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2026-2027学年天津市第四十七中学高三（上）第一次阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
4.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.给出下列说法，其中正确的是( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
B. 已知数据，，，的平均数为，方差为，那么数据，，，的平均数和方差分别为，
C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
D. 样本相关系数
7.九章算术是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”现有人分粟米，每人所得粟米质量单位：铢从小到大构成数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则这人所得粟米质量和的铢数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为，、的离心率分别为、，当时，不可能等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，复数满足，则 ．
11.二项式的展开式中的常数项为 ．
12.已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心为半径的圆被轴截得的弦长为 ．
13.某校发起“赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组人、课程设计组人为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取人组成执行小组抽取的人中恰好有名课程设计组成员的概率为 ；已知抽取的人中至少有名课程设计组成员，其中恰好有名课程设计组成员的概率为 ．
14.已知平面向量满足：与的夹角为，，，则的最大值是 ；记是的最大值，则的最小值是 ．
15.若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递减区间；
将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数，若，，求的值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且轴，
求椭圆的方程；
已知直线且与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为、关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若与的面积相等，求的值．
19.本小题分
定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”．
已知等比数列满足：，求证：数列为“数列”；
已知各项为正数的数列满足：，，其中是数列的前项和．
求数列的通项公式；
设为正整数，若存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
20.本小题分
已知函数，其中为实数，定义域为．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
证明：对任意的正整数，都有．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】最小正周期为，单调递减区间是
17.【答案】解：证明：连接，连接，如图所示：
由题易知，
又因为面，面，故可以证得面；
取的中点，的中点，连接，，
建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，所以，
，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则；
假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，
设，
，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
则点到平面的距离为，
解得，或舍，
存在一点，使得点到平面的距离为，此时．
18.【答案】解：因为短轴长为，所以，
因为，，
所以，，
又因为轴，所以，
，且，
解得，．
，，，
联立直线和椭圆方程得，
整理得，
，，，
直线：，
令，
，
，
，，的中点坐标为，
由中点在上，可得，
，
，解得，，
所以．
19.【答案】解：证明：设等比数列的公比为，所以，，
由，得，解得，
所以数列为“数列”；
因为，，则，则，
当时，由得，整理得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；
由知，，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，，
因为，所以，其中，，，，，
当时，有；
当，，，时，有，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
取，当，，，，时，，即，经检验知也成立，
因此所求的最大值不小于，
若，分别取，，得且，从而且，所以不存在，所以，
综上，所求的最大值为．
20.【答案】 证明：由知，当时，，有，
即，
当且仅当时等号成立．
令，
则有．
又因为，
所以，
构造函数，，
因为，
所以在上单调递增，
所以，
故有在上恒成立．
令，
得，
故．
所以
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