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《相似三角形》精选期中压轴题—浙教版数学九上复习
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交的延长线于一点，如图所示；
∵，
∴
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，，
则，
∵已知的值，
∴可以求出的值．
故选：A．
【分析】
先延长，交的延长线于点，结合平行线的性质，和是的中点，就可以证明。再结合已知条件，可以进一步证明。接下来，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质，可以推导出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例得到，整理后即可得到，由此即可得出最终答案.
2．图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，
设上升的高度为h，
过点B作于点F，过作于点E，于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵于点B，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
【分析】
将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得．
3．如图，在△ABC中，P是边AC的中点.按下列步骤尺规作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB 于点D，交线段BC于点E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AB于点Q. 嘉嘉： 淇淇： △APQ与△ABC的相似比为1： 2.对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是 (　　)
A．嘉嘉和淇淇都正确 B．嘉嘉正确，淇淇错误
C．嘉嘉错误，淇淇正确 D．嘉嘉和淇淇都错误
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图过程可得，∠APQ=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△APQ~△ABC
∴，即，故嘉嘉说法错误；
∴△APQ与△ABC的对应边之比为，其值大小不确定，故淇淇说法错误；
故答案为：D .
【分析】由作图过程可得∠APQ=∠B，得出△APQ~△ABC，从而证明判定嘉嘉说法错误；再根据对应边之比是，其值大小不确定确定淇淇说法错误即可.
4．顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作的平分线交于点P，
由题意中的函数图象得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴点P运动的路程是．
故选：B．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，同时涉及等腰三角形的判定相关内容。作的平分线，让这条角平分线与相交于点P，第一步先推导证明可以得到，之后再证明，最后利用相似三角形的性质，可完成这道题的求解。
二、填空题
5．如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于　 　．
【答案】70
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：70．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质相关知识。首先，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可以得到，且，结合已知条件就能推出。
接下来，由平行线的内错角相等，可证得；根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得；相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比；同时BEF和ABF高，面积比等于底边长的比，因此可得。
最后，结合已知条件，分别计算得到，，因此，平行四边形的对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形，由此即可求出平行四边形的面积。
6．如图， 在平行四边形ABCD 中(顶点A， B， C， D 按逆时针方向排列)， AB⊥CH， AB=6，AD=5， CH=4， P 是边AB上的一动点， 点C 绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，则BH=　 　. 若点C'落在射线CA 上时， 则BP=　 　.
【答案】3；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
又∵CH⊥AB于点H，
∴，
如图，过点C’作A交BA延长线于点Q，
则
由旋转的性质得：PC'=PC，
设BP=x，则PA=6-x，C'Q=PH=3-x，AQ=PQ-PA=4-(6-x)=x-2，
即
解得：
即BP的长为
故答案为：3； .
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，然后根据勾股定理求出BH的长即可；先证 得PQ=CH =8， 设BP=x， 则PA=12-x， C'Q=PH =6-x， AQ=PQ-PA=8-(12-x)=x-4，再证 得 即可解决问题；
7．如图，在△中，点是边上一点，将△沿翻折得到△，与交于点，设，．
（1）当，，时，的长是　 　；
（2）当，与的面积之比是，则　 　．
【答案】5；
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（1）当，，时，如图，
得，，，
设，则，
由题意，得，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
故，
故答案为：5；
（2）当，与的面积之比是时，
，
，
又，，
，
由题意，知，
，
，
与的面积之比是，
与的相似比为，
，
，，
，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
（1）先由折叠知BE＝AE＝8，DE＝AD，则可设AD＝a，则DE=a、DF＝8-a，由于，可在中应用勾股定理即可得关于a的方程并求解即可；
（2）由等边对等角结合等角的补角相等可得，再由翻折全等知，则可利用AA证明，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，此时再利用相似结合线段的和差关系可依次得AD＝2y、AB＝4y、BD＝2（x-2y）、BF＝3y，再由已知BD＝BF可得关于x、y的一元二次方程并化简即可．
8．数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为　 　．
【答案】40
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∴，
根据题意得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交的延长线于点K，过点 M作，如图所示：
同理得：，
∴，
∴，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
面积为：，
故答案为：40．
【分析】
根据题目的条件，设，之后先通过相似三角形的判定定理证得，再根据相似三角形的性质得到对应边成比例。接下来通过全等三角形的判定定理，分别证得和，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合正切的定义得到，最后结合图形的边长关系即可计算求出结果.
