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第3章勾股定理单元测试卷
一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
2．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．6
3．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ）
A． B． C． D．
5．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
7．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A． B． C． D．
8．代数式最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1012 B．2023 C．2024 D．2025
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知a、b、c是的三边（c为斜边），若，则 ， ．
12．满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ．
13．已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ．
14．如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ．
16．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，，，则 ．
17．如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个．
18．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（6分）如图，在中，C为上一点，，，．求的长．
20．（8分）如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．

21．（6分）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
(1)求的面积；
(2)猜想的形状，并说明理由．
22．（6分）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米．
23．（6分）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题：
(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积．
24．（8分）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处．
(1)求的长；
(2)求的面积．
25．（8分）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ；
(2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明；
26．（8分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
27．（10分）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．
(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；
(2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长；
(3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________．
第1页（共1页）第3章勾股定理单元测试卷
一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的一组数据是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理判断即可．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
【详解】解：A、，所以1，2，3不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
B、，所以2，3，4不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
C、，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，符合题意；
D、，所以4，5，6不能作为直角三角形的三边，不符合题意；
故选：C．
2．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，由直角三角形的周长和斜边长可得两直角边之和，结合勾股定理和完全平方公式即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
4．利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．
由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意可知：，
直线，
，
由勾股定理得：，
设点表示的数为，
，
或不合题意舍去，
点C表示的数是，
故选：．
5．利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可．
【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为，
则，
，
故选：．
6．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴能判定为直角三角形；
B．∵，
∴，
∴能判定为直角三角形；
C．∵，
∴，
∴能判定为直角三角形；
D．∵，
∴，
∴不能判定为直角三角形．
故选：D．
7．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，，，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故选C．
8．代数式最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值．
【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F，
设，，
当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，
，
，
，
，
（平行线间距离相等），
同理得：，
中，，，
，
代数式最小值为5，
故选：B．
9．如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为6，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理.
先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，即．
解得：，
在中，．
由翻折的性质可知：，．
∴．
设，则．
在中，由勾股定理得：，
∴．
解得：，
∴．
故选：B．
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1012 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为，
，
正方形的边长为，
生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，
故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知a、b、c是的三边（c为斜边），若，则 ， ．
【答案】 6 8
【分析】本题考查了勾股定理，根据，可列出方程，解出方程即可得出答案．
【详解】解：在中，，
设，则，
解得：或（舍去），
故．
故答案为：6，8．
12．满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ．
【答案】6，8，10（答案不唯一）
【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可．
【详解】解：∵，
∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一），
故答案为：6，8，10（答案不唯一）．
13．已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积为，
故答案为：．
14．如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离．
【详解】解：过C作平行地面，连接，
由题意得，米，米，米，
由勾股定理得，米，
故答案为：13．
15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为，
小正方形的边长，
小正方形的面积为，
故答案为：
16．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键．
由矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得、由勾股定理可得、，设，则，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，解得：，
∴．
故答案为5．
17．如图甲是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，若的值是整数，且，则符合条件的有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
利用勾股定理可求出，得到，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数．
【详解】解：由题意得
；
；
；
∵，
∴的值是整数，
∴·的值可以是，，，是整数的有3个．
故答案为：3．
18．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，将图形展开、利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
将容器的侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 m，
延长，过作于点D，
∵cm，
∴，
在中，由勾股定理可得，
所以该圆柱底面周长为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．（6分）如图，在中，C为上一点，，，．求的长．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握这两个知识点是关键；过点A作于点E，则由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
∵，，
∴；
在中，由勾股定理得；
在中，，
由勾股定理得．
20．（8分）如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．

【答案】36
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（6分）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
(1)求的面积；
(2)猜想的形状，并说明理由．
【答案】(1)5
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可；
（2）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
【详解】（1），
，
．
（2）是直角三角形，理由如下：
由图知，，，，
，，
，
是直角三角形．
22．（6分）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离为多少米．
【答案】(1)云梯顶端与墙角的距离的长为
(2)云梯底端在水平方向上滑动的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在中，根据勾股定理即可得到求解；
（2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：；
答：云梯顶端与墙角的距离的长为；
（2）解：，，
，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
，
．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
23．（6分）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题：
(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)小正方形的面积等于1．
【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系；
（2）直接用（1）的结论求出结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：大正方形的面积是25，
，
，
，
，
．
由（1）得，
，
小正方形的面积等于1．
24．（8分）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)的长为6；
(2)
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得；
（2）设，则在中，利用勾股定理可求出x的值，结合图形求面积即可．
【详解】（1）解：∵在长方形中，、，
∴，，
又∵将沿直线折叠，
∴，，，
在中，；
（2）由（1）得，
设，则
在中，，
∴，
解得，
即的长为5，
∴，
∴的面积为：．
25．（8分）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ；
(2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明；
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质．
（1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得；
（2）根据，得，由，即知，从而，有，故．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图：
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下：
如图：
，
，
同（1）可证，
，
，
，
．
26．（8分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)厘米
(2)或
(3)2或6
【分析】此题主要考查了勾股定理，利用分类讨论的思想求出是解题关键．
（1）首先利用勾股定理计算出长，根据题意可得，再利用勾股定理计算出的长，进而可得的周长；
（2）当P在上运动时为直角三角形，由此可得；当P在上时，时，为直角三角形，首先计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得答案．
（3）分类讨论：当P点在上，Q在上；当P点在上，Q在上，分类讨论即可解答．
【详解】（1）解：，，，
，动点P从点C开始，按的路径运动，速度为每秒，
出发2秒后，则，，
，
的周长为：；
（2），动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
在上运动时为直角三角形，
，
当P在上时，时，为直角三角形，
，
，
解得：，
，
，
速度为每秒，，
综上所述：当或，为直角三角形；
（3）当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，，
；
当P点在上，Q在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，，
，
当或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分．
27．（10分）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．
(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；
(2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长；
(3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________．
【答案】(1)是
(2)5
(3)2或1或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等直分割线的定义判断即可；
（2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答；
（3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可.
【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形
证明：如图：是的垂直平分线，
，则是等腰三角形，
是直角三角形
是的一条等直分割线段；
∴直角三角形一定是等直三角形，
故答案为：是；
（2）是的等直分割线段
是等腰三角形
设：，则
在中，根据勾股定理得
解得
；
（3）在中，，，是的等直分割线段，
①若，时，如图1，
∴，
∴，
∴，
②若，时，如图2，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
③若，时，如图3，
∴
④若，时，如图4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的长可以为或或.
故答案为：或或.
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