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第三十章直线与圆的位置关系单元检测卷拔尖卷人教版2026—2027学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（　　）
A．6 B．8 C． D．
5．如图，点I为△ABC的内心， AB=6， AC=5， BC=4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形是(　　)
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
7．如图，，，是的切线，切点分别是P，C，D，若，，则的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P＝50°，则∠PAB的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
9．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（　　）．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
10．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（　　）
A．4π B．3π C．2π D．π
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=　 　°.

12．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于　 　度时，AC才能成为⊙O的切线．
13． 如图， PA、PB切⊙O于点A、B， PA=10， CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是　 　.
14．如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为　 　．(结果保留根号和)
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求半径的长．
16．如图，已知内接于，点在的延长线上，连接，，满足， ．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求的度数；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
17． 如图， 在△ABC中， ∠C=90°， ∠ABC的平分线BD交AC于点D， 点O是边AB上一点， 以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O 恰好经过点D，交AB于点E.
（1） 求证： 直线AC是⊙O 的切线；
（2）若点E为AO的中点，AD=6，求阴影部分的面积.
18．如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
19．定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”．
（1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由；
（2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径；
（3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度．
20．已知矩形，，以为直径作，点为上一点．
（1）如图1，连接，交于点，若，．
①求证：是的切线；
②求的长；
（2）如图2，若点是上的动点，将四边形沿折叠，点恰好落在处，点的对应点为点，交于点．若，求的长．
参考答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵的半径为7，圆心到直线的距离为，且，
∴，
∴直线与的位置关系是相交，
故答案为：A.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵DC是的切线，
∴OD⊥DC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∵OA=OD，
∴∠DAC=∠ADO，
∴∠DOC=∠DAC+∠ADO=2∠DAC，
∵∠C=3∠A，
∴2∠DAC+3∠DAC=5∠DAC=90°，
∴∠DAC=18°，
故答案为：A.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵分别与相切于A、B两点，
∴；
∵，
∴；
故答案为：B．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，，
∴，，，
∴的周长为
，
故选：C．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：设AC的对应边交AB于点E，BC的对应边交AB于点F，连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC
∴∠EAI=∠CAI，∠FBI=∠CBI
由平移得EI//AC，FI//BC，
∴∠EIA=∠CAI，∠FIB=∠CBI
∴∠EAI=∠EIA，∠FBI=∠FIB
∴IE=AE，IF=BF，
∴IE+EF+IF=AE+EF+BF=AB=6，
∴阴影部分的周长是6，
故答案为：D.
6．【答案】A
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，是的切线，
∴，
故选：C．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠P＝50°
∴∠PAB＝65°
故答案为：C
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设平分的面积和周长的直线分别交和于D和E，
设I为的内心，为内切圆半径，
则，，
∵平分的周长，
∴，
即，
∵平分的面积，
∴，
即
∴，
那么必定通过点I．
故答案为：A.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r= =1
∴S1=π×12=π
图2，由S△ABC= ×3×4= ×5×CD，
∴CD= ，由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ = ，
由（1）得：
⊙O的半径= = ，⊙E的半径= = ，
∴S1+S2=π×（ ）2+π×（ ）2=π．
图3，由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD= ，
由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ = ，
由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，
∴⊙F的半径= = ，
∴S1+S2+S3=π×（ ）2+π×（ ）2+π×（ ）2=π，
…
观察规律可知S1+S2+S3+…+S6=π．
故D符合题意.
故答案为：D．
11．【答案】117
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
12．【答案】60
【解析】【解答】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
13．【答案】20
【解析】【解答】解：PA，PB切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20.
故答案为：20.
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
，
，
．
故答案为：
15．【答案】（1）解：，，
．

（2）解：如图，连接，
．
，
，
．
与相切于点，
，
，
．
，
，
半径的长为3．
16．【答案】（1）解：选择①：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
选择②：∵，
∴ ，
∵，
∴是等边三角形，
∴
（2）解：与相切，理由如下：
由（）知，，
∵，
∴ ，即，
∵是的半径，
∴与相切
17．【答案】（1）证明： 连接OD， 则∠AOD=2∠ABD，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABC = 2∠ABD，
∴∠AOD =∠ABC，
∴OD∥BC
∴∠ADO=∠C=90°，
∵OD是⊙O的径， 且AC⊥OD，
∴直线AC是⊙O的切线.
（2）解： ∵∠ADO = 90°， 点E为AO的中点，
是等边三角形，OA=2OD，
∴阴影部分的面积是：

18．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又是半径，
与相切；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
19．【答案】（1）解：是．
理由：如图，连接，，
为的内接等边三角形，
，点为的内心即外心，
，
，且，
，
，
，
，
，
等边的内心关于的对称点在上，
是的“梦之三角形”．
（2）解：如图，连接，
设，
是的内心，
平分，平分，
，
点和点关于对称，
，
，
，
即，
，
，
；
连接，过点作于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即的半径为．
（3）解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为，
若，如图，连接，，
可知，
，
因此，．
分两种情况进行讨论：
①当时，当在优弧上时，如图，连接，，
，
，
过作于点，
，
，
，
在中，，
；
当在劣弧上时，过作，此时，，
；
②当时，
此时为对边，
如图，当在优弧上时，连接，，
可知，
，
；
当在劣弧上时，同理可求，
综上，可能的值为或或．

20．【答案】（1）①证明：如解图①，连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
②解：如解图①，由①可知
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
在中，，
，
，
解得；
（2）解：如解图②，连接，由题意可知，
，
，
．
，
是等边三角形，
，
的长为．
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