9．如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点H，
∵，
∴设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
延长与，使二者交于点H。根据题目给出的线段比例关系，设，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可以得到。由平行线的性质可推出，根据相似三角形对应边成比例，可得。
之后再次利用的平行关系，可以推出，同样根据相似三角形的性质得到，最后结合以上比例关系即可推导出的结果.
10．如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】由对称的性质可得，，由平行四边形对白能互相平行且相等的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，通过， 证明，根据相似三角形对应边的性质，得出BG的值，设，则，求出，再由计算即可得解．
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、BC的中点，连结BF分别交AC、CE于点G、H.连结AH.则下列结论中：①BE2=EH·EC；②AH平分∠EHF；③BH：GH：FG=7：4：6；④= .正确的有　 　.(只写序号)
【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠FAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，AD∥BC，
又∵点E和F是AB、AD的中点，
∴AE=BE=AF=，
∴△BAF≌△CBE，
∴∠ECB=∠ABF，
∴∠ABF+∠CBF=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠BHC=90°=∠ABC，
又∵∠BEC=∠HEB，
∴△EBH∽△ECB，
∴，即 BE2=EH·EC，故①正确；
又∵AE=BE，
∴，
又∵∠AEH=∠CEA，
∴△EAH∽△ECA，
∴∠EAH=∠ECA，
∴∠AHE=∠HAC+∠ACH=∠HAC+∠EAH=∠BAC=45°，
又∵∠EHG=90°，
∴∠EHA=∠AHG=45°，故②正确；
设BE=AE=AF=a，则BC=2a，在 中，由勾股定理得：CE=
由三角形面积公式得： BE·BC，
：4：5，
故结论③不正确；
设△AEH的面积为S，
∵，
∴CH=4EH，
∴S△AHC=4S△AHE=4S，
又∵，
∴S△AHG=S△AHC=S，S△CHG=S△AHC=S，
∴S四边形AEHG=S△AHG+S△AHE=S+S=S，
∴，故④正确；
故答案为：①②④ .
【分析】先根据正方形的性质得到△BAF≌△CBE，进而得到BHC=90°，然后根据两角对应相等得到△EBH∽△ECB，根据对应边成比例判断①；然后根据两边成比例且夹角相等得到△EAH∽△ECA，即可得到∠EAH=∠ECA，然后根据三角形的外角得到∠AHE的度数判断②；设BE=AE=AF=a，则BC=2a，由勾股定理得 由三角形面积公式得B证明 和 相似，利用相似三角形性质得 进而得 由此得BH：GH：FG=6：4：5，据此可对结论③进行判断；；再根据同高的两个三角形的面积比等于底的比计算出比值判断④解答即可.
三、解答题
12．如图，在中，，为上的点，过作，过作，，交于点，已知，．
（1）证明：；
（2）若，请求出的长；
（3）连结，记，与面积的差为．若存在实数，，（其中），当或时，的值都为．求实数的取值范围．
【答案】解：（1），，，
，，
，
；
（2）如图，过点作于，
则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即，
解得，
则；
（3），，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，即，
解得，
则，
，，
的取值范围是．
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；尺规作图-作三角形；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据题目中的已知条件，可得知，，再根据相似三角形的判定即可解答；
（2）通过作辅助线，首先作， 则有， 可得到四边形是矩形，即可得，，根据第一问的结论，可得，可求得，根据可得答案；
（3）根据第二问的相似三角形可得，可求得，再根据DEBC，证，进而得，据此求得，；最后根据二次函数的性质可得的取值范围．
13．如图，已知正方形的边长为，点 是射线上一点（点不与点、重合）过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，如果，，求的正切值；
（3）当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数解析式．
【答案】（1）证明：
正方形，
，，
，
，
，
在△ABE和△ADF中
，

（2）解：
，，
，，
，，
，
，
设则FC=12+x
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或 ；
所以∠BAE的正切值是
（3）解：如图2，由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出AB=AD，∠B=∠ADC=90°=∠ADF，根据同角的与角相等得∠BAE=∠DAF，利用两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等即可得△ABE≌△ADF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出，、求出DN=2，AN=10，根据平行线分线段成比例得出，进而求得BE=4或BE=6，再根据锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=45°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△MAN∽△MFA，根据相似三角形的对应角相等得出∠ANE=∠MAF，同样得出△ANE∽△MAF，根据相似三角形的对应边之比相等得出，由（1）得AE=AF，BE=x，再根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方得出即可．
14．
（1）【基础巩固】
如图1， 在△ABC中， AB=AC， BC=CD， 求证： BC2=BD·AB
（2）【尝试应用】
如图2， 在△AEC中， ∠E=90°， D为AE边上一点， 若∠A=2∠ECD， ED·AC=5， 求CD.
