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2026-2027学年江苏省苏州市常熟市高三（上）阶段性抽测
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知扇形的半径为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的图象恒过定点( )
A. B. C. D.
5.火箭发射后的高度单位：为，则火箭在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为正实数，且，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的定义域是
C. 的图象的对称中心为，
D. 在区间上单调递增
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的单调递增区间为，
B. 满足方程的解有且仅有个
C. 若方程有个不等实根，则的取值范围是
D. 若函数恰有个零点，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则实数的值是 ．
13.已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ．
14.已知函数的图象为，将关于直线对称得到函数的图象，已知，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，非空集合．
若，求，；
若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知是函数的一个极值点．
求的值；
求函数在区间上的最大值与最小值．
17.本小题分
已知函数其中的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
求与的解析式；
求方程在区间内的所有实数解的和．
18.本小题分
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，此结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是根据以上材料，解答下列问题．
求函数的对称中心；
已知函数．
解关于的不等式：；
若函数的最小值为，求实数的值．
19.本小题分
已知函数．
若在定义域内单调，求实数的取值范围；
若函数在区间和上各有一个零点，分别记为，．
求证：；
若函数有三个零点，，，，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】和
14.【答案】
15.【答案】解：集合，
当时，非空集合，
则，
或；
若“”是“”的必要条件，
则，
则，则，
则的取值范围为
16.【答案】解：函数，定义域为．
求导得：，
因为是的一个极值点，所以，
代入得：，解得，
将代入导函数：，
令，解得或．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故是极小值点，所以．
由可知：当时，，单调递增；
当时，，单调递减：
因此在处取得上最大值，即．
又，，
，
即，所以在上最小值为．
综上，函数在上最大值为，最小值为．
17.【答案】解：设函数的最小正周期为，由图象得，．
，由，解得，
将点代入，得，
又，解得，所以，
将图象向左平移个单位长度，得；
．
令，即．
当时，，
令，方程在区间内共有个解，，，，
画出在的函数图象，如图：
满足，．
由，，，
解得，，
所以．
18.【答案】解：函数，令，解得，
所以函数的定义域为．
对任意，恒成立，
所以是奇函数，
故对称中心为；
化简，定义域为．
由中心对称充要条件：，
当时，，所以的对称中心为．
任取，，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递增．
当时，；当时，．
不等式可以转化为，
当，即时，由单调性得，解得，得；
当，即无解；
当，即，不等式恒成立；
当，，，不等式不成立．
综上，不等式解集为；
由上可知，值域为．
令，则或．
当或时，在处取最小值，，舍去；
当时，无最小值；
当时，在处取最小值，，解得．
综上可得：．
19.【答案】解：函数，，
因为在定义域内单调，则恒成立或者恒成立．
若在恒成立，则恒成立，无解；
若在恒成立，则恒成立，即．
由基本不等式，当且仅当时取等号，故．
证明：当时，，
令，得，．
满足，，且．
在递减，递增，递减．
，零点，．
由，得，故．
要证，即证．
在单调递减，，所以，
即，不等式得证．
，设
．
令得；令得．
所以在单调递增，在单调递减．
又，所以在单调递增，在单调递减．
设在处的切线：，记．
，由在递增，
得时，，，即．
设与交于，则．
设在处的切线：，记．
，由在递减，
得时，，，即．
设与交于，则．
于是
作过点，斜率为的直线：，
设交于，则，所以
由与平行，水平，得．
故，不等式得证．
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