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九年级数学人教版上册第二十八章旋转
专题突破：旋转相似
专题1　手拉手相似模型
如图， 与 都是直角三角形，，且 ，，，．将 绕点 旋转，连接 、．
（1）求证：；
（2）求 的值；
（3）求证：．
如图， 与 都是等腰直角三角形，，，，连接 、， 与 交于点 ．
（1）求证：；
（2）求 的度数．
如图，正方形 与正方形 共顶点 ，将正方形 绕点 旋转，连接 、．
（1）求证：；
（2）求直线 与直线 所夹锐角的度数．
如图， 与 中，，，连接 、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若 ，，，求 的值．
专题2　对角互补模型
如图，， 平分 ，点 在 上，点 、 分别在 、 上，且 ．
（1）求证：；
（2）求证：．
如图，， 平分 ，点 在 上，点 、 分别在 、 上，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求 的值．
如图，正方形 中，点 在 上，点 在 上，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的长．
如图，正方形 的边长为 ，点 、 分别在 、 上，且 ，．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
专题3　正方形与矩形中的旋转相似
如图，正方形 中，把一块直角三角板的直角顶点放在点 处，三角板的一边交 于点 ，另一边交 的延长线于点 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的长．
如图，矩形 中，，，把一块直角三角板的直角顶点放在点 处，一边交 于点 ，另一边交 的延长线于点 ．
（1）求证：；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的长．
如图，正方形 的边长为 ，点 在边 上，，，点 在 的延长线上．
（1）求 的长；
（2）求 的长；
（3）求 的长．
如图，矩形 中，，，点 在边 上，，，点 在 的延长线上．
（1）求 的长；
（2）求 的长；
（3）求 的长．
专题4　直角三角形中的旋转相似
如图，在 中，，将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度，得到 ，连接 、．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的值．
如图，在 中，，，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 、．
（1）求证：；
（2）求 与 的数量关系；
（3）求 的度数．
如图，在 中，，，，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 、．
（1）求证：；
（2）求 的值；
（3）判断 的形状，并说明理由．
如图，在 中，，，，将 绕点 按逆时针方向旋转，得到 ，连接 、．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若旋转角为 ，求 的长．
专题5　综合探究
如图，正方形 的对称中心为 ，过点 作两条互相垂直的直线，分别交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求四边形 的面积．
如图，矩形 与矩形 相似，且 ，两矩形共顶点 ，将矩形 绕点 旋转，连接 、．
（1）求证：；
（2）求 的值．
如图，在 中，，，点 在 上，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）若 ，，求 的长．
专题6　旋转相似与勾股定理
我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为“等平方和四边形”．
（1）下列四边形中，一定是等平方和四边形的有（　　）
①平行四边形　②矩形　③菱形　④正方形
（2）如图，在四边形 中，对角线 ，垂足为 ，求证：四边形 是等平方和四边形．
如图，在 中，，，，将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 、．
（1）求 的长；
（2）求 的长；
（3）求四边形 的面积．
如图， 是等边三角形，点 是它内部一点，且 ，，．
（1）求 的度数；
（2）求等边三角形 的边长．
参考答案
1．（1）证明：，
，即 ．
又 ，
，
．
（2）解：，
．
（3）证明：，
．
2．（1）证明：，
．
在 和 中，
，，，
．
（2）解：，．
是等腰直角三角形，．
在 中，
．
3．（1）证明： 四边形 、 都是正方形，
，，，
，即 ．
在 和 中，，，，
，
．
（2）解：设 与 交于点 ， 与 交于点 ．
，．
在 与 中，，，
，
直线 与直线 所夹锐角为 ．
4．（1）证明：，，
．
（2）证明：由（1）得 ，即
，，
．
（3）解：在 中，，，
，
5．（1）证明：过点 作 于点 ， 于点 ．
平分 ，．
， 四边形 是正方形，．
，（同减 ）．
在 和 中，，，，
，
．
（2）证明：由（1）得 ．
．
四边形 是正方形，，
．
6．（1）证明：过点 作 于点 ， 于点 ．
平分 ，．
在四边形 中，，，
．
，．
在 和 中，，，，
，．
（2）解：由（1）得 ．
．
在 中，，，
，同理 ，
．
7．（1）证明：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
则 ，，．
，，即 、、 三点共线．
，，
，
．
在 和 中，，，，
，．
，．
（2）解：设 ，则 ，，．
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，即 ．
8．（1）解：由第7题的结论，．
设 ，则 ，，．
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，即 ．
（2）解：由（1）得 ，，
．
9．（1）证明：，
（同减 ）．
四边形 是正方形，，．
在 和 中，，，，
，．
（2）解：，．
10．（1）证明：，．
四边形 是矩形，，
．
（2）解：，.
（3）解：，.
．
11．（1）解：在 中，，，
由勾股定理得 ．
（2）解：由第9题的结论，．
（3）解：，．
四边形 是正方形，，
．
12．（1）解：在 中，，，
由勾股定理得 ．
（2）解：由第10题的结论 ，．
（3）解：，，．
四边形 是矩形，，
．
13．（1）证明： 是由 绕点 旋转得到的，
，，（都等于旋转角），
．
（2）解：，
14．（1）证明：，，，
，．
（2）解：，即 ．
（3）解：，，
．
15．（1）证明：，，，
，．
（2）解：在 中，，，
，
（3）解： 是等边三角形．
理由：，， 是等边三角形．
16．（1）证明：，，（都等于旋转角），
，．
（2）解：，．
（3）解： 旋转角为 ，，，
．
17．（1）证明：过点 作 于点 ， 于点 ．
是正方形 的对称中心，，
， 四边形 是正方形，．
，，
（同减 ）．
在 和 中，，，，
，．
（2）解：由（1）得 ，
．
，，
四边形 的面积为 ．
18．（1）证明： 矩形 矩形 ，
，．
，，
．
（2）解：，
．
19．（1）证明：由旋转得 ，，，
，
，
，
．
（2）解： 是等腰三角形．
理由： 由旋转得 ， 是等腰三角形．
（3）解：，，．
，，，
，．
过点 作 ，交 于点 ．
在 中，，，
，，
．
在 中，由勾股定理得
．
20．（1）解：选 ③④．
理由：设菱形 的边长为 ，则 ，
，，
菱形一定是等平方和四边形，正方形是特殊的菱形，也一定是．
而一般的平行四边形和矩形不一定满足该条件．
（2）证明：，垂足为 ，
在 、、、 中，由勾股定理得
，，，，
，
，
，
四边形 是等平方和四边形．
21．（1）解： 将 绕点 旋转 得到 ，
，，
在 中，．
（2）解：同理 ，，
．
（3）证明：，，，
，，
22．（1）解：将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 ．
由旋转得 ，，，
是等边三角形，，．
在 中，，，，
，即 ，
由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，．
点 在 的内部，
．
（2）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ．
，，
在 中，，
，，
．
在 中，由勾股定理得
，
，即等边三角形的边长为 ．

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