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第二十九章 圆
29.3 弧长和扇形面积（第2课时）
1.认识圆锥，理解圆锥母线、底面半径、高的概念．
2.推导圆锥侧面积、全面积公式，理解圆锥侧面展开图是扇形．
3.会利用圆锥相关公式解决实际计算问题．
1. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是多少？
2. 在半径为的圆中，圆心角为的扇形面积的两个公式是什么？
生活中的陀螺、烟囱帽都是圆锥，如果沿着圆锥侧面上从顶点到底边边缘的一条线段剪开，会得到什么图形？
我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.
如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线.
高
母线
你对圆锥还有哪些认识呢？
圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段．
圆锥的母线有无数条．
我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.
如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线.
高
母线
l
h
r
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，高为h，那么圆锥的母线、高、底面圆的半径之间有什么关系？
思考：圆锥的侧面展开图是什么图形
如何计算圆锥的侧面积
沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形.
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为底面圆的周长，因此圆锥的侧面积为.
思考：圆锥的侧面展开图是什么图形
如何计算圆锥的全面积
沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形.
圆锥的全面积为
.
圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为
例：如图所示，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米毛毡(π取3.142，结果取整数)
解：如图所示是一个蒙古包的示意图.
根据题意，下部圆柱的底面积为12，高；
上部圆锥的高1.8=1.4.
圆柱的底面圆的半径
，
侧面积为，
圆锥的母线长
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20×(22.10+14.76)≈.
【知识技能类练习】必做题：
1．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是_____．
4
【知识技能类练习】必做题：
3．如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留）
解：设该圆锥展开后所得扇形的圆心的度数为，
由题意得，冰激凌的底面圆的周长为：．
∵母线长为12cm，∴，
解得，
即展开后所得扇形的圆心角的度数是．
∵吃掉一部分后母线长为9cm，
∴此时冰激凌外壳的侧面积为：．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ）
A．12 B．18 C． D．24
C
【综合拓展类练习】
5．如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？
解：由图知，圆柱和圆锥的底面半径为，
两个圆锥的高均为，圆柱的高为，
∴圆锥的母线长为，
∴两个圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
∴1个锚标浮筒的表面积为，
∵每平方米用锌，
∴电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌(千克)
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的全面积
圆锥的母线
圆锥的侧面积
【知识技能类作业】必做题：
1．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是_____．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图是一个圆锥沿高线切开得到的等腰三角形，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数
解：∵圆锥的底面半径为1，∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是，
∴圆锥的母线长为，
设扇形的圆心角为n°，
∴，
解得：．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
【知识技能类作业】选做题：
4．一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（ ）
①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长；
②底面圆的面积，圆锥的母线长；
③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径；
④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
D
【综合拓展类作业】
5．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，．
(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留）
解：（1）由题意得，劣弧的长
，
劣弧的长，
∴花边的长度为；
【综合拓展类作业】
5．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，．
(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？
(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留）
（2）由题意得，，
，
∴
．

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