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湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷
数学试题
（时间：120分钟 分值：150）
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．根据下表，已知定义在上的连续函数的部分对应值如下表所示，则能够判断在下列区间中有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．设角A,B,C是的三个内角,则“”是“是钝角三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知正方体记过点A且与三直线 、所成的角都相等的直线的条数为,过点 与三个平面 所成角都相等的直线的条数为则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分
9．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中不放回地依次随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件，互为对立事件 B．
C． D．事件，为相互独立事件
11．已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是______.
13．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米
14．设长方体的中心为，点为棱的中点，则点到平面的距离等于_______.
①点到平面的距离 ②点到平面的距离
③点到平面的距离的 ④点到平面的距离的
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)直接写出的单调区间．
16．已知角的终边经过点．
(1)求，，的值；
(2)求的值．
17．已知为坐标原点，，，．
(1)若、、三点共线，求的值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
19．如图，已知的内角，，的对边分别为，，，且为边上的中线，，，.
(1)求和；
(2)已知，分别为边，上的动点.
（ⅰ）若，求证：；
（ⅱ）若线段交于，且的面积为面积的一半，求的取值范围.
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期期中考试自编卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C A B D AD BCD
题号 11
答案 BCD
12．平行
13．
14．①③④
15．(1)；
(2)
(3)单调递增区间，单调递减区间，
16．(1)当时，，，；当时，，，
(2)
17．(1)0
(2)
18．【小题1】证明如下：
因为平面，平面，平面，所以，，又因为，
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得
，，，，，
所以，，.
因为，.所以，
又，平面，平面.
∴平面. 【小题2】； 【小题3】.
19．(1)；
(2)（ⅰ）若，则
，
由于，则，即，
，
故，
即；
（ii）
答案第1页（共2页）
答案第1页（共2页）

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