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《二次函数》精选期中压轴题汇编—浙教版数学九上复习
一、单选题
1．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴直线为，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方，
∴抛物线与直线两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③正确；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
【分析】
由题意可知，该二次函数图象开口向上，对称轴为，结合，可推得。将代入解析式即可判定结论①；根据二次函数图象与直线的位置关系可以判定结论②；由题意推导可得，据此可判定结论③；最后根据二次函数最小值的范围即可判定结论④，综上即可得到最终结果.
2．已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
由①知：，
∴，故结论②正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到的距离大于到的距离，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】先根据抛物线和轴交点的位置，判断出系数和的大小关系，再结合对称轴的位置，判断出系数和的大小关系，以此验证结论①；接下来利用抛物线的对称轴公式对结论②进行判断；再结合抛物线的增减性规律验证结论③；最后根据抛物线和轴交点的不同情况分三类讨论，以此判断结论④．
3．关于的二次函数的图象与轴有两个交点，关于的方程有两个非零实数根，甲、乙两人得出以下结论：甲：；乙：．则以下判断正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲、乙都对 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数（）与轴有两个交点，
∴ 方程 的判别式，即，又，
故。
∴根为，
∵
∴，，
∵方程有两个非零实数根，
则判别式，
即，
结合上述，
根为，
∵
∴，，
对于甲：
，
，
∴，甲正确，
对于乙：
∵，，，
∴当时，，
则，
即，
即，故与乙结论矛盾，
故选：A．
【分析】 已知抛物线和 x 轴存在两个交点，先利用一元二次方程根的判别式，求出参数 m 的取值范围。 对于甲给出的等式：把方程的两个根代入等式中，通过根与系数的关系（韦达定理）化简整理，经过推导可以发现，无论 m 在取值范围内取何值，等式左右两边始终相等，说明该等式恒成立。 对于乙给出的不等式，结合，，，可知当时，可得，得到对应的大小关系，由此判断乙的结论成立，即可作答．
4． 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，EF，使AD=BE=CF.若AB=4，AD=x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H， 过点D作DK⊥AC于点K，如图所示：
∵△ABC是等边三角形， AB = 4，
∴AB=BC=CA=4，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD=BE=CF=x，
∴AF = BD=CE =4-x，在△ADF， △BED和△CFE中，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
即
在 中，由勾股定理得：CH=
于点K，
在 中， ，
∴∠ADK=30°，∴AK=，
其中0≤x≤4，
∴y关于x的函数图象开口向上，当：x=0时，y=4 当x=4时， 当x=2，y的最小值为
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】过点C作 于点H，过点D作于点K，根据等边三角形性质得AB=BC=CA=4， ，根据.AD=BE=CF=x得.AF=BD=CE=4-x，由此依据“SAS”判定 得则再求出 得 解 得 则 进而得 由此得y关于x的函数图象开口向上，当x=2，y的最小值为 据此可得出答案.
5．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴该二次函数的对称轴为，图象开口向上，函数有最小值，
∵当时，该二次函数的最小值为，最大值为，
∴当时，该二次函数有最小值为，当时，，即函数的最大值为7，
∵关于对称轴直线的对称点为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】先根据“美丽点“的定义得，再由一元二次方程根的判别式解得，由此可得二次函数的解析式，然后
根据二次函数的图象与性质得图像开口向上，二次函数在对称轴处有最小值，把代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得关于对称轴直线的对称点为，由此即可求解．
6．设，是方程的两根，若，下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设二次函数，
当时，，
∴二次函数经过点，
∵，是方程的两根，
∴二次函数经过点和，
∴二次函数，
代入点得，，
∴，
∵，
∴，
若，则；
若，则；
结合选项可知，只有选项B判断正确，符合题意；
故选：B．
【分析】
设二次函数，则抛物线交x轴于点和，则可化抛物线的一般形式为顶点式，即；又当x=m时y=p，即有，因为，则，所以当时，反之．
7．在中，为对角线的交点，动点沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为y，y与的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是（　　）
命题①：为菱形．
命题②：当点运动到中点时，的长为2．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定与性质；通过函数图象获取信息；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由函数图象可得，当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且，
∴当时，此时，如下图：
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确，
∵四边形是菱形，
∴对角线，即．
在中，，，
由勾股定理得：，
∵在菱形中，且，
设，则的面积可表示为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
∵是中点，且，
∴，故②正确．
综上所述，命题①和②都正确，
故选：A．
【分析】根据题意得当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且，据此画出图形，利用HL证出得出，再证出，得出为菱形，即可判断①正确；根据勾股定理求出的值，设，利用等积法求出，再根据勾股定理求出，利用直角三角形中斜边的中线的性质求出，即可判断②正确.