（3）【拓展提高】
如图3， 四边形ABCD中， CD∥AB， AD⊥AB， AD=DC=2， tanB=2， 点F是边 DA延长线上一点， 连接CF交边AB于点M， 过点C作∠FCE=∠B 交射线BA于点E， 设AM=x， AE=y， 求y关于x的函数关系式.
【答案】（1）证明：
（2）解：如图， 延长AE， 使EF=DE，连接CF，根 据等腰三角形的性质， CE.
同理(1)可得=10.

（3）解：过点C作BE的垂线，垂足为G.易知四边形ADCG为正方形，则AG=CG=2.
由 G=3.
同理(1)可得 在 中，
整理得：
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先由两角相等证明， 然后由相似三角形对应边成比例即可得出结论.
(2)通过构造等腰 ，再由两角相等证明， 得到AC=AF，即可由(1)的结论求出CD.
(3)通过辅助线CG由求出BG的长度，然后由两角相等证明再结合相似三角形对应边成比例和勾股定理得出关于x和y的等式，整理即可求出答案.
15．综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
16． 数学课本126页第5题是这样的：“如图1， 在△ABC中， D 是 BC上一点， EG∥BC， 分别交AB， AD， AC 于点 E， F， G， 求证： AE： AF： AG=BE： DF： CG.”缪老师批改学生作业后，将所求证内容改为“EF： BD=FG： DC.”
（1）请证明缪老师提出的结论是正确的；
（2） 如图2， 已知在菱形ABCD中， AD=12， O是BC上一点， 连结AO， BD 交于T， 点S在AT上，连结SB，SD，过S作PQ∥BD，交AB于P，交AD于Q，且△BPS∽△SQD，相似比是 求BO的长.
（3） 如图3， 点E， H在AB上， AH=HE=EB， DM∥AC， 且DM与BC， CE， CH分别交于点D，N， M， 求ND： NM的值.
【答案】（1）证明：∵EG//BC，
∴△AEF~△ABD， △AFG~△ADC，
∴，
∴EF：BD=FG：DC；
（2）解：∵△BPS~△SQD，相似比是
∴，∠BPS=∠SQD，∠DSQ=∠PBS，
∵∠BSQ=∠DSQ+∠BSD=∠BPS+∠PBS
∴∠BPS=∠DSB=∠SQD，
∵PQ//BD，
∴∠QSD=∠SDB，
∴△SQD~△DSB~△BPS，
∴
设， 则PB=2a，
∵
∴
∴
由(1)可知，
∵AD//BO，
∴△BOT~△DAT，
∴
∵AD=12，
∴BO=9
（3）解：如图，过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，
则
设AC=6a，
∵DM//AC，
∴HF//AC，
∴△BHF~△BAC，△EHG~△EAC，
∴，，
∴HF=4a，HG=3a，
∴FG=HF-HG=a，
∴ND：NM=FG：HG=1：3
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)易得△AEF~△ABD，△AFG~△ADC，利用AF：AD这组公共边即可得证；
(2)易证△SQD~△DSB~△BPS，可得，根据(1)得，，再证△BOT~△DAT ，即可得解；
(3)过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，易，，则得ND：NM=FG：HG=1：3.
