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广东广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．R
2．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
5．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（　　）
A． B．或3 C． D．3
6．若不等式的解集为，则实数的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．至少有一个实数，使
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“”的否定是假命题
D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
10．（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（　　）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（　　）
A． B．为奇函数
C．为减函数 D．当时，
12．集合的真子集的个数是　 　.
13．已知不等式的解集为，则的解集为　 　．
14．若函数的定义域是，则实数的取值范围是　 　.
15．已知集合，.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
16．已知函数．
（1）证明：函数在区间单调递减；
（2）若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值．
17．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.
（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？
18．设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时，
（1）求与的值
（2）求证：函数在上单调递增
（3）解不等式
19．已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”．
（1）若函数是“类函数”，求实数的值；
（2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值；
（3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，或，
，
故答案为：A．
【分析】解出一元二次不等式，，从而得出集合，，再利用交集及其运算即可求解．
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据分式、偶次根式以及0指数幂有意义，列不等式组求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，
“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件。
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
故选：D.
【分析】根据给定条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：根据函数 为幂函数，
所以，解得或，
当时，，定义域为，且，是奇函数，符合题意；
当时，，定义域为， 定义域不关于原点对称，不是奇函数，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据幂函数的定义，得出的值，再根据的值代入进行分情况讨论，检验是否符合是定义域上的奇函数，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，移项通分得，即，即，
因为不等式的解集为，所以2、4是的两根，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据分式不等式解法，将不等式化为，再根据不等式的解集为，得， 即可求解.
7．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数是上的增函数，
所以，解得，所以的取值范围是.
故答案为：D
【分析】
根据分段函数单调性，在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解之即可.
8．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数，
因为，所以，即在上的值域为，
设在上的值域为B，因为对于任意，总存在，使得成立，
所以，
当时，，即，不成立；
当时，，即，
则，解得；
当时，，即，
则，解得；
综上：实数a的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】设在上的值域为，在上的值域为B，根据题意得出，再分类讨论，，的情况，即可求解.
9．【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，在实数范围内，，，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立，
若，如，此时，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“”的否定是，
所以恒成立，故C错误；
对于D，若集合中只有一个元素，
当时，；当时，可得，
所以必要性成立，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】
由在实数范围内，判断A错误；
利用不等式性质判断充分性成立，举反例得必要性不成立，判断B正确；
由全称与特称命题的性质和二次函数的性质，判断C错误；
由集合中只有一个元素，分类讨论、，可得或，得充分性不成立，必要性成立，判断D正确；
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：已知，，逐项分析
对于A、由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，的最大值为，故A正确；
对于B、由基本不等式可得，
当且仅当，即时， 等号成立，即的最小值是4，故B错误；
对于C、，则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D、，所以，，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据，即可判断A选项正确；根据，即可判断B选项错误；根据，即，即可判断C选项正确；根据，即可判断D选项正确；
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，∴
令，则，∴，为奇函数，故B正确；
对于C，令，则
∵，
∴，即，故为增函数，故C不正确；
对于D，令，则，∴
∵，∴，又∵奇函数为增函数，∴
，
即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】
根据抽象函数常用赋值法. ，令，可判断A正确；
令得，在此基础再令，可判断B正确；
当时，，结合时，，得的单调性，可判断C错误；
利用及奇函数为增函数，确定当时的符号，即可判断D正确.
12．【答案】31
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为
共5个元素，
则真子集的个数是.
故答案为：31.
【分析】利用已知条件和元素满足的条件以及元素与集合的关系，再利用列举法得出集合，从而得出集合的元素，结合真子集的定义得出集合的真子集的个数.
13．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】因为不等式的解集为，所以是方程的两根，且，
所以，所以，
所以，即，
又，所以，即，
即，解得.
所以的解集为.
故答案为：.
【分析】
根据一元二次不等式得得是方程的两根，且，利用韦达定理可得，所以等价于，解出不等式的解集即可.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数的定义域是，则在上恒成立，
当时，恒成立，此时函数，定义域为R，符合条件；
当时，，解得：，
综上所述，，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据函数的定义域是 ，得出在上恒成立，再分类讨论和时所满足条件，即可求解.
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【解答】
（1）当时，，
；
（2）由已知，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，，
所以 实数的取值范围.
【分析】
（1）将代入，根据交集定义，即可得解；
（2）根据子集定义，分类讨论、，结合数轴列不等式（组），解之即可求解.
（1）当时，，
；
（2）由已知，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，，
即.
16．【答案】（1）证明：任取，且，
则，
因为，可得，，
所以，即．所以在上单调递减．
（2）当时，，因为是奇函数，
额的，所以，
由（1）知，当时，单调递减，所以，，
又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以．
综上可知，的最大值为2，最小值为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性的定义和判定方法，证明即可；
（2）根据函数是奇函数，结合定义域为，当时，，得出函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解.