8．已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵y1＝x2+1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2+1+，
∵0＜x＜1时，x2+1＞1且＞1，
∴y1-y2＞2，
∴A选项不符合题意；
B、∵y1＝x2+1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2+1-2x+1=（x-1）2+1，
∵0＜x＜1时，（x-1）2+1＞1，
∴y1-y2＞1，
∴B选项不符合题意；
C、∵y1＝x2-1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2-1+=x2+-1，
∵0＜x＜时，x2＞0且-1＞2，
∴y1-y2＞2，
∴C选项不符合题意；
D、∵y1＝x2-1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2-1-2x+1=（x-2）2-1
∵0＜x＜1时，-1＜（x-2）2-1＜0，
∴D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先分别表示每个选项两个函数的差的关系式，再利用不等式性质求得差值的范围，最后根据“亲函数”定义判断即可得出正确答案.
9．如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（　　）
A． B．点在该函数图象上
C．最大时， D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，
过点作，交于点，
则，
，
，
是等边三角形
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形为等腰梯形．
，
即点，点运动路程相等，
又它们同时到达终点，
点，点速度相等．
由图象可知，当时，点到达点，
又，
，，．
．
故A错误；
设点到的距离为，
根据含30度角的直角三角形的性质可得，，
此时，，
即图中曲线与线段的交点坐标为，
直线过点和，
利用待定系数法求出直线的解析式为：，
当时，，
点不在该函数图象上，
故B错误；
当点在边上时，
设点到的距离为，
此时，
根据含30度角的直角三角形的性质可得，，
此时，，
当时，有最大值，
此时，，，
根据含30度角的直角三角形的性质可得，点到的距离为，
，
故C正确；
当时，
，
，
解得，或，
故D错误；
综上，C选项正确．
故选：C．
【分析】
结合题目给出的平行四边形的判定与性质、梯形、等边三角形的判定、动点问题、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及二次函数最值已知条件，通过推理与计算，就可以完成各个结论的判断.
10．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，
∵，，
∴，
∴，故当最大时，最大；
∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．
∴轴，，
则，，，
∴，，
∴，则，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，则，
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，最大值为，
此时，的最大值为，
∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，
则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值，
故选：A．
【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，根据角之间的关系可得，根据等腰直角三角形性质可得，故当最大时，最大，根据题意可得轴，，则，，，根据两点间距离可得，，则，则，设直线解析式为，根据待定系数法将点B，P坐标代入解析式可得直线的解析式为，设抛物线的解析式为，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，设，则，根据两点间距离，结合二次函数性质即可求出答案.
11．如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（　　）
A．函数图象的横轴表示的长
B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C．两段抛物线的形状不同
D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据函数图形上的数据，再利用三角形的面积公式的计算方法分别列出函数解析式，再分别求解即可.
12．定义：如果代数式 是常数)与 (a2≠0， a2， b2， c2是常数)，满足 则称这两个代数式A与B互为“同构式”，下列四个结论：
①代数式 的“同构式”为
② 若代数式 与6nx2+3x+5互为“同构式”， 则m+n=6；
③ 若A、B互为“同构式”，且方程A+B=0有两个不相等的实数根，则
④若A、B互为“同构式”， 函数y=|A-2B|的图象与直线y=m有4个交点，则0≤m≤1.其中，正确的结论有(　　)个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：①代数式的“同构式”为，故①正确；
②若代数式与互为“同构式”，
则，
解得：，，
，故②不正确；
③若、互为“同构式”，且方程有两个不相等的实数根，
，
，
，故③不正确；
④若、互为“同构式”，，则，
函数，
，
顶点为，
函数函数的图象与直线有个交点，则，故④不正确．
故答案为：A .
【分析】根据新定义判断①；根据新定义求出m和n的值，然后代入求出m+n的值判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③；根据二次函数的性质判断④即可.
二、填空题
13．已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数值y的部分对应值如下表，则下列命题：
①若c≤0，则函数图象的开口向上：
x … -1 0 1 2 …
y … m c 2 2 …
②关于x的方程ax2+x+c=m的两个根是-1和4：
③点(a，c)在一次函数y=2x+2的图象上：
④代数式bc的最大值为
正确的是　 　.
【答案】②③④
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：把(1，2)， (2，2)代入：
得：
解得：
∴抛物线的对称轴为直线
当 时，
∴抛物线的开口向下，故①选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线
与x=4的函数值相同，均为m，
∴关于x的方程( 的两个根是-1和4，故②选项正确；
∴(a，c)为((a，2a+2)，
∴(a，c)在直线y=2x+2上，故③选项正确；
∴当 时，代数式 bc的最大值为 故④选项正确；
故答案为： ②③④.
