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九年级数学人教版上册第二十八章旋转
专题突破：旋转之角含半角
专题1　正方形中的半角和差
如图，正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 与 的长．
如图，正方形 的边长为 ，点 、 分别在边 、 上，，且 、 的长分别是方程 的两个根．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
如图，正方形 的边长为 ，点 在边 上，，点 在边 上，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
如图，正方形 的边长为 ，点 在边 上，，点 在边 上，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的长．
专题2　半角模型的推广
如图，在四边形 中，，，，点 、 分别在边 、 上，且 ．
（1）求证：；
（2）求 的度数．
如图，在四边形 中，，，，，点 、 分别在 、 上．
（1）若 ，，求 的长；
（2）若 ，，，求 的长．
如图，在四边形 中，，，，，点 、 分别在 、 上．
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）求证：．
如图，在四边形 中，，，，，点 、 分别在 、 上．
（1）求证：；
（2）若 ，求 的度数．
专题3　角含半角平方关系
如图，正方形 中，，、 分别在 、 上，、 分别交对角线 于点 、．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 、、 的长．
如图，正方形 中，，、 分别交 于 、．
（1）若 ，，求 、、 的长；
（2）验证 ．
如图，正方形 中，，、 分别交 于 、，且 ，．
（1）求 的长；
（2）求正方形 的边长．
如图，正方形 中，，、 分别交 于 、．
（1）求证： 与 相似；
（2）若 ，，求 的长．
专题4　等腰直角三角形中的半角
如图，在 中，，，点 、 在边 上，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的长．
如图，在 中，，，点 、 在边 上，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）求 的长，并验证（1）的结果．
如图，在 中，，，点 、 在边 上，．
（1）求证：；
（2）若 ，求 的度数．
专题5　实际应用与综合
如图，某公园同一水平面上，四条通道围成四边形 ，其中 米，，．道路 、 上分别有景点 、，且 ．现要在 、 之间修一条笔直道路．
（1）说明道路 与 、 的关系；
（2）若 米， 米，求道路 的长度．
如图，在四边形 中，，，，，、 分别在 、 上．
（1）求证： 是等边三角形当且仅当 ；
（2）若 ，判断 的形状．
【探索】如图，正方形 中，，、 分别在 、 上．
（1）若正方形边长为 ，，用含 、 的式子表示 ；
（2）判断 的周长是否为定值，并说明理由．
参考答案
1．（1）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ．
四边形 是正方形，，，
在 和 中，，，，
，
，．
，，
，
．
在 和 中，，，，
，．
，．
（2）解：设 ，则 ，，，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，即 ，．
2．（1）解：解方程 得 ，，
、 的长分别为 和 （不妨设 ，），
由第1题的结论 ．
（2）解：，，
．
3．（1）解：设 ，则 ，，，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，
．
（2）解：，，
．
4．（1）解：设 ，则 ，，，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，
．
（2）解：．
5．（1）证明：将 绕点 旋转使 与 重合，得 ，
则 ，，，．
，，
落在 的延长线上，即 、、 三点共线．
，，
，
，
在 和 中，，，，
，．
（2）解： 四边形内角和为 ，，，
．
6．（1）解：由第5题的结论 ，
．
（2）解：，，，
此时四边形 是正方形，边长为 ．
由 ，设 ，则 ，，，
，即 ，
解得 ，即 ．
7．（1）解：四边形 是正方形．
理由： 且 （由 及对角互补可证），，
又 ， 四边形 有三个直角，是矩形，
， 它是正方形．
（2）证明：同第1题，延长 到 使 ，
证 得 ，，
再证 ，得 ，
．
8．（1）证明：由第5题，将 绕 旋转得 ，且 ，
．
（旋转），，
、、 共线，，
．
（2）解：，，
在 中，，
．
9．（1）证明：将 绕点 逆时针旋转 ，得 ，
则 ，，，，
，，
，，
，
，
在 和 中，，，，
，，
在 中，由勾股定理得 ，
．
（2）解：由（1）及第1题的结论 ，
，，（见第1题），，
由正方形性质可求得 ，，
验证：，成立．
10．（1）解：，，由 及勾股定理可求得 ，
由正方形性质求得 ，，．
（2）解：，，，
，，结论成立．
11．（1）解：由第9题的结论 ，
，
．
（2）解：，
正方形对角线 ，
，即边长为 ．
12．（1）证明：，
又 （对顶角），而 ，
在 与 中，，
（可由旋转构造证得），
．
（2）解：由 ，
，
．
13．（1）证明：将 绕点 顺时针旋转 ，得 ，
则 ，，，，
，，
，，
，
，
在 和 中，，，，
，，
在 中，，
．
（2）解：
．
14．（1）解：由第13题的结论 ，
，，，
设 ，则 ，
，即 ，解得 ，
．
（2）解：，
验证：，，，
，结论成立．
15．（1）证明：由第13题，将 旋转得 ，且 ，
．
（旋转），，
、、 三点共线，，
．
（2）解：，，
在 中，，
．
16．（1）解：由第5题的结论，．
（2）解：，，
（米）．
答：道路 的长度为 米．
17．（1）证明：（第5题），，．
（旋转）， 恒成立，
是等腰三角形（ 当且仅当 ），
当 时，，得 ，
又 ， 是等边三角形．
（2）解： 是等边三角形．
理由：，由（1）得 ，
又 ， 是等边三角形．
18．（1）解：设 ，由 ，
，，
由 ，
展开得 ，
整理得 ，即
（2）解： 的周长为定值 ．
理由： 的周长 ，
与 的取值无关，故为定值．

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