（1）略
（2）解：当时，，因为是奇函数，
额的，所以，
由（1）知，当时，单调递减，所以，，
又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以．
综上可知，的最大值为2，最小值为．
17．【答案】（1）解：设利润为，则，
由，
整理得，
解得，
因为，
所以，
所以第3年首次盈利.
（2）解：因为，
由（1）得，
平均利润万元，
当且仅当，万元时等号成立，
综上所述，第7年，平均利润最大，为12万元.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先利用已知条件得出利润的表达式，从而列出不等式得出该公司首次盈利的时间.
（2）利用已知条件和（1）得出平均利润的表达式，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出第7年平均利润最大，且平均利润的最大值为12万元.
（1）设利润为，则，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第3年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利润万元，
当且仅当，万元时等号成立，
综上，第7年，平均利润最大，为12万元.
18．【答案】（1）令则，故
令，则可得，
令得，
（2）设，则
即，
，故，即
故在上为增函数
（3），
所以，解得或，
所以不等式的解为：或
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）利用赋值法，根据，令得 ，令得出，再令，得， 即可求解；
（2）令，得，根据单调性的定义，证明即可.
（3）将 不等式 ，转化为，再转化为， 根据函数单调性，得，解之 即可求解.
（1）令则，故
令，则可得，
令得，
（2）略
（3），
所以，解得或，
所以不等式的解为：或
19．【答案】（1）
（2），.
（3）存在，使得函数.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】
（1）因为函数是“类函数”，所以对于任意实数x，都有，
即，所以，
即，所以.
所以
（2）因为函数是“类函数”，所以对于任意实数x，都有，
又因为 当时，，
，，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
同理，，
对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；
由题得，
所以，.
（3）因为函数是“类函数”，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在，使得函数.
【分析】
（1）将 代入，得对于任意实数x，有成立，解方程组，即可得解；
（2）将代入，用换元法求出，，，，再利用二次函数单调性求得最值，即可得解；
（3）将代入 ，结合 ，求出，得到时，，即可得解.
（1）由题得，对于任意实数x，都有，
即，所以，
即，所以.
所以
（2）由题得，对于任意实数x，都有，
，，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
同理，，
对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；
由题得，
所以，.
（3）由题得，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在，使得函数.
1 / 1广东广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．R
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，或，
，
故答案为：A．
【分析】解出一元二次不等式，，从而得出集合，，再利用交集及其运算即可求解．
2．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据分式、偶次根式以及0指数幂有意义，列不等式组求解即可.
3．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，
“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件。
4．已知且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
故选：D.
【分析】根据给定条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（　　）
A． B．或3 C． D．3
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：根据函数 为幂函数，
所以，解得或，
当时，，定义域为，且，是奇函数，符合题意；
当时，，定义域为， 定义域不关于原点对称，不是奇函数，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据幂函数的定义，得出的值，再根据的值代入进行分情况讨论，检验是否符合是定义域上的奇函数，即可求解.
6．若不等式的解集为，则实数的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，移项通分得，即，即，
因为不等式的解集为，所以2、4是的两根，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据分式不等式解法，将不等式化为，再根据不等式的解集为，得， 即可求解.
7．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】因为函数是上的增函数，
所以，解得，所以的取值范围是.
故答案为：D
【分析】
根据分段函数单调性，在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解之即可.
8．已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数，
因为，所以，即在上的值域为，
设在上的值域为B，因为对于任意，总存在，使得成立，
所以，
当时，，即，不成立；
当时，，即，
则，解得；
当时，，即，
则，解得；
综上：实数a的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】设在上的值域为，在上的值域为B，根据题意得出，再分类讨论，，的情况，即可求解.
9．下列说法正确的是（　　）
A．至少有一个实数，使
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“”的否定是假命题
D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
【答案】B,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A，在实数范围内，，，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立，
若，如，此时，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“”的否定是，
所以恒成立，故C错误；
对于D，若集合中只有一个元素，
当时，；当时，可得，
所以必要性成立，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】
由在实数范围内，判断A错误；
利用不等式性质判断充分性成立，举反例得必要性不成立，判断B正确；
由全称与特称命题的性质和二次函数的性质，判断C错误；
由集合中只有一个元素，分类讨论、，可得或，得充分性不成立，必要性成立，判断D正确；
10．（多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（　　）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：已知，，逐项分析
对于A、由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，的最大值为，故A正确；
对于B、由基本不等式可得，
当且仅当，即时， 等号成立，即的最小值是4，故B错误；
对于C、，则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D、，所以，，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据，即可判断A选项正确；根据，即可判断B选项错误；根据，即，即可判断C选项正确；根据，即可判断D选项正确；
11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（　　）
A． B．为奇函数
C．为减函数 D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，∴
令，则，∴，为奇函数，故B正确；
对于C，令，则
∵，
∴，即，故为增函数，故C不正确；
对于D，令，则，∴
∵，∴，又∵奇函数为增函数，∴
，
即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】
根据抽象函数常用赋值法. ，令，可判断A正确；
令得，在此基础再令，可判断B正确；
当时，，结合时，，得的单调性，可判断C错误；
利用及奇函数为增函数，确定当时的符号，即可判断D正确.
