资源简介

专题三 三角形重难题型（3）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型十二 垂直平分线的性质与判定
1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
2．通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 边 BC 的垂直平分线EF交AB 于点D， 连结CD，如果CD=6， 那么AB的长为　 　.
4．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝　 　 °．
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点.
（1）求证：BE=AC；
（2）若∠B=32°，求∠BAC的度数.
6．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点D， E分别是AB， BC上的点， 连接DE.
（1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则 是　 　三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
（2）【能力巩固】如图2， 连接AE， 若AE平分 ，求BE的长：
（3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4， BC=7， PA=1， 求线段DE的长。
二、题型十三 角平分线的性质与判定
7．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点 E.点 F是射线AB上任意一点，则下列关系成立的是（　　）
A．PE=PF B．PEPF D．PE≤PF
8． 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， 依据尺规作图痕迹， 给出结论：①∠CDE=∠CAB； 结论②AB+EC=AC. 下列判断正确的是(　　).
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
9．如图，在中，平分，若的面积为12，则的面积为　 　．
10．下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程.
已知：如图1，∠AOB.
求作：射线 OC，使得OC 平分∠AOB.
作法：如图2，
①在射线OA 上取点M，使OM=3c m；
②作∠AMN=∠AOB；
③以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C.
所以射线OC 就是所求的角平分线.
根据小帅的作图过程，
（1）求证：射线 OC 是∠AOB 的平分线；
（2）若点C到射线OB的距离为 2cm ，求的面积.
11．爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
如图1，在中，，若平分，则有．
对此结论，小华同学的证法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，因为是的角平分钱，且，，
所以______________，
因为，
所以
因为，∴，
所以
所以
【尝试探究】
（1）请将小华同学的证明过程补充完整．
【迁移应用】
（2）如图2，在中，，，，平分交于点，于点．求的长．
三、题型十四 全等三角形的动点问题
12．如图所示，在中，平分为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是(　　)
A． B． C． D．
13．如图，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使全等，则点Q的运动速度为（　　）
A． B．
C． D．
14．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当　 　秒时，与全等．
15． 如图，在等边△ABC中， AB=6， D为AB的中点， E， F分别是AC， BC边上的动点，且满足 CF=2AE， 以EF为边向左作等边△EFG.
（1）当AE=BF时， 则CF=　 　；
（2）连结DG、AG， 则AG+DG最小值为　 　.
16． 如图，AE与BD相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以2cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度单向运动，P、Q两点同时出发，当点P返回到点A时停止运动，Q点同时停止运动且正好停留在点E，设点P的运动时间为t(s).
（1） 求证：；
（2） 请用含t的式子表示线段PB；
（3） 连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.
17．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以
1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，
沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，CB=8cm，设运动时间为t，
（1）分别求出在此运动过程中，点D与点E的运动时长。
（2）当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值，
18．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
（1）如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等．
（3）在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
四、题型十五 全等三角形的综合问题
19．如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论： ①∠APB=135°；②PF=PA；
③AH+BD=AB④S△ABP=S△AEP+S△DBP其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
20．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②；③；④．则以上说法正确的是　 　．
21．
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
22．已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于．
（1）如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________；
（2）如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明；
（3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件．
五、题型十六 尺规作图问题
23．在△ABC中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
（1）作出AC边上的中线BD；
（2）作出△ABC的角平分线CE；
（3）作出△ABC的 BC上的高线AF.
24．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的高线．
（2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积．
（3）在图③中的找到一点，使．
25．为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉、淇淇两位同学分别设计出如下两种方案．
课题 测量水池两端、之间的距离
人员 嘉嘉 淇淇
步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，分别连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可．
测量示意图
（1）尺规作图：依据淇淇的步骤，在图中确定点的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）老师评价后指出其中一种方案不可行．
以上两位同学的方案可行的是_______（填“嘉嘉”或“淇淇”）的方案；
对中所选方案的可行性进行说理．
26．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）
27．为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示。为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P。要求点P到村庄A，B， C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】
依据线段垂直平分线的性质可知，利用这个等量关系，结合三角形的周长公式计算得到最终结果.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，A、D不符合题意；
由作图痕迹可得选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，B不符合题意；
由作图痕迹可得选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，
△ABD的面积和△ACD的面积相等，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，进而证得△ABD的面积和△ACD的面积相等.
3．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是边BC的垂直平分线，CD=6，
∴BD=CD=6，
∴∠DCB=∠B，
∵∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=6，
∴AB=AD+BD=12，
故答案为：12.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CD=BD=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，AD=CD=6，则AB=AD+DB便可求出.
4．【答案】90o
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵PM和QN分别垂直平分AB和AC
∴AP=PB，AQ=QC，
∴∠2=∠B，∠1=∠C，
∵∠B=20°，∠C=25°
∴∠3=180°-2(∠B+∠C)=90°
故答案为：90.
