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2026-2027学年上海市南洋模范中学高三（上）阶段诊断与反馈
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“为第一或第三象限角”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有个白球，都是白球 B. 至少有个白球，至少有个红球
C. 恰有个白球，恰有个白球 D. 至少有个白球，都是红球
3.设，，是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：
方程不可能有两个实数根；
方程有实数解的充要条件是；
方程有唯一的实数解；
方程没有实数解．
其中真命题个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知四棱锥的底面为矩形，平面，点为侧棱不含端点的线段上动点，则点在平面上的射影在( )
A. 棱上 B. 内部 C. 外部 D. 不确定
二、填空题：本题共11小题，共50分。
5.已知圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的侧面积为 ．
6.若，求的值 ．
7.不等式的解集是 ．
8.某校有教职工人，男学生人，女学生人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为，则 ．
9.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则 ．
10.已知，，直线与曲线相切，则的最小值为 ．
11.的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为 ．
12.若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ．
13.已知椭圆的左、右顶点分别为、，是椭圆上不同于、的一点，直线、的倾斜角分别为、，则 ．
14.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩该塔群共有座塔，依山势自上而下排成行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，，是一个首项为，公差为的等差数列将，，，分为组，每组个数，使得每组的个数之和可构成一个项数为且公差为的等差数列，则 ．
15.激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题一个常见的激活函数为，如果，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，为钝角，
求；
若，的面积为，求的值．
17.本小题分
如图所示正四棱台，其中，．
当时，求和平面所成角；
证明：平面；若棱台高为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
为检验一批电子元件的寿命，从这批元件中抽取一批元件同时做寿命值试验．
若随机抽取了个元件，得到各个元件寿命数据如下，求这个元件寿命的均值与方差；
，，，，，，，，，．
记这批元件的总体寿命为，随机变量服从均值为的指数分布，且的概率密度函数为，取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数．现抽取个元件，让所有元件同时开始工作，个单位时间后停止试验，得到失效元件寿命数据为、、假设每个元件的寿命相互独立．
只考虑未失效的个元件，记个元件的寿命均超过个单位时间的概率为，求；
记，求的极大值点．
19.本小题分
设复数与复平面上点对应设复数满足条件，动点、的轨迹为椭圆椭圆的短轴端点分别为，如图，直线，分别与椭圆交于，两点，其中点满足，且．
求椭圆的方程；
证明直线与轴的交点的位置与无关，并求出点的坐标；
若面积是面积的倍，求的值．
20.本小题分
已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质．
判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：在中，，
由正弦定理可得：
，
又，
代入化简得．
因为，所以，
又，所以；
若的面积为，
则根据三角形的面积公式可得，
代入，得，
由余弦定理可得，
代入得，
即，
将代入得，故，
由，解得或，
因为 为钝角，故，因此．
17.【答案】 证明：连接、交于，连接交于，
如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由正棱台性质与上下底面均垂直，则，
因为，，，平面，
所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即
．

18.【答案】解：这个元件寿命的均值为：
；
这个元件寿命的方差为：；
由题意，单个元件寿命超过个单位时间的概率为，
由于每个元件的寿命相互独立，则；
由题意，
，，
则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值点为，即．
19.【答案】解：由题意，动点到点的距离之和为定值，
且，
所以动点的轨迹为椭圆，且，
故，
所以所求椭圆的方程为；
证明：因为，，，且，
则直线的斜率为，直线的斜率为，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
所以舍去或，
此时，，
所以，
由，得，
所以舍去或，此时，
则；
据已知，，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，即．
即与轴交点的位置与无关．
点的坐标为；
，，，
，，，
，
，
整理方程得，即，
又有，，，为所求．
20.【答案】解：函数在区间上具有性质，
若，则，
因为，且，
所以函数在区间上具有性质
由题意，存在，使得，
由正弦线的定义得舍或，
则得，
因为，所以，
又因为且，
所以，即所求的取值范围是．
证明：设，，
则有，，，，，，，，
以上各式相加得，
即，
当、、、、、中有一个为时，不妨设，，
即，即，，
所以函数在区间上具有性质
当、、、、、中均不为时，由于其和为，
则其中必存在整数和负数，不妨设，，
其中，，，
由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数当时，至少存在一个实数，
其中，，使得，即，
即存在，使得，
所以函数在区间上也具有性质，
综上所述，函数在区间上具有性质
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