【分析】根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可.
14．如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号）
【答案】①③⑤．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线抛物线的对称轴，所以，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴是．且过点（，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），
当x=时，y=0，即，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴，即3b+2c＜0，故④错误；
∵x=﹣1时，函数值最大，
∴（m≠1），
∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；
故答案为①③⑤．
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴的交点这几个特征，来判定二次函数表达式中各系数的符号，同时还可以结合特殊点的函数值来解决相关问题.
15．已知抛物线 与直线y=·2只有一个公共点，且过点A（m-2，n），B（m+4，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB 的周长为　 　
【答案】44
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线经过点A(m-2，n)和点B(m+4，n)，
∴抛物线的对称轴为直线
又抛物线y=2x2+bx+c与直线y=-2只有一个公共点，
∴抛物线的顶点在直线y=-2上
∴，
即
∴n=2(m-2)2-4(m+1)(m-2)+2m2+4m=16
∴AM=BN=16
又∵A(m-2，n)，B(m+4，n)，
∴AB=(m+4)-(m-2)=6
∴四边形AMNB的周长为是：AM+MN+NB+BA=16+6+16+6=44
故答案为：44.
【分析】依据题意，抛物线y=2x2+bx+c与直线y=-2只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是-2，由A(m-2，n)和B(m+4，n)，可得抛物线的对称轴和AB的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形AMNB的周长.
16．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解二元二次方程组；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，
，
∴①﹣②化简得，
，代入①整理可得：，
∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，
∴关于x1的一元二次方程必有实数根，
又∵，
∴当Δ＝0时，即8a﹣3＝0时，．
∴
，
∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；
∴必有Δ＝﹣3+8a＞0．
∴．
故答案为：．
【分析】依据题意得a≠0，且x1≠﹣y1时，可得，当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，可得x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；故必有Δ＝﹣3+8a＞0，即可解得答案．
三、解答题
17．甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数．
②月利润月租车费月维护费．
③两个公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是___________元．
（2）设两个公司租出的汽车数量都为辆．
①甲公司的月利润是___________元（用含的代数式表示）．
②求两公司月利润差的最大值．
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出（）元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
【答案】（1）33150元
（2）①；
②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
当甲公司的利润大于乙公司时，
解得：，
，
当时，利润差最大，为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，，
即，
，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，利润差最大，为33150元；
综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则由（2）可知利润差为，
对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
，
解得．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得：（元）；
故答案为33150；
（2）解：①由题意得：，
故答案为；
【分析】（1） 梳理题干给出的数量关系，提取已知数据，直接列出算式，计算得到答案 ；
（2）① 读懂题意，把文字描述转化为数学式子，列出对应代数式或者方程 ；②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，则，然后可分当甲公司的利润大于乙公司时， 乙公司利润大于甲公司，对每种情况分别列式运算，得到对应结果 ；
（3）由（2）可知利润差为，则有对称轴为直线，题目限定自变量x只能取整数，并且当两家公司都租出 16 辆汽车时，月利润之差取得最大值，据此对对称轴的位置进行分析，列出不等式，解出参数的取值或者具体数值．
（1）解：由题意得：（元）；
故答案为33150；
（2）解：①由题意得：，
故答案为；
②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
当甲公司的利润大于乙公司时，
解得：，
，
当时，利润差最大，为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，，
即，
，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，利润差最大，为33150元；
综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则由（2）可知利润差为，
对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
，
解得．
18．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标；
（3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解： 设抛物线解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴．

（3）解： ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴，
∵，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大．
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】 如图1，作交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵、B为二次函数与x轴的交点，
∴、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）作交于点D，则，得到，由二次函数的性质可得，即可得出点B的坐标，
（2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标
（3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案．
（1）如图1，作交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵、B为二次函数与x轴的交点，
∴、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
（2）设抛物线解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴．
（3）∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴，
∵，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大．
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大．
19．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令 ，代入直线解析式可得C点坐标（0，3），令y＝0，代入直线解析式可得B点坐标（3，0），
将点B，C代入抛物线得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式 ；
（2）解：如图，
∵ ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
根据圆周角定理可得： ；
（3）解：存在点P使 为等腰三角形；
理由如下：如图，
由（1）可知抛物线 ，
∴抛物线对称轴 ，顶点D坐标（1，4），
设P点坐标为（1，m），
∴ ，
，
，
①当 时， ，解得 ；
②当 时， ，解得 ， ；
③当 时， ，解得 ， ；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1， ）、（1， ）时， 为等腰三角形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；线段上的两点间的距离；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直线求得点B与点C坐标，再由待定系数法求解抛物线解析式；
（2）由题意易得△OBC是等腰直角三角形，再由圆周角定理可求解；
（3）由直角坐标系内两点间距离公式，分三种情况：①当PC=PD时，可得关于m的方程，解方程可求解；②当PC=CD时，可得关于m的方程，解方程可求解；③当PD=CD时，可得关于m的方程，解方程可求解；讨论求解．
20．甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明：①汽车数量为整数.