【分析】先由PM和QN分别垂直平分AB和AC，得出∠2=∠B，∠1=∠C，根据三角形内角和性质列式作答即可.
5．【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE=AC
（2）解：∵AE=BE
∴∠BAE=∠B=32°
∵∠AEC为△ABE的外角
∴∠AEC=∠B+∠BAE=32°+32°=64°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=64°
∵∠CAE=180°-∠AEC-∠C
∴∠CAE=180°-64°-64°=52°
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE
∴∠BAC=32°+52°=84°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)连接AE，由垂直平分线的性质知AE=BE，AE=AC，即得BE=AC；
(2)由AE=BE得∠BAE的度数，由外角的性质得∠AEC的度数，由此可得∠EAC的度数.
6．【答案】（1）直角
（2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CE.
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°
设BE=a，则DE=CE=8-a，
在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2
∴(8-a)2+42=a2，
解得，a=5，
即BE=5.
答：BE的长为5.
（3）解：如图，
连接PE，
∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA
∵EF是BD的垂直平分线
∴DE=EB，
∴∠B=∠EDB
∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90°
设DE=EB=x，则CE=7-x，
∵AC=4，PA=1
∴PC=3，PD=1
在Rt△PCE中，由勾股定理得，
PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2
在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2
∴32+(7-x)2=12+x2，
解得，
即
答：线段DE的长为
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)∵点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5
∴
∵DE2+BE2=32+42=25=BD2
∴△BDE是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】(1)先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
(2)先根据角平分线的性质得DE=CE，再设BE=a，最后利用勾股定理列方程求解即可；
(3)先求得∠PDE=90°，再根据勾股定理列方程求解即可.
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】 解：过点P作PG⊥AB于点G，如图所示，
∵AD平分∠BAC，PE⊥AC，PG⊥AB
∴PE=PG
在Rt△PGF中，PF≥PG，即PF≥PE.
故答案：D.
【分析】过点P作PG⊥AB于点G，由角平分线的性质知PE=PG，结合直角三角形斜边与直角边的关系可得线段的不等关系.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC
∵∠B=90°，
∴BD=DE，
∵DE⊥AC，∠B=90°
∴∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠CAB，故①正确；
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AB，
∴AC=AE+EC=AB+EC，故②正确，
故选：A.
【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD=DE，由∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°即可判断①；证明Rt△ABD≌Rt△AED(HL)即可判断②.
9．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，于，
是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：4.8．
【分析】 过作于，于，根据角平分线的性质得到两条垂线段相等，即，再结合三角形面积求出线段的长度，即可得到答案 ．
10．【答案】（1）证明：∵ ∠AMN=∠AOB ，
∴MN∥OB，
∴∠BOC=∠MCO，
而作图步骤中的“ 以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C”，
∴MO=MC，
∴∠MOC=∠MCO，
∴∠BOC=∠MOC，
∴ 射线 OC 是∠AOB 的平分线。
（2）解：∵ 射线 OC 是∠AOB 的平分线，
∴点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm，
的面积=cm2.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）依据“同位角相等、两直线平行”得出MN∥OB，然后依据“两直线平行、内错角相等”得出∠BOC=∠MCO；依据作图步骤得出MO=MC，从而根据“等边对等角”得出∠MOC=∠MCO，此时即可得出∠BOC=∠MOC，从而得出证明结果；
（2）依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得出“点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm”，然后以OM为底，计算三角形面积即可。
11．【答案】解：（1）DE；DF；
（2）中，，，
．
平分，
．
设，，
，
，
∴，
，
，
，
中，，
，
．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：（1）如图，
是的角平分钱，且，，
，
故填：DE；DF；
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，即可得出答案；
（2）先利用勾股定理求出=5，再根据题意得出，求出，利用等积法得出，求出，由勾股定理解得出，利用，即可得出答案．
12．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】在 BC 上截取 BE = BQ，连结PE，如图.
因为 BD 平分∠ABC，∠ABC =68°，
所以
因为 BP=BP，
所以△PBQ≌△PBE(SAS)，
所以PE=PQ，
所以AP+PQ=AP+PE，
所以当A，P，E 在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ 的值最小.
过点 A 作 于点E'，交 BD 于点P'.
因为∠AE'B =90°，∠CBD =34°，
所以∠AE'B+∠CBD=124°.
故选 D.
【分析】在 BC 上截取BE=BQ，连结PE， 证 明 (SAS)，得出PE=PQ，说明AP+PQ=AP+PE，确 定 当A，P，E 在同一直线上，且AE ⊥ BC时，AP+PE的值 最 小，即AP+PQ的值最 小，进而求解.