17．
（1）【基础巩固】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，求证：
（2）【尝试应用】
如图2，在矩形ABCD中，AD＝2，点F在AB上，FB＝2AF， DF⊥AC于点E，求DE的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE和△DFE关于直线DE对称．点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE的长．
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠ACD=∠B
∴△ACD~△ABC
∴
∴
（2）解：∵ABCD为矩形
∴∠ADC=90°
∴∠ADF+∠CDE=90°
∵DF⊥AC
∴∠DCE+∠CDE=90°
∴∠ACD=∠ADF
∴△ACD~△FDA
∴
设AF=x，则BF=2x，CD=3x，于是，解得x=
DF=
而∵DC||AF
∴
∴DE=
（3）解：∵△DEC≌△DEF
∴∠DFE=∠DCE=90°
∵CG||EF
∴∠DMC=90°
∴∠CDM+∠DCM=90°
又∵∠CDM+∠ADF=90°
∴∠DCM=∠ADF
∴△ADF~△DCG
∴
设CD=m，则DF=m，CG=于是有，解得m2=
于是AF2=，
又△DGM~△DFA，得，有，得GM=
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由∠ACD+∠BCD=90°、∠BCD+∠B=90°得∠ACD=∠B，得△ACD~△ABC，由相似比例即得结论；
(2)由(1)理知△ACD~△FDA，设AF=x，则BF=2x，CD=3x，代入比例即得x的值，由勾股定理得DF的长，再结合DC||AF得，即可得DE的长；
(3)由折叠和平行知∠DFE=∠DMC=90°，由此得△ADF~△DCG，设CD=m，则DF=m，代入比例中可得m2，由此得AF2，由△DGM~△DFA得相似比例，代入数据即可得GM的长.
18．在ABC中，，将绕点逆时针旋转得到．
（1）如图，当点恰好落在的平行线上时，连接，取的中点，连接．
①求证：是等腰直角三角形；
②请直接写出，与的数量关系▲．
（2）如图，若．
①当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长；
②当所在直线经过中点，且与的平行线交于点时，请在图中补全图形，求的面积．
【答案】（1）解：①证明：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形；
②
（2）解：①∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵为中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴ ，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：②由旋转可得，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：；
【分析】（）①由旋转的性质得，，由平行线的性质得，进而得到，即可得到结论；
②由旋转可得，，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，再根据直角三角形斜边中线性质得，即可得到结论；
（）①由勾股定理求出AC长，再根据直角三角形的斜边中线性质得到得，然后推理得到，根据对应边成比例求出，进而根据线段的和差解答；
②连接，即可得到，进而得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，再根据平行可得，即可得到，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解．
1 / 1《相似三角形》精选期中压轴题—浙教版数学九上复习
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（　　）
A． B． C． D．
2．图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，P是边AC的中点.按下列步骤尺规作图：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段AB 于点D，交线段BC于点E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AB于点Q. 嘉嘉： 淇淇： △APQ与△ABC的相似比为1： 2.对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是 (　　)
A．嘉嘉和淇淇都正确 B．嘉嘉正确，淇淇错误
C．嘉嘉错误，淇淇正确 D．嘉嘉和淇淇都错误
4．顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于　 　．
6．如图， 在平行四边形ABCD 中(顶点A， B， C， D 按逆时针方向排列)， AB⊥CH， AB=6，AD=5， CH=4， P 是边AB上的一动点， 点C 绕点P按逆时针方向旋转90°得点C'，则BH=　 　. 若点C'落在射线CA 上时， 则BP=　 　.
7．如图，在△中，点是边上一点，将△沿翻折得到△，与交于点，设，．
（1）当，，时，的长是　 　；
（2）当，与的面积之比是，则　 　．
8．数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为　 　．
9．如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于　 　．
10．如图，点E，F分别在的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则　 　，　 　．
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、BC的中点，连结BF分别交AC、CE于点G、H.连结AH.则下列结论中：①BE2=EH·EC；②AH平分∠EHF；③BH：GH：FG=7：4：6；④= .正确的有　 　.(只写序号)
三、解答题
12．如图，在中，，为上的点，过作，过作，，交于点，已知，．
（1）证明：；
（2）若，请求出的长；
（3）连结，记，与面积的差为．若存在实数，，（其中），当或时，的值都为．求实数的取值范围．
13．如图，已知正方形的边长为，点 是射线上一点（点不与点、重合）过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，如果，，求的正切值；
（3）当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数解析式．
14．
（1）【基础巩固】
如图1， 在△ABC中， AB=AC， BC=CD， 求证： BC2=BD·AB
（2）【尝试应用】
如图2， 在△AEC中， ∠E=90°， D为AE边上一点， 若∠A=2∠ECD， ED·AC=5， 求CD.
（3）【拓展提高】
如图3， 四边形ABCD中， CD∥AB， AD⊥AB， AD=DC=2， tanB=2， 点F是边 DA延长线上一点， 连接CF交边AB于点M， 过点C作∠FCE=∠B 交射线BA于点E， 设AM=x， AE=y， 求y关于x的函数关系式.
