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2026-2027学年天津市益中学校高三（上）阶段检测
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知实数满足，则( )
A. B. C. D.
6.设的内角，，所对边的长分别为，，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.设的近似值为，则( )
A. B. C. D.
9.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，若复数是纯虚数，，则 ．
11.在的二项展开式中，的系数是 结果用数字作答．
12.若随机变量服从正态分布，且的概率，则的概率 ．
13.已知离散型随机变量的分布列如表所示，当取最小值时， ．
14.已知函数的部分图象如图所示，其中，，，下列五个命题：的最小正周期为；的值为或；将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；函数在单调递减；其中真命题有 ．
15.在中，，在边上，，则的值为 ，若与所成的夹角为，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
写出的最小正周期和图象的对称中心坐标；
求在的最小值；
若，求的值．
17.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，已知．
求的值；
若，求
的值；
的值．
18.本小题分
某位老师要从第课至第课的篇不同课文中随机抽取篇让学生背诵，若学生至少能背诵出篇，则视为背诵合格已知小明同学只会背诵第课至第课的篇课文．
设在小明同学抽到的篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列；
小明同学背诵合格的概率；
在“小明同学至少抽到篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率．
19.本小题分
已知函数．
若，求；
若，求函数的极值；
若函数的最小值为，求的值．
20.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
当时，讨论的单调性；
若时，恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：函数的周期，
令，解得，
所以的最小正周期为，其图象的对称中心坐标为；
，，，
当，即时，取得最小值；
，
所以，
．
17.【答案】；
；
18.【答案】解：服从超几何分布，可能取值为，，，，
从篇中抽篇，小明能背诵出篇，则概率为，
所以，，
，，
因此分布列为：
若小明至少能背诵篇，视为背诵合格，
所以小明能合格的概率；
设事件：小明至少篇会背诵，事件：小明能背诵合格，
事件至少会篇且可以合格，故，
，
因此．
19.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
因为函数，
所以当时，，
则求导得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值，无极大值．
令，
，
当时，，函数在上单调递增，故无最小值，
所以，由得，
所以时，单调递减，时，单调递增，
所以，
所以，．
20.【答案】
当时，函数的单调减区间为，单调增区间为；当时，函数的单调减区间为，，单调增区间为；当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，，单调增区间为

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