②月利润=月租车费一月维护费.
③两个公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是　 　元.
（2）设两个公司租出的汽车数量都为x辆.
①甲公司的月利润是 ▲ 元(用含x的代数式表示).
②求两公司月利润差的最大值.
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a(a>0)元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.
【答案】（1）33150
（2）解： ①-50x2+5300x
②设两个公司的月利润分别为 ，，
则，
令y=y甲-y乙==
，
当y=0时，则=0，
解得x1=-1，x2=37，
∵x的取值范围是0≤x≤50（x是整数），二次函数y的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当0≤x≤37时，y≥0，且当x=18时，
y取得最大值是-50×182+1800×18+1850=18050，此时甲乙利润差是18050元；
当37综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴.
解得：.
（如果计算结果为也可以）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，当乙公司租车的汽车为10辆时，该公司的月利润是10×3500-1850=33150（元），
故填：33150.
（2）① 甲公司租出x辆汽车时，每辆汽车月租费是3000+50(50-x)=5500-50x（元），
甲公司月租车费=（5500-50x）x，
月维护费=200x，
月利润=（5500-50x）x-200x=-50x2+5300x（元）.
故填：-50x2+5300x.
【分析】（1）由题意可得，公司的月利润=月租车费用-月维护费用，租出的汽车为10辆，那么月租车费用是“10×3500”， 月维护费用是1850元，代入计算即可；
（2）①根据“ 如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车”可得，当甲公司租出汽车x辆时，减少了（50-x）辆，那么每辆汽车月租费就增加了50（50-x）元，即每辆汽车月租费就是3000+50(50-x)元，再表示出月租车费和月维护费，代入 月利润=月租车费-月维护费，即可解答；
②由①可得甲公司月利润，由题意可得乙公司月利润，构建一个新的函数令y=y甲-y乙，令y=0，确定y≥0时的x取值范围，y<0时的x取值范围，分别求出最值得出利润差，再作比较即可；
（3）由“ 如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润 ”可用（2）题中“y甲-y乙”的函数，在此函数基础上减去ax，就是新的利润差函数，再根据“ 当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大 ”确定新的利润差函数的对称轴的取值范围，从而求出a的取值范围.
21．定义：若函数与x轴的交点A，B的横坐标为，与y轴的交点C的纵坐标为，若中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为“M函数”的定义，如与x轴的一个交点A的横坐标为-3，与y轴交点C的纵坐标为-3，满足，则称为“M函数”。
（1）判断是否为“M函数”，并说明理由；
（2）请探究“M函数”表达式中的b与c之间的关系；
（3）若是“M函数”，且为锐角，求c的取值范围.
【答案】（1）解：是M函数．理由如下：
当时，；当时，或3，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3．
故是M函数．
（2）解：当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是M函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（3）解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据M函数的定义，求出抛物线与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出抛物线与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（3）分三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图象可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
22．水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1 是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭.
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为：x=2t.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：
飞行时间 t/s 0 2 4 6 …
飞行高度y/m 0 6 8 6 　
【建立模型】
任务1：求y关于 t的函数表达式.
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为 PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地(高度为0m)时，求水火箭飞行的水平距离.
任务3：当水火箭落到AB内(包括端点A，B)，求发射台高度PQ的取值范围.
【答案】解：任务1：顶点 (6， 18)
经
任务2：
∴ y=0 x1=0 x2=36
∴ 水平距离为36m
任务3： 设
经 A (42， 0) 代入 C=14
经
∴ 14≤C≤18
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务1： 设顶点式，将(0，0)代入可得a的值，即得解析式；
任务2：由x=3t，由此可得y与x的函数关系式，令y=0得x的值，即得火箭飞行的水平距离；
任务3：PQ=C，知，将(42，0)代入可得C的值，即可得C的范围.
