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2026-2027学年江苏省新海高级中学高三（上）学情调研
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数其中为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的公比为，则“且”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.已知函数，实数，，满足若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知对于，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则，满足( )
A. B. C. D.
10.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 三棱柱的外接球的表面积为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记若是奇函数，且，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点，则它的标准方程为 ．
13.设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为 ．
14.设，为实数，函数和设，，若存在，，使得，则称和“零点贴近”当时，函数与“零点贴近”，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数是上的偶函数，且，．
设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
当时，解关于的不等式．
16.本小题分
已知双曲线，过点作直线．
是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；
若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围．
17.本小题分
某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出个球，规定至少摸到两个红球为中奖现有一位员工参加此摸奖游戏．
如果该员工选择有放回的方式即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个摸球，求他能中奖的概率；
如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的个球中红球的个数为，求的分布列；
该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
18.本小题分
如图，四边形为梯形，，，，侧面为等边三角形，平面平面，点在边上，且．
证明：平面；
当二面角的平面角的正切值为时，求四棱锥的体积．
19.本小题分
设，若对任意的，，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
判断函数是否是函数在区间上的级控制函数，并说明理由；
若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值；
若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求两零点之积的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：由题设，因为，，
所以，解得，，所以，
则，任取，，，
则，
所以在区间上单调递增；
解：不等式，化简得不等式，
因为，故上式化简得，
当，即时，得；
当时，，得；
当时，，得；
综上，时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
16.【答案】解：所求直线不存在，理由如下：
因为直线与双曲线交于，两点，
所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
若为线段的中点，
此时，
解得，
因为不满足，
所以所求直线不存在；
若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，
此时方程有正负两根．
所以，
即，
解得．
则直线斜率的取值范围为．
17.【答案】解：在有放回方式下，记“他能中奖”为事件，则．
由题意，随机变量的可能值为，，，；
，，
，；
所以的分布列为：
在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由如下：
由，在不放回方式下，该员工能中奖的概率为：
；
由，
所以在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大．
18.【答案】解：证明：连接交于，连接，
因为，所以，
又，所以，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，取中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
又平面，平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，所以．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设等边三角形的边长为，
则，，，
，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，，
所以平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，可得，
所以，
整理得，解得，
所以四棱锥的体积为．
19.【答案】由于，，
故，
所以函数不是函数在区间上的级控制函数
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