又所在直线为，到的距离为，
当时，距离为（米），
当时，距离为（米），
所以，到距离的取值范围是到距离．
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