13．【答案】D
【知识点】三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：当，时，，
、同时运动，运动的路程相等，
和运动的速度相同是；
当，时，，
，
运动的时间，
运动的速度是，
综上所述，运动的速度是或。
故选：D.
【分析】当，时，，得和运动的速度相同；当，时，，求出运动的时间，求出运动的速度是，即可得到答案.
14．【答案】4或或12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
；
①如图1，当点在上，点在上时，
由题意得，，，
，，
，，
当时，则，
即，
解得；
②如图2，当点与点重合时，则，此时满足，
∵，
，
解得；
③如图3，当点与重合时，
当时，则，
即，
解得；
综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等．
故答案为：4或或12．
【分析】由垂直的定义得出∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠CPE=∠FCQ；分类讨论：①当点Q在BC上，点P在AC上，根据路程、速度、时间三者的关系得AP=tcm，BQ=2tcm，则CP=(6-t)cm，CQ=(10-2t)cm，由全等三角形的对应边相等得出PC=CQ，据此建立方程，求解得出t的值；②当点P与点Q重合时，则CP=CQ，此时也满足△PEC≌△QFC，根据路程、速度、时间三者的关系得CQ=(2t-10)cm，从而建立方程，求解得出t的值；③当点Q与点A重合时，△PEC≌△CFQ，则PC=CQ，根据路程、速度、时间三者的关系得CP=(t-6)cm，从而建立方程，求解得出t的值，综上可得答案.
15．【答案】（1）4
（2）
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)设AE=BF=x，则CF=2AE=2x，
∵在等边△ABC中，AB=6，
∴CF+BF=BC=6
∴2x+x=6
解得x=2，
∴CF=2x=4，
故答案为：4.
(2)过点F作FJ⊥AC于J，则∠FJC=∠FJE=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠JFC=30°
∴
∴CF=2AE=AE+CJ，
∴EJ=FB，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GFE=60°，EF=FG，
∵∠GFB+∠GFE+∠EFC=180°，
∠EFC+∠C+∠FEC=180°，
∴∠GFB=∠FEC
∴△BGF≌△JFE(SAS)，
∴∠GBF=∠FJE=90°，
∴GB⊥BC，
∴点G的轨迹为垂直于BC的直线，
作点D关于BG的对称点N，连接AN，AN即为AG+DG的最小值.
连接DN交BG于I，过点A作AH⊥BC于H，延长ND交AH于M，
∵GB⊥BC，
∴NM⊥AH，
∴∠NMA=90°， NM//BH
∵△ABC为等边三角形，
∴，，
∵D是AB的中点，
∴DM是△ABH的中位线，
∴，，
∵GB⊥BC，AH⊥BC，
∴MI=BH=3，
∴
∴DN=3
∴
在Rt△ANM中，
故答案为：.
【分析】(1)由AE=BF可得CF=2BF，再由CF+BF=BC=6，即可求解；
(2)连接BG，过点F作FJ⊥AC于J，可得， 从而EJ=BF，可证是△BGF≌△JFE，可得GB⊥BC，从而点G的轨迹为垂直于BC的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出AG+DG的最小值.
16．【答案】（1）证明： 点P返回到点A用的时间为（8+8）÷2=8s，
DE=1×8=8（cm），
∴AB=DE，
∵，
∴∠A=∠E，
在△ACB和△ECD中，
∵，
∴ （AAS）.
（2）解：当0≤t≤4时，PB=8-2t，
当4＜t≤8时，PB=2t-8.
（3）解：∵，
∴BC=CD，
∵ 当线段PQ经过点C时，
∴∠PCB=∠QCD，
在△PCB和△QCD中，
∵，
∴ △PCB≌△QCD （ASA），
∴BP=QD，
当0≤t≤4时，8-2t=t，解得：t=，
当4＜t≤8时，2t-8=t，解得：t=8，
综上所述：t=或8.
【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先求出DE的长度，再根据平行线得出∠A=∠E，最后根据AAS即可得证；
（2）根据t的取值范围进行讨论即可；
（3）由（1）可知，进而可得BC=CD，再根据ASA证明△PCB≌△QCD ，从而得到BP=QD，再根据运动过程列方程即可.
