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2026-2027学年福建省莆田第一中学高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设，则、、的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
6.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车年月日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小我们用声强单位：表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级单位：与声强的函数关系式为，已知时，若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，，记，的图象分别为曲线，，则( )
A. 不存在使得曲线，有公共点
B. 当时，曲线，有两条公切线
C. 若且，，则的最小值为
D. 当时，，分别为曲线，上的动点，则的最小值为
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.若，，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 在上有两个零点 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调增 D. 在上的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果函数满足，则 ．
13.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则 ；若，且，则的一个取值为 ．
14.以表示数集中最大的数设，当，时，的最小值为 ；当，时，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，当时，取极值．
求实数的值；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件、条件、条件中任意选择两个作为已知条件作答．
条件：的最小值为；
条件：的图象的一个对称中心为；
条件：的图象经过点．
求的解析式；
若且，求的值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在区间上恒成立，求的取值范围；
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，若．
若，求；
求；
当取最小值时，求的值．
19.本小题分
已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，，均有，则称函数为压缩函数．
判断函数，是否为压缩函数？并说明理由；
若函数，为压缩函数，求实数的取值范围；
已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，，均有．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
答案不唯一，只要满足，均可

14.【答案】

15.【答案】解：对，求导得．
因为当时，取极值，所以，即，解得．
当时，，
则在两侧变号，所以是极值点，符合题意．
综上，．
由知，，所以，．
令，则，解得或．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处取得极小值，即区间上的最小值，．
又，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
16.【答案】解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期满足，解得，
故，可得．
若选，则，，，即，，
结合，可得，所以；
若选，则，即，
结合，可得，所以，解得，
所以；
若选，，，即，，
结合，可得，此时，
因为，，即，解得，
所以．
综上所述，选择或或，都可得到．
由得，即，
因为，所以，
可得
．
17.【答案】解：当时，函数，
所以导函数，
因此函数在点处切线的斜率，
又因为，
因此在点处切线的方程为，即．
由于函数在区间上恒成立，那么，
对，所以恒成立，
令函数，只需，
导函数，，
当时，有，那么导函数，
所以函数在上单调递减，符合题意，
当时，令函数，
其对应方程的根的判别式，
如果，即时，有函数，所以导函数，
所以函数在上单调递减，，符合题意，
如果，即时，函数，对称轴，
又因为，
方程的大于的根为，
所以，，即导函数，
，，即导函数，
所以函数在上单调递增，所以，不合题意，
综上，实数的取值范围为．
18.【答案】解：根据诱导公式可得，
整理得，
，，则，
所以或舍，
，则；
；
，则，
，，，则，则，
，
当且仅当时取得等号，
所以取最小值时，．
19.【答案】函数，是压缩函数，理由如下：
已知函数，
结合新定义：区间，函数的定义域为，
若函数满足：对任意，，均有，则称函数为压缩函数，
可得．
因为，所以，
那么，
所以函数，，是压缩函数 充分性证明：
假设不单调，则存在，，，，使得或，
不妨设，取实数满足，，，
记，由于，
可知：，所以，
若，记，若，记
重复上面的操作，可得到区间满足：，且区间的长度，，，
因为函数，为压缩函数，
可得：，
又，记，
所以对任意恒成立．
取，，则与矛盾，
所以，为单调函数；必要性证明：
设单调，不妨设单调递增单调递减同理，
任取，，不妨设，则，
所以，
故；综上，，为单调函数的充要条件是：对任意，，均有成立
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