15．综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
16． 数学课本126页第5题是这样的：“如图1， 在△ABC中， D 是 BC上一点， EG∥BC， 分别交AB， AD， AC 于点 E， F， G， 求证： AE： AF： AG=BE： DF： CG.”缪老师批改学生作业后，将所求证内容改为“EF： BD=FG： DC.”
（1）请证明缪老师提出的结论是正确的；
（2） 如图2， 已知在菱形ABCD中， AD=12， O是BC上一点， 连结AO， BD 交于T， 点S在AT上，连结SB，SD，过S作PQ∥BD，交AB于P，交AD于Q，且△BPS∽△SQD，相似比是 求BO的长.
（3） 如图3， 点E， H在AB上， AH=HE=EB， DM∥AC， 且DM与BC， CE， CH分别交于点D，N， M， 求ND： NM的值.
17．
（1）【基础巩固】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，求证：
（2）【尝试应用】
如图2，在矩形ABCD中，AD＝2，点F在AB上，FB＝2AF， DF⊥AC于点E，求DE的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE和△DFE关于直线DE对称．点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE的长．
18．在ABC中，，将绕点逆时针旋转得到．
（1）如图，当点恰好落在的平行线上时，连接，取的中点，连接．
①求证：是等腰直角三角形；
②请直接写出，与的数量关系▲．
（2）如图，若．
①当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长；
②当所在直线经过中点，且与的平行线交于点时，请在图中补全图形，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交的延长线于一点，如图所示；
∵，
∴
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，，
则，
∵已知的值，
∴可以求出的值．
故选：A．
【分析】
先延长，交的延长线于点，结合平行线的性质，和是的中点，就可以证明。再结合已知条件，可以进一步证明。接下来，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质，可以推导出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例得到，整理后即可得到，由此即可得出最终答案.
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，
设上升的高度为h，
过点B作于点F，过作于点E，于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵于点B，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
【分析】
将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得．
3．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图过程可得，∠APQ=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△APQ~△ABC
∴，即，故嘉嘉说法错误；
∴△APQ与△ABC的对应边之比为，其值大小不确定，故淇淇说法错误；
故答案为：D .
【分析】由作图过程可得∠APQ=∠B，得出△APQ~△ABC，从而证明判定嘉嘉说法错误；再根据对应边之比是，其值大小不确定确定淇淇说法错误即可.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作的平分线交于点P，
由题意中的函数图象得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴点P运动的路程是．
故选：B．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，同时涉及等腰三角形的判定相关内容。作的平分线，让这条角平分线与相交于点P，第一步先推导证明可以得到，之后再证明，最后利用相似三角形的性质，可完成这道题的求解。
5．【答案】70
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：70．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质相关知识。首先，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可以得到，且，结合已知条件就能推出。
接下来，由平行线的内错角相等，可证得；根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得；相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比；同时BEF和ABF高，面积比等于底边长的比，因此可得。
最后，结合已知条件，分别计算得到，，因此，平行四边形的对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形，由此即可求出平行四边形的面积。
6．【答案】3；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
又∵CH⊥AB于点H，
∴，
如图，过点C’作A交BA延长线于点Q，
则
由旋转的性质得：PC'=PC，
设BP=x，则PA=6-x，C'Q=PH=3-x，AQ=PQ-PA=4-(6-x)=x-2，
即
解得：
即BP的长为
故答案为：3； .
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，然后根据勾股定理求出BH的长即可；先证 得PQ=CH =8， 设BP=x， 则PA=12-x， C'Q=PH =6-x， AQ=PQ-PA=8-(12-x)=x-4，再证 得 即可解决问题；
7．【答案】5；
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（1）当，，时，如图，
得，，，
设，则，
由题意，得，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得：，
故，
故答案为：5；
（2）当，与的面积之比是时，
，
，
又，，
，
由题意，知，
，
，
与的面积之比是，
与的相似比为，
，
，，
，，，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
（1）先由折叠知BE＝AE＝8，DE＝AD，则可设AD＝a，则DE=a、DF＝8-a，由于，可在中应用勾股定理即可得关于a的方程并求解即可；
（2）由等边对等角结合等角的补角相等可得，再由翻折全等知，则可利用AA证明，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，此时再利用相似结合线段的和差关系可依次得AD＝2y、AB＝4y、BD＝2（x-2y）、BF＝3y，再由已知BD＝BF可得关于x、y的一元二次方程并化简即可．
8．【答案】40
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∴，
根据题意得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交的延长线于点K，过点 M作，如图所示：
同理得：，
∴，
∴，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
面积为：，
故答案为：40．
【分析】
根据题目的条件，设，之后先通过相似三角形的判定定理证得，再根据相似三角形的性质得到对应边成比例。接下来通过全等三角形的判定定理，分别证得和，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合正切的定义得到，最后结合图形的边长关系即可计算求出结果.