12．集合的真子集的个数是　 　.
【答案】31
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为
共5个元素，
则真子集的个数是.
故答案为：31.
【分析】利用已知条件和元素满足的条件以及元素与集合的关系，再利用列举法得出集合，从而得出集合的元素，结合真子集的定义得出集合的真子集的个数.
13．已知不等式的解集为，则的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】因为不等式的解集为，所以是方程的两根，且，
所以，所以，
所以，即，
又，所以，即，
即，解得.
所以的解集为.
故答案为：.
【分析】
根据一元二次不等式得得是方程的两根，且，利用韦达定理可得，所以等价于，解出不等式的解集即可.
14．若函数的定义域是，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：函数的定义域是，则在上恒成立，
当时，恒成立，此时函数，定义域为R，符合条件；
当时，，解得：，
综上所述，，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据函数的定义域是 ，得出在上恒成立，再分类讨论和时所满足条件，即可求解.
15．已知集合，.
（1）若，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【解答】
（1）当时，，
；
（2）由已知，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，，
所以 实数的取值范围.
【分析】
（1）将代入，根据交集定义，即可得解；
（2）根据子集定义，分类讨论、，结合数轴列不等式（组），解之即可求解.
（1）当时，，
；
（2）由已知，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，，
即.
16．已知函数．
（1）证明：函数在区间单调递减；
（2）若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值．
【答案】（1）证明：任取，且，
则，
因为，可得，，
所以，即．所以在上单调递减．
（2）当时，，因为是奇函数，
额的，所以，
由（1）知，当时，单调递减，所以，，
又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以．
综上可知，的最大值为2，最小值为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性的定义和判定方法，证明即可；
（2）根据函数是奇函数，结合定义域为，当时，，得出函数的解析式，利用函数的单调性和对称性，即可求解.
（1）略
（2）解：当时，，因为是奇函数，
额的，所以，
由（1）知，当时，单调递减，所以，，
又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以．
综上可知，的最大值为2，最小值为．
17．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.
（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？
【答案】（1）解：设利润为，则，
由，
整理得，
解得，
因为，
所以，
所以第3年首次盈利.
（2）解：因为，
由（1）得，
平均利润万元，
当且仅当，万元时等号成立，
综上所述，第7年，平均利润最大，为12万元.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先利用已知条件得出利润的表达式，从而列出不等式得出该公司首次盈利的时间.
（2）利用已知条件和（1）得出平均利润的表达式，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出第7年平均利润最大，且平均利润的最大值为12万元.
（1）设利润为，则，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第3年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利润万元，
当且仅当，万元时等号成立，
综上，第7年，平均利润最大，为12万元.
18．设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时，
（1）求与的值
（2）求证：函数在上单调递增
（3）解不等式
【答案】（1）令则，故
令，则可得，
令得，
（2）设，则
即，
，故，即
故在上为增函数
（3），
所以，解得或，
所以不等式的解为：或
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）利用赋值法，根据，令得 ，令得出，再令，得， 即可求解；
（2）令，得，根据单调性的定义，证明即可.
（3）将 不等式 ，转化为，再转化为， 根据函数单调性，得，解之 即可求解.
（1）令则，故
令，则可得，
令得，
（2）略
（3），
所以，解得或，
所以不等式的解为：或
19．已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”．
（1）若函数是“类函数”，求实数的值；
（2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值；
（3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由．
【答案】（1）
（2），.
（3）存在，使得函数.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】
（1）因为函数是“类函数”，所以对于任意实数x，都有，
即，所以，
即，所以.
所以
（2）因为函数是“类函数”，所以对于任意实数x，都有，
又因为 当时，，
，，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
同理，，
对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；
由题得，
所以，.
（3）因为函数是“类函数”，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在，使得函数.
【分析】
（1）将 代入，得对于任意实数x，有成立，解方程组，即可得解；
（2）将代入，用换元法求出，，，，再利用二次函数单调性求得最值，即可得解；
（3）将代入 ，结合 ，求出，得到时，，即可得解.
（1）由题得，对于任意实数x，都有，
即，所以，
即，所以.
所以
（2）由题得，对于任意实数x，都有，
，，
因为，所以，设，所以，
所以，，
所以，，
对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
同理，，
对称轴为，在上单调递增，在上单调递减；
由题得，
所以，.
（3）由题得，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令得，，
，
所以，所以是周期函数.
所以，所以.
所以存在，使得函数.
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