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浙教版2026年九年级上册第4章《相似三角形》单元检测卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）.
A． B． C． D．
2．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．2
4．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ）
A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m
9．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
10．如图，是等腰直角三角形，点D，分别在边上运动，连接交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是( )
A．①③ B．①②④ C．②③ D．①②③④
二、填空题（共18分）
11．若，则________．
12．如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号）
13．如图，，，，那么________．
14．如图，四边形四边形，则______．
15．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______．
16．如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）已知：如图，，为的两条高，，为的两条高，且，．求证：．
18．（本题8分）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
(1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似；
(2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F）
19．（本题8分）在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为．
(3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________．
20．（本题8分）【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值）
【实践探究】某小组测量方案及数据如下表：
项目 测量民族广场旗杆的高度
工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺
测量示意图及说明 说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内．
测量数据
平均值
【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度；
21．（本题8分）阅读与思考
下面是某同学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务：
一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫作黄金分割点． 如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入， …………
(1)根据材料可知，一条线段有___________个黄金分割点．
(2)补全材料中的解答过程．
(3)在如图2所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点C．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
22．（本题10分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
(2)如图2，在中，，，是的完美分割线，且是等腰三角形，，求的长．
23．（本题10分）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．
(1)经过几秒时，的面积为？
(2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？
24．（本题12分）在平行四边形中，，点E是射线上一点（不与点B、C重合），，连接，过点C作的平行线，交射线于点G．
(1)求证：；
(2)如图，当点E在线段上时，求证：；
(3)若，且，求的长
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A D A B A C D
二、填空题
11．
【分析】已知，可通过设参数法将用同一参数表示后代入计算．
【详解】解：
设，，其中，
将，代入得： ．
12．①②/②①
【分析】设网格小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出以及三角形①、②、③的三边长度，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断即可．
【详解】解：设网格小正方形的边长为1，
则在中，，，；
在三角形①中，三边长分别为，，2；
在三角形②中，三边长分别为，，4；
在三角形③中，三边长分别为，，6；
∵，，
∴三角形①和②都与相似，
∵三角形③的三边与的三边不对应成比例，
∴三角形③与不相似，
综上，与相似的是①②．
13．9
【分析】由题意得出，则，求出，即可求出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．/83度
【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理，根据相似多边形对应角相等得，然后根据四边形内角和为计算即可．
【详解】解：四边形四边形，
，
四边形内角和为，
，
故答案为：．
15．
【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∵点的坐标为，
∴点的对应点D的坐标为．
16．
【分析】利用重心的性质得出为中点及的比值，结合平行线分线段成比例定理求出、与的数量关系，进而求出与的关系，最后利用相似三角形性质求解．
【详解】解：点是重心，且、、共线，
为中点，，
，，
，，
，
为中点，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，即，
，
．
三、解答题
17．证明：∵、分别是、的高，
∴、是直角三角形，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴，
∵、分别是、的高，，
∴．
【分析】先证得 ，再证得，最后，根据相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比即可证得结论．
【详解】略
18．(1)解：根据题意，画图如下：
则即为所求；
(2)解：根据题意，画图如下：
则点F，点即为所求．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可；
（2）根据三角形相似的判定，解答即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：略．
19．(1)如图：点P的位置即为所求； ．
(2)如图：即为所求．
(3)
【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标；
（2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；．
图略
（2）解：如图：即为所求．
图略
（3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为，
∴．
20．
【分析】过点D作交于点H，交于点G，则，，由题意得到，从而有，代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作交于点H，交于点G，
∵，，，，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴旗杆的长度．
21．(1)2
(2)解：，化简得，
解得
，
，
黄金分割数 ．
(3)
【分析】（1）根据黄金分割点的定义直接作答．
（2）根据黄金分割比的定义列出关于的方程，解一元二次方程并舍去负根即可．
（3）根据黄金分割点的几何作法，利用勾股定理和圆规作图，在线段中作出的线段，从而确定点的位置．
【详解】（1）解：根据黄金分割点的定义，一条线段有2个黄金分割点，靠近线段左端点和右端点各一个．
（2）略
（3）解：令点上方个单位的网格点为，连接，
以 为圆心， 长为半径画弧，交 于 ，
以 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ，
在正方形网格图中，设个正方形单元格边长为，
，，
，
，
，
点 就是线段 的一个黄金分割点．（同理）
22．(1)证明：，，
，
不是等腰三角形，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
是的完美分割线；
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，分别证明为等腰三角形，，即可得出结论；
（2）根据，得到，设，解方程求出，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵是的完美分割线，
∴，
，
，，
设，则，
，
解得：，
，
，
，
，
，，，
．
23．(1)或；
(2)或．
【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可；
分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设秒后的面积为，
∴，，
∴，
∴的面积为，
∵的面积为，
∴，
解得或，
∴经过或秒时，的面积为；
（2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似，
由得，，，
当时，
∴，
∴，解得；
当时，
∴，
∴，解得；
综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似．
24．(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴；
(2)证明，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
(3)或
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质证明，再由证明即可；
（2）先证明，再结合的性质证明即可；
（3）分在线段上和点在线段延长线上，然后根据得到，则，设，再表示出，再对和运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：当点在线段上时，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，即
∴，
解得（舍负），
∴；
当点在线段延长线上时，如图：
同理可证明，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得（舍负），
∴，
综上：的长为或．

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