9．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点H，
∵，
∴设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
延长与，使二者交于点H。根据题目给出的线段比例关系，设，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可以得到。由平行线的性质可推出，根据相似三角形对应边成比例，可得。
之后再次利用的平行关系，可以推出，同样根据相似三角形的性质得到，最后结合以上比例关系即可推导出的结果.
10．【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】由对称的性质可得，，由平行四边形对白能互相平行且相等的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，通过， 证明，根据相似三角形对应边的性质，得出BG的值，设，则，求出，再由计算即可得解．
11．【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠FAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，AD∥BC，
又∵点E和F是AB、AD的中点，
∴AE=BE=AF=，
∴△BAF≌△CBE，
∴∠ECB=∠ABF，
∴∠ABF+∠CBF=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠BHC=90°=∠ABC，
又∵∠BEC=∠HEB，
∴△EBH∽△ECB，
∴，即 BE2=EH·EC，故①正确；
又∵AE=BE，
∴，
又∵∠AEH=∠CEA，
∴△EAH∽△ECA，
∴∠EAH=∠ECA，
∴∠AHE=∠HAC+∠ACH=∠HAC+∠EAH=∠BAC=45°，
又∵∠EHG=90°，
∴∠EHA=∠AHG=45°，故②正确；
设BE=AE=AF=a，则BC=2a，在 中，由勾股定理得：CE=
由三角形面积公式得： BE·BC，
：4：5，
故结论③不正确；
设△AEH的面积为S，
∵，
∴CH=4EH，
∴S△AHC=4S△AHE=4S，
又∵，
∴S△AHG=S△AHC=S，S△CHG=S△AHC=S，
∴S四边形AEHG=S△AHG+S△AHE=S+S=S，
∴，故④正确；
故答案为：①②④ .
【分析】先根据正方形的性质得到△BAF≌△CBE，进而得到BHC=90°，然后根据两角对应相等得到△EBH∽△ECB，根据对应边成比例判断①；然后根据两边成比例且夹角相等得到△EAH∽△ECA，即可得到∠EAH=∠ECA，然后根据三角形的外角得到∠AHE的度数判断②；设BE=AE=AF=a，则BC=2a，由勾股定理得 由三角形面积公式得B证明 和 相似，利用相似三角形性质得 进而得 由此得BH：GH：FG=6：4：5，据此可对结论③进行判断；；再根据同高的两个三角形的面积比等于底的比计算出比值判断④解答即可.
12．【答案】解：（1），，，
，，
，
；
（2）如图，过点作于，
则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即，
解得，
则；
（3），，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，即，
解得，
则，
，，
的取值范围是．
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；尺规作图-作三角形；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据题目中的已知条件，可得知，，再根据相似三角形的判定即可解答；
（2）通过作辅助线，首先作， 则有， 可得到四边形是矩形，即可得，，根据第一问的结论，可得，可求得，根据可得答案；
（3）根据第二问的相似三角形可得，可求得，再根据DEBC，证，进而得，据此求得，；最后根据二次函数的性质可得的取值范围．
13．【答案】（1）证明：
正方形，
，，
，
，
，
在△ABE和△ADF中
，

（2）解：
，，
，，
，，
，
，
设则FC=12+x
，
解得或，
经检验，，都是原方程的根，
或，
在中，
或 ；
所以∠BAE的正切值是
（3）解：如图2，由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出AB=AD，∠B=∠ADC=90°=∠ADF，根据同角的与角相等得∠BAE=∠DAF，利用两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等即可得△ABE≌△ADF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出，、求出DN=2，AN=10，根据平行线分线段成比例得出，进而求得BE=4或BE=6，再根据锐角三角函数的定义即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=45°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△MAN∽△MFA，根据相似三角形的对应角相等得出∠ANE=∠MAF，同样得出△ANE∽△MAF，根据相似三角形的对应边之比相等得出，由（1）得AE=AF，BE=x，再根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方得出即可．
14．【答案】（1）证明：
（2）解：如图， 延长AE， 使EF=DE，连接CF，根 据等腰三角形的性质， CE.
