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2026-2027学年河北省廊坊市固安县第六中学高三（上）阶段检测
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设无穷数列的前项和为，若为严格增数列，则数列( )
A. 所有项都大于 B. 至多有一项不大于
C. 可以有不止一项的有限项不大于 D. 可以有无穷多项不大于
2.数据，，，，，，，的分位数为( )
A. B. C. D.
3.点集表示的曲线总长度等于( )
A. B. C. D.
4.函数的图象关于直线对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的方程为为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于，两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，点在边所在的直线上，且，若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知一组数据，，，，满足，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的分位数是
B. ，，的极差小于，，，，的极差
C. ，，的平均数小于，，，，的平均数
D. ，，的方差小于，，，，的方差
11.已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于，两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是( )
A. 线段的最小值为
B. 的内切圆与直线相切于点
C. 当时，双曲线的离心率为
D. 当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的面积为 ．
13.的展开式中的系数为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知点、，动点满足，点满足，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
如图，已知平行六面体中，所有棱长均为，底面是正方形，侧面是矩形，点为的中点，且．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图．
分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取件产品，再从这件产品中随机抽取件产品进一步进行检测，求抽取的这件产品中恰有件产品是甲生产线生产的概率．
18.本小题分
据报道，年月日，正值全民国家安全教育日，田湾核电号机组穹顶球冠吊装成功如图，标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分不包含截面，垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高球冠面积等于截得它的球面上大圆过球心的截面圆周长与球冠的高的乘积和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”如图当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．
如图，设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为．
类比球体积公式的推导过程可参考图，写出“球锥”的体积公式；
在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；
已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点．
证明：平面；
若，．
求二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由函数的部分图象可得的最小正周期，
则，
因为，
所以，可得，
再由，
因为，
所以，
即；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
即，
因为，
所以，即，
即当时，取到最大值，当时，取到最小值．
16.【答案】解：证明：设是的中点，连接，
是的中点，，
，，，
四边形是矩形，，
又，平面，，
平面，又，平面；
由于四边形是正方形，结合的结论可知，，两两相互垂直，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，
设平面的法向量为，
则，故可取．
设平面的法向量为，
则，故可取．
设平面与平面的夹角为，
则．

17.【答案】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
；
乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
．
由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，
乙生产线的样品中优等品有件．
从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为，，，；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为，；
从这件产品中随机抽取件的情况有：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
，共种；
其中符合条件的情况有：
，，，，
，，，，共种．
故所求概率．
18.【答案】解：“球锥”的体积为；
设圆锥半径为，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，
即，消去，
因为，
所以，
整理得，因为，
所以；
设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为，
则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件．
注意到，当顶点，，在圆锥底面圆周上时，，
得，
当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小
于的正四面体均可内接该“球锥”，
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，
则，且顶点，，在球冠上，
即，且，
又因为，
所以，
即的取值范围．
19.【答案】解：证明：如图，连接，连接，
底面为菱形，为中点，又，为的中点，
，又平面，平面，
平面；
，，又，
，又底面为菱形，，
，，
，又，，
平面，又平面，
平面平面，在平面内，过作于点，
则根据面面垂直的性质定理可得平面，
取中点，连接，易知为等边三角形，
，根据三垂线定理可得，
即为二面角的平面角，
在中，易知，设等腰三角形底边边上的高为，
则，
根据等面积法可得，
，，
，
；
，平面平面，
在平面内的射影为，
直线与平面所成角为，且，
直线与平面所成角的正弦值为．
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