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2026-2027学年福建省福清第一中学高三（上）适应性练习
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的首项为，公差不为，且，，成等比数列，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.曲线和曲线组合围成“心形图”如图所示，记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
8.在四棱锥中，，，若该四棱锥的外接球球心在底面内，则该四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 是纯虚数 D. 若，则
10.已知，则( )
A. B. 最大的二项式系数为
C. D. 展开式中存在连续三项的系数成等差数列
11.设离散型随机变量的取值为，，，，，且，则( )
A. 当数列为等差数列时，
B. 数列的通项公式可能为
C. 当数列满足时，
D. 当数列满足时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处的切线方程为 ．
13.若曲线关于直线对称，则 ．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．
若，则双曲线的离心率的取值范围为 ；
设弦的中点为，且若过原点与点的直线的斜率不小于，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，，，边上一点满足，．
证明：为的内角平分线；
Ⅱ若，求．
16.本小题分
年月日教育部制定出台了关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见也称“强基计划”，意见宣布：年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次，，，其中．
若，求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；
“强基计划”规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，四边形是梯形，，，为矩形两条对角线的交点，且平面D.
证明：；
若，直线与平面所成角的正弦值为，求；
平面将该四棱柱分成上、下两部分，求上、下两部分的体积之比．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为若的面积为．
求椭圆的标准方程；
设直线过点且与椭圆交于，两点不与轴重合记椭圆右顶点为，直线，的斜率分别为、，求证：为定值，并求出该定值；
已知定点，动点在椭圆上不与轴重合直线与直线交于点、直线与直线交于点是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于数列，给定正整数，令，其中表示，，，中的最大值；记数列为的“极差”数列，设为的前项和．
若，求；
下面我们在正整数的范围内研究，对给定正整数，已知：．
当时，求的最大值，并求出满足取得最大值时，数列的个数；
从所有排列中随机选取一个，求的概率．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】证明：因为，，
所以
，可得，
因为，，所以，即为的内角平分线．
Ⅱ解：在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
结合，，，解得，
在中，由余弦定理得，
同理在中，可得，
所以，解得，故．
16.【答案】解：该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为：；
甲通过的考试科目数，
，
设乙通过的考试科目数为，
则，，，
，
该考生更希望通过乙大学的笔试，
，
，
又，
，
当该考生更希望通过乙大学的笔试时，
故的取值范围是．
17.【答案】解：证明：如图，取中点，连接，，
因为为矩形两条对角线的交点，
所以为的中点，又中点为，
所以平行且等于的一半，
又，所以，
又平面，平面，
且平面平面，
所以，又，
所以四边形为平行四边形，
所以平行且等于，
又平行且等于的一半，
所以平行且等于的一半，即；
若，又根据题意可知，，相互垂直，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，，
解得或，
所以或；
如图，延长交于点，取中点，连接，
设，，，
则直四棱柱中的体积为，
又
，
所以，
所以．
18.【答案】解：因为椭圆：，所以，
因为上顶点，焦点，，其中．
所以的底边为，高为．
因为的面积为
所以，所以．
又．
故椭圆的标准方程为．
证明：该定值为．
设，，．
情况一：当直线不存在斜率时，
直线的方程为即直线垂直于轴，
将代入椭圆方程得：，解得．
则，．
，，
．
情况二：当直线存在斜率时，
设直线的方程为，
将代入椭圆方程得，
展开整理得，
由韦达定理得到，，
因为，所以，，
其中，，
则
，
综上可得为定值，该定值为．
解：设，因为在椭圆上，满足：，即
直线过点和，其斜率为，
直线的方程为，
令，将代入直线的方程，得到，
即点的纵坐标为，即，
直线过点和，其斜率为，
直线的方程为，
令，将代入直线的方程，得到，
即点的纵坐标为，即．
所以．
在中，、，底边，高为，，
在中，底边在直线上，高为点到直线的距离，即，
则，
由，且不与轴重合，
得，约去，得，
即
因为在椭圆上，，所以，
当时，，
化简得，解得，
且，满足条件．
当时，，即无实数解．
将代入椭圆方程，得到，解得，
故存在满足条件的点，其坐标为或．

19.【答案】解：由得数列各项为，，，，，，．
当为奇数时，，，故A；
当为偶数时，，，故A．
两种情形表达式一致，即对任意有，
故为首项、公差的等差数列，
．
当时，，
由的定义可知，对于任意的，，所以的最大值为，
当且仅当任意的，时等号成立，
所以的最大值为．
此时，，
所以满足条件的数列的个数为个．
情况：任意，，因为，
若，则，所以，故，
从而的排列共有种情况，
任意排列，共有种，
所以达到最大值的排列个数为，
情况：若，根据前三项的取值，有如下：
，，，共有种，
，，，共有种，
而所有排列共有种，
综上：的概率为．
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