同理(1)可得=10.

（3）解：过点C作BE的垂线，垂足为G.易知四边形ADCG为正方形，则AG=CG=2.
由 G=3.
同理(1)可得 在 中，
整理得：
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先由两角相等证明， 然后由相似三角形对应边成比例即可得出结论.
(2)通过构造等腰 ，再由两角相等证明， 得到AC=AF，即可由(1)的结论求出CD.
(3)通过辅助线CG由求出BG的长度，然后由两角相等证明再结合相似三角形对应边成比例和勾股定理得出关于x和y的等式，整理即可求出答案.
15．【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
16．【答案】（1）证明：∵EG//BC，
∴△AEF~△ABD， △AFG~△ADC，
∴，
∴EF：BD=FG：DC；
（2）解：∵△BPS~△SQD，相似比是
∴，∠BPS=∠SQD，∠DSQ=∠PBS，
∵∠BSQ=∠DSQ+∠BSD=∠BPS+∠PBS
∴∠BPS=∠DSB=∠SQD，
∵PQ//BD，
∴∠QSD=∠SDB，
∴△SQD~△DSB~△BPS，
∴
设， 则PB=2a，
∵
∴
∴
由(1)可知，
∵AD//BO，
∴△BOT~△DAT，
∴
∵AD=12，
∴BO=9
（3）解：如图，过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，
则
设AC=6a，
∵DM//AC，
∴HF//AC，
∴△BHF~△BAC，△EHG~△EAC，
∴，，
∴HF=4a，HG=3a，
∴FG=HF-HG=a，
∴ND：NM=FG：HG=1：3
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)易得△AEF~△ABD，△AFG~△ADC，利用AF：AD这组公共边即可得证；
(2)易证△SQD~△DSB~△BPS，可得，根据(1)得，，再证△BOT~△DAT ，即可得解；
(3)过H作HF//AC交EC于点G，交BC于点F，易，，则得ND：NM=FG：HG=1：3.
17．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B=90°
∴∠ACD=∠B
∴△ACD~△ABC
∴
∴
（2）解：∵ABCD为矩形
∴∠ADC=90°
∴∠ADF+∠CDE=90°
∵DF⊥AC
∴∠DCE+∠CDE=90°
∴∠ACD=∠ADF
∴△ACD~△FDA
∴
设AF=x，则BF=2x，CD=3x，于是，解得x=
DF=
而∵DC||AF
∴
∴DE=
（3）解：∵△DEC≌△DEF
∴∠DFE=∠DCE=90°
∵CG||EF
∴∠DMC=90°
∴∠CDM+∠DCM=90°
又∵∠CDM+∠ADF=90°
∴∠DCM=∠ADF
∴△ADF~△DCG
∴
设CD=m，则DF=m，CG=于是有，解得m2=
于是AF2=，
又△DGM~△DFA，得，有，得GM=
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由∠ACD+∠BCD=90°、∠BCD+∠B=90°得∠ACD=∠B，得△ACD~△ABC，由相似比例即得结论；
(2)由(1)理知△ACD~△FDA，设AF=x，则BF=2x，CD=3x，代入比例即得x的值，由勾股定理得DF的长，再结合DC||AF得，即可得DE的长；
(3)由折叠和平行知∠DFE=∠DMC=90°，由此得△ADF~△DCG，设CD=m，则DF=m，代入比例中可得m2，由此得AF2，由△DGM~△DFA得相似比例，代入数据即可得GM的长.
18．【答案】（1）解：①证明：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等腰直角三角形；
②
（2）解：①∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵为中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴ ，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：②由旋转可得，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：；
【分析】（）①由旋转的性质得，，由平行线的性质得，进而得到，即可得到结论；
②由旋转可得，，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，再根据直角三角形斜边中线性质得，即可得到结论；
（）①由勾股定理求出AC长，再根据直角三角形的斜边中线性质得到得，然后推理得到，根据对应边成比例求出，进而根据线段的和差解答；
②连接，即可得到，进而得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，再根据平行可得，即可得到，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解．
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