1 / 1《二次函数》精选期中压轴题汇编—浙教版数学九上复习
一、单选题
1．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知二次函数的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线，有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设是方程的两根，若，则，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
3．关于的二次函数的图象与轴有两个交点，关于的方程有两个非零实数根，甲、乙两人得出以下结论：甲：；乙：．则以下判断正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲、乙都对 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错
4． 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，EF，使AD=BE=CF.若AB=4，AD=x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．设，是方程的两根，若，下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．在中，为对角线的交点，动点沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为y，y与的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是（　　）
命题①：为菱形．
命题②：当点运动到中点时，的长为2．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
8．已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（　　）
A． B．点在该函数图象上
C．最大时， D．当时，
10．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（　　）
A．函数图象的横轴表示的长
B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C．两段抛物线的形状不同
D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为
12．定义：如果代数式 是常数)与 (a2≠0， a2， b2， c2是常数)，满足 则称这两个代数式A与B互为“同构式”，下列四个结论：
①代数式 的“同构式”为
② 若代数式 与6nx2+3x+5互为“同构式”， 则m+n=6；
③ 若A、B互为“同构式”，且方程A+B=0有两个不相等的实数根，则
④若A、B互为“同构式”， 函数y=|A-2B|的图象与直线y=m有4个交点，则0≤m≤1.其中，正确的结论有(　　)个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数值y的部分对应值如下表，则下列命题：
①若c≤0，则函数图象的开口向上：
x … -1 0 1 2 …
y … m c 2 2 …
②关于x的方程ax2+x+c=m的两个根是-1和4：
③点(a，c)在一次函数y=2x+2的图象上：
④代数式bc的最大值为
正确的是　 　.
14．如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号）
15．已知抛物线 与直线y=·2只有一个公共点，且过点A（m-2，n），B（m+4，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB 的周长为　 　
16．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为　 　．
三、解答题
17．甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数．
②月利润月租车费月维护费．
③两个公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是___________元．
（2）设两个公司租出的汽车数量都为辆．
①甲公司的月利润是___________元（用含的代数式表示）．
②求两公司月利润差的最大值．
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出（）元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
18．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标；
（3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围．
19．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
20．甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明：①汽车数量为整数.
②月利润=月租车费一月维护费.
③两个公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是　 　元.
（2）设两个公司租出的汽车数量都为x辆.
①甲公司的月利润是 ▲ 元(用含x的代数式表示).
②求两公司月利润差的最大值.
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a(a>0)元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.
21．定义：若函数与x轴的交点A，B的横坐标为，与y轴的交点C的纵坐标为，若中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为“M函数”的定义，如与x轴的一个交点A的横坐标为-3，与y轴交点C的纵坐标为-3，满足，则称为“M函数”。
（1）判断是否为“M函数”，并说明理由；
（2）请探究“M函数”表达式中的b与c之间的关系；
（3）若是“M函数”，且为锐角，求c的取值范围.
22．水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1 是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭.
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为：x=2t.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：
飞行时间 t/s 0 2 4 6 …
飞行高度y/m 0 6 8 6 　
【建立模型】
任务1：求y关于 t的函数表达式.
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为 PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地(高度为0m)时，求水火箭飞行的水平距离.
任务3：当水火箭落到AB内(包括端点A，B)，求发射台高度PQ的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴直线为，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方，
∴抛物线与直线两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③正确；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
【分析】
由题意可知，该二次函数图象开口向上，对称轴为，结合，可推得。将代入解析式即可判定结论①；根据二次函数图象与直线的位置关系可以判定结论②；由题意推导可得，据此可判定结论③；最后根据二次函数最小值的范围即可判定结论④，综上即可得到最终结果.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
由①知：，
∴，故结论②正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到的距离大于到的距离，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】先根据抛物线和轴交点的位置，判断出系数和的大小关系，再结合对称轴的位置，判断出系数和的大小关系，以此验证结论①；接下来利用抛物线的对称轴公式对结论②进行判断；再结合抛物线的增减性规律验证结论③；最后根据抛物线和轴交点的不同情况分三类讨论，以此判断结论④．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数（）与轴有两个交点，
