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2026-2027学年吉林省四平市实验中学高三（上）第一次学情诊断
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，若复数是纯虚数，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.若函数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象若的图象关于点对称，则( )
A. 的值可以为，是的一个周期
B. 的最小值为，是的一个周期
C. 的最小值为，的图象关于直线对称
D. 的值可以为，的图象关于直线对称
11.已知函数关于的方程，下列命题正确的是( )
A. 若，则方程恰有个不同的解
B. 若，则方程恰有个不同的解
C. 若方程恰有个不同的解，则或
D. 若方程恰有个不同的解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题：，使得为假命题，则实数的取值范围为 ．
13.设，且，则的最小值为 ．
14.已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的两个极值点分别为和．
求的解析式；
若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，的面积为．
求；
若，求外接圆的半径．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值，并证明：在上单调递增；
求不等式的解集；
若在区间上的最小值为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的图象在点处的切线方程；
证明：对，有；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，得或，
由，得，
所以或；
由，得，
当，即时，，满足，符合题意，
当，即时，若满足，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
16.【答案】解：，
由题意，得和是关于的方程的两根，
由韦达定理，得，解得
此时，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意，
故；
直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根，
即关于的方程又有两个实根，
设，则，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
且，，
根据题意，或，
解得或．
17.【答案】
18.【答案】解：因为是定义域为上的奇函数，
所以，即，所以，解得，
所以，，
经检验，符合题意；
所以函数的定义域为，在上任取，，且，
，
所以函数在上单调递增，
由可知，且在上单调递增的奇函数，
由，可得，
所以，即，
解得或，
所以不等式的解集为或；
因为，，
所以．
令，因为，所以，
所以，
当时，当时，，则舍去；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
19.【答案】 证明：设，，
，
设，
易知在上单调递减，所以在上单调递减，
又，
所以，使得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
又，所以对任意的，
所以在上单调递增，所以．
所以对，有 证明：设，则，
设，则，
因为函数在上都单调递减，所以在区间上单调递减，
因为，所以，使得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
又．
所以，使得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
因为，
所以，即在区间上恒成立．
令，所以，
分别令，，，，则，
所以．
对，所以，
所以
，
所以，
即得证
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