∴ 方程 的判别式，即，又，
故。
∴根为，
∵
∴，，
∵方程有两个非零实数根，
则判别式，
即，
结合上述，
根为，
∵
∴，，
对于甲：
，
，
∴，甲正确，
对于乙：
∵，，，
∴当时，，
则，
即，
即，故与乙结论矛盾，
故选：A．
【分析】 已知抛物线和 x 轴存在两个交点，先利用一元二次方程根的判别式，求出参数 m 的取值范围。 对于甲给出的等式：把方程的两个根代入等式中，通过根与系数的关系（韦达定理）化简整理，经过推导可以发现，无论 m 在取值范围内取何值，等式左右两边始终相等，说明该等式恒成立。 对于乙给出的不等式，结合，，，可知当时，可得，得到对应的大小关系，由此判断乙的结论成立，即可作答．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H， 过点D作DK⊥AC于点K，如图所示：
∵△ABC是等边三角形， AB = 4，
∴AB=BC=CA=4，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD=BE=CF=x，
∴AF = BD=CE =4-x，在△ADF， △BED和△CFE中，
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)，
即
在 中，由勾股定理得：CH=
于点K，
在 中， ，
∴∠ADK=30°，∴AK=，
其中0≤x≤4，
∴y关于x的函数图象开口向上，当：x=0时，y=4 当x=4时， 当x=2，y的最小值为
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】过点C作 于点H，过点D作于点K，根据等边三角形性质得AB=BC=CA=4， ，根据.AD=BE=CF=x得.AF=BD=CE=4-x，由此依据“SAS”判定 得则再求出 得 解 得 则 进而得 由此得y关于x的函数图象开口向上，当x=2，y的最小值为 据此可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴该二次函数的对称轴为，图象开口向上，函数有最小值，
∵当时，该二次函数的最小值为，最大值为，
∴当时，该二次函数有最小值为，当时，，即函数的最大值为7，
∵关于对称轴直线的对称点为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】先根据“美丽点“的定义得，再由一元二次方程根的判别式解得，由此可得二次函数的解析式，然后
根据二次函数的图象与性质得图像开口向上，二次函数在对称轴处有最小值，把代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得关于对称轴直线的对称点为，由此即可求解．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设二次函数，
当时，，
∴二次函数经过点，
∵，是方程的两根，
∴二次函数经过点和，
∴二次函数，
代入点得，，
∴，
∵，
∴，
若，则；
若，则；
结合选项可知，只有选项B判断正确，符合题意；
故选：B．
【分析】
设二次函数，则抛物线交x轴于点和，则可化抛物线的一般形式为顶点式，即；又当x=m时y=p，即有，因为，则，所以当时，反之．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定与性质；通过函数图象获取信息；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由函数图象可得，当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且，
∴当时，此时，如下图：
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确，
∵四边形是菱形，
∴对角线，即．
在中，，，
由勾股定理得：，
∵在菱形中，且，
设，则的面积可表示为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
∵是中点，且，
∴，故②正确．
综上所述，命题①和②都正确，
故选：A．
【分析】根据题意得当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且，据此画出图形，利用HL证出得出，再证出，得出为菱形，即可判断①正确；根据勾股定理求出的值，设，利用等积法求出，再根据勾股定理求出，利用直角三角形中斜边的中线的性质求出，即可判断②正确.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵y1＝x2+1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2+1+，
∵0＜x＜1时，x2+1＞1且＞1，
∴y1-y2＞2，
∴A选项不符合题意；
B、∵y1＝x2+1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2+1-2x+1=（x-1）2+1，
∵0＜x＜1时，（x-1）2+1＞1，
∴y1-y2＞1，
∴B选项不符合题意；
C、∵y1＝x2-1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2-1+=x2+-1，
∵0＜x＜时，x2＞0且-1＞2，
∴y1-y2＞2，
∴C选项不符合题意；
D、∵y1＝x2-1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2-1-2x+1=（x-2）2-1
∵0＜x＜1时，-1＜（x-2）2-1＜0，
∴D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先分别表示每个选项两个函数的差的关系式，再利用不等式性质求得差值的范围，最后根据“亲函数”定义判断即可得出正确答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，
过点作，交于点，
则，
，
，
是等边三角形
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形为等腰梯形．
，
即点，点运动路程相等，
又它们同时到达终点，
点，点速度相等．
由图象可知，当时，点到达点，
又，
，，．
．
故A错误；
设点到的距离为，
根据含30度角的直角三角形的性质可得，，
此时，，
即图中曲线与线段的交点坐标为，
直线过点和，
利用待定系数法求出直线的解析式为：，
当时，，
点不在该函数图象上，
故B错误；
当点在边上时，
设点到的距离为，
此时，
根据含30度角的直角三角形的性质可得，，
此时，，
当时，有最大值，
此时，，，
根据含30度角的直角三角形的性质可得，点到的距离为，
，
故C正确；
当时，
，
，
解得，或，
故D错误；
综上，C选项正确．
故选：C．
【分析】
结合题目给出的平行四边形的判定与性质、梯形、等边三角形的判定、动点问题、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及二次函数最值已知条件，通过推理与计算，就可以完成各个结论的判断.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，
∵，，
∴，
∴，故当最大时，最大；
∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．
∴轴，，
则，，，
∴，，
∴，则，
设直线解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，则，
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，最大值为，
此时，的最大值为，
∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，
则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值，
故选：A．
【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，根据角之间的关系可得，根据等腰直角三角形性质可得，故当最大时，最大，根据题意可得轴，，则，，，根据两点间距离可得，，则，则，设直线解析式为，根据待定系数法将点B，P坐标代入解析式可得直线的解析式为，设抛物线的解析式为，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，设，则，根据两点间距离，结合二次函数性质即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据函数图形上的数据，再利用三角形的面积公式的计算方法分别列出函数解析式，再分别求解即可.
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：①代数式的“同构式”为，故①正确；
②若代数式与互为“同构式”，
则，
解得：，，
，故②不正确；
③若、互为“同构式”，且方程有两个不相等的实数根，
，
，
，故③不正确；
④若、互为“同构式”，，则，
函数，
，
顶点为，
函数函数的图象与直线有个交点，则，故④不正确．
故答案为：A .
【分析】根据新定义判断①；根据新定义求出m和n的值，然后代入求出m+n的值判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③；根据二次函数的性质判断④即可.
13．【答案】②③④
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：把(1，2)， (2，2)代入：
得：
解得：
∴抛物线的对称轴为直线
当 时，
∴抛物线的开口向下，故①选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线
与x=4的函数值相同，均为m，
∴关于x的方程( 的两个根是-1和4，故②选项正确；
∴(a，c)为((a，2a+2)，
∴(a，c)在直线y=2x+2上，故③选项正确；
∴当 时，代数式 bc的最大值为 故④选项正确；
故答案为： ②③④.
【分析】根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可.
14．【答案】①③⑤．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线抛物线的对称轴，所以，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
∵抛物线的对称轴是．且过点（，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），
当x=时，y=0，即，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴，即3b+2c＜0，故④错误；
∵x=﹣1时，函数值最大，
∴（m≠1），
∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；
故答案为①③⑤．
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴的交点这几个特征，来判定二次函数表达式中各系数的符号，同时还可以结合特殊点的函数值来解决相关问题.
15．【答案】44
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线经过点A(m-2，n)和点B(m+4，n)，
∴抛物线的对称轴为直线
又抛物线y=2x2+bx+c与直线y=-2只有一个公共点，
∴抛物线的顶点在直线y=-2上
∴，
即
∴n=2(m-2)2-4(m+1)(m-2)+2m2+4m=16
∴AM=BN=16
又∵A(m-2，n)，B(m+4，n)，
∴AB=(m+4)-(m-2)=6
∴四边形AMNB的周长为是：AM+MN+NB+BA=16+6+16+6=44
故答案为：44.
【分析】依据题意，抛物线y=2x2+bx+c与直线y=-2只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是-2，由A(m-2，n)和B(m+4，n)，可得抛物线的对称轴和AB的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形AMNB的周长.
16．【答案】
【知识点】解二元二次方程组；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得a≠0，且x1≠﹣y1时，
，
∴①﹣②化简得，
，代入①整理可得：，
∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，
∴关于x1的一元二次方程必有实数根，
又∵，
∴当Δ＝0时，即8a﹣3＝0时，．
∴
，
∴x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；
∴必有Δ＝﹣3+8a＞0．
∴．
故答案为：．
【分析】依据题意得a≠0，且x1≠﹣y1时，可得，当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，可得x1+y1＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；故必有Δ＝﹣3+8a＞0，即可解得答案．
17．【答案】（1）33150元
（2）①；
②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
当甲公司的利润大于乙公司时，
解得：，
，
当时，利润差最大，为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，，
即，
，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，利润差最大，为33150元；
综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则由（2）可知利润差为，
对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
，
解得．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得：（元）；
故答案为33150；
（2）解：①由题意得：，
故答案为；
【分析】（1） 梳理题干给出的数量关系，提取已知数据，直接列出算式，计算得到答案 ；
（2）① 读懂题意，把文字描述转化为数学式子，列出对应代数式或者方程 ；②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，则，然后可分当甲公司的利润大于乙公司时， 乙公司利润大于甲公司，对每种情况分别列式运算，得到对应结果 ；
（3）由（2）可知利润差为，则有对称轴为直线，题目限定自变量x只能取整数，并且当两家公司都租出 16 辆汽车时，月利润之差取得最大值，据此对对称轴的位置进行分析，列出不等式，解出参数的取值或者具体数值．
（1）解：由题意得：（元）；
故答案为33150；
（2）解：①由题意得：，
故答案为；
②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
当甲公司的利润大于乙公司时，
解得：，
，
当时，利润差最大，为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，，
即，
，
该函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，利润差最大，为33150元；
综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则由（2）可知利润差为，
对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
，
解得．
18．【答案】（1）
（2）解： 设抛物线解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴．

（3）解： ∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴，
∵，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大．
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】 如图1，作交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵、B为二次函数与x轴的交点，
∴、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）作交于点D，则，得到，由二次函数的性质可得，即可得出点B的坐标，
（2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标
（3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案．
（1）如图1，作交于点D，
∵，
∴，
∴，
∵、B为二次函数与x轴的交点，
∴、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
（2）设抛物线解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴．
（3）∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴，
∵，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大．
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大．
19．【答案】（1）解：令 ，代入直线解析式可得C点坐标（0，3），令y＝0，代入直线解析式可得B点坐标（3，0），
将点B，C代入抛物线得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式 ；
（2）解：如图，
∵ ， ，
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
根据圆周角定理可得： ；
（3）解：存在点P使 为等腰三角形；
理由如下：如图，
由（1）可知抛物线 ，
∴抛物线对称轴 ，顶点D坐标（1，4），
设P点坐标为（1，m），
∴ ，
，
，
①当 时， ，解得 ；
②当 时， ，解得 ， ；
③当 时， ，解得 ， ；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1， ）、（1， ）时， 为等腰三角形.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；线段上的两点间的距离；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直线求得点B与点C坐标，再由待定系数法求解抛物线解析式；
（2）由题意易得△OBC是等腰直角三角形，再由圆周角定理可求解；
（3）由直角坐标系内两点间距离公式，分三种情况：①当PC=PD时，可得关于m的方程，解方程可求解；②当PC=CD时，可得关于m的方程，解方程可求解；③当PD=CD时，可得关于m的方程，解方程可求解；讨论求解．
20．【答案】（1）33150
（2）解： ①-50x2+5300x
②设两个公司的月利润分别为 ，，
则，
令y=y甲-y乙==
，
当y=0时，则=0，
解得x1=-1，x2=37，
∵x的取值范围是0≤x≤50（x是整数），二次函数y的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当0≤x≤37时，y≥0，且当x=18时，
y取得最大值是-50×182+1800×18+1850=18050，此时甲乙利润差是18050元；
当37综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴.
解得：.
（如果计算结果为也可以）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，当乙公司租车的汽车为10辆时，该公司的月利润是10×3500-1850=33150（元），
故填：33150.
（2）① 甲公司租出x辆汽车时，每辆汽车月租费是3000+50(50-x)=5500-50x（元），
甲公司月租车费=（5500-50x）x，
月维护费=200x，
月利润=（5500-50x）x-200x=-50x2+5300x（元）.
故填：-50x2+5300x.
【分析】（1）由题意可得，公司的月利润=月租车费用-月维护费用，租出的汽车为10辆，那么月租车费用是“10×3500”， 月维护费用是1850元，代入计算即可；
（2）①根据“ 如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车”可得，当甲公司租出汽车x辆时，减少了（50-x）辆，那么每辆汽车月租费就增加了50（50-x）元，即每辆汽车月租费就是3000+50(50-x)元，再表示出月租车费和月维护费，代入 月利润=月租车费-月维护费，即可解答；
②由①可得甲公司月利润，由题意可得乙公司月利润，构建一个新的函数令y=y甲-y乙，令y=0，确定y≥0时的x取值范围，y<0时的x取值范围，分别求出最值得出利润差，再作比较即可；
（3）由“ 如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润 ”可用（2）题中“y甲-y乙”的函数，在此函数基础上减去ax，就是新的利润差函数，再根据“ 当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大 ”确定新的利润差函数的对称轴的取值范围，从而求出a的取值范围.
21．【答案】（1）解：是M函数．理由如下：
当时，；当时，或3，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3．
故是M函数．
（2）解：当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是M函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（3）解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据M函数的定义，求出抛物线与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出抛物线与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（3）分三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图象可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
22．【答案】解：任务1：顶点 (6， 18)
经
任务2：
∴ y=0 x1=0 x2=36
∴ 水平距离为36m
任务3： 设
经 A (42， 0) 代入 C=14
经
∴ 14≤C≤18
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务1： 设顶点式，将(0，0)代入可得a的值，即得解析式；
任务2：由x=3t，由此可得y与x的函数关系式，令y=0得x的值，即得火箭飞行的水平距离；
任务3：PQ=C，知，将(42，0)代入可得C的值，即可得C的范围.
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