17．【答案】（1）解：、，
，
点D的运动时长为，
点E的运动时长为：；
（2）解：，
，
，
，
，
在和中，
，，
要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明，
如下图所示
当在上，在上时，即，
，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，
，
；
如下图所示，
当在上，也在上时，即，
，
，
；
当到达，在上时，即，
，，
，
．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【分析】（1）求出，根据点、运动的速度求出它们运动的时间；
（2）根据同角的余角相等得到，根据点D和E的位置分为三种情况根据全等三角形的对应边相等列方程解答即可．
18．【答案】（1）解：全等，理由如下：
当时，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
，
，
，
∴，
线段与线段垂直．
（2）解：设点的运动速度，
∵的运动速度与的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，则只存在这种情况，
∴，，
∴，
解得，
∴当点的运动速度为时，能使与全等．
（3）解：，分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，
设运动时间为秒，
则，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由路程、速度、时间三者的关系得AP=BQ=4cm，则BP=AB-AP=12cm=AC，利用“SAS”证，由全等三角形的对应角相等得出，根据直角三角形两锐角互余、等量代换及平角的定义可推出∠CPQ=90°，从而根据垂直定义得出结论；
（2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的对应边相等得AC=BQ，AP=BP，据此建立方程组求解即可；
（3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可．
（1）解：全等，理由如下：
当时，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
，
，
，
∴，
线段与线段垂直．
（2）解：设点的运动速度，
∵的运动速度与的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，则只存在这种情况，
∴，，
∴，
解得，
∴当点的运动速度为时，能使与全等．
（3）解：，分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，
设运动时间为秒，
则，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
19．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵在中，、分别平分、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，故②正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．故③正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④．
20．【答案】①③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正确；
②只有当是的中线时，，故②错误；
③如图，作的平分线交于点，
由①得，
，，
，
，，，，
∴，，
，，
，故③正确；
④∵，，
∴，，
∴
∵，，
∴，故④正确．
综上所述：正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【分析】①根据三角形内角和定理，可以得到，结合平分，平分，可推出，，再结合三角形内角和定理，就能对该结论判断正误；②若是的中线，根据中线的性质可得，据此即可对结论进行判断；③作的平分线，交于点，可以得到，之后可以证明，，从而得到，，由此即可对结论进行判断；④结合第③问得到的全等和，再根据等高三角形的面积关系，就可以对该结论进行判断．
21．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
22．【答案】（1）
（2）解：CF=CG，
证明过程如下：
过点C作CM⊥OA交OA于点M，CN⊥OB交OB于点N，如图所示：
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，
∴∠MCN=360°-∠AOB-∠CMO-∠CNO=60°，
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠DCE=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
，
∴△MCF≌△NCG（AAS），
∴CF=CG.
（3）解：当∠DCE=180°-α时，（2）中得到的结论仍然成立，
理由：过点C作CM⊥OA交OA于点M，CN⊥OB交OB于点N，如图所示：
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，
∵∠AOB=α，
∴∠MCN=360°-∠AOB-∠CMO-∠CNO=180°-α，
∵∠DCE=180°-α，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
，
∴△MCF≌△NCG（AAS），
∴CF=CG，
∴当时，（2）中得到的结论仍然成立 .
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）∵平分，
∴∠DCO=∠ECO，
∵，，
∴∠CFO=∠CGO=90°，
在△COF和△COG中，
，
∴△COF≌△COG（AAS）
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据已知条件易证 △COF≌△COG，即可得出结论；
（2）过点C作于M，于N，可得∠AOC=∠BOC=60°，∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，进而可得∠MCF=∠NCG，即可证明得出结论；
（3）过点C作于M，于N，可得∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，证明即可得出结论
（1）解：∵平分，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
证明：过点C作于M，于N．
∵平分，
∴①，②，．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
即③
由①②③得．
∴；
（3）解：当，（2）中结论仍然成立，
证明：过点C作于M，于N．
∵平分，
∴①，②，
∵，
∴．
∴．
∴．
即③
由①②③得．
∴．
23．【答案】（1）解：BD即为所作；
；
（2）解：即为所求：
；
（3）解：即为所求.
．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）作出的垂直平分线，找到的中点D，连接即可；
（2）以C为圆心画圆弧交的两边于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画圆弧，连接C和两段圆弧的交点，交于E，即为所求；
（3）以A为圆心画圆弧，与的延长线交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于，延长这条直线，则其过A点，即为所求．
24．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示；
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义在网格中画出AD⊥BC于点D即可；
（2）根据使三角形面积平分的线是中线，根据中线的定义在网格中画出△ABC的中线AE即可；
（3）根据三角形全等的判定方法，在网格中画出BF=AC，CF=AB，画出△FCB即可.
（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示；
25．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
∴点即为所求.
（2）解：故答案为：嘉嘉.
嘉嘉同学方案可行，理由如下：
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴测量的距离即可．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：（2）解：∵嘉嘉的方案可以证明，
∴，而淇淇的方案无法证明，也就不能证明，
∴嘉嘉同学方案可行，
故答案为：嘉嘉.
【分析】（）根据尺规作图，作一个角等于已知角的方法作图即可.
（）嘉嘉的方案可以证明，即可得，而淇淇的方案无法证明，也就不能证明，即可判断嘉嘉同学方案可行.
根据，可证明即可得答案.
（1）解：如图，作即可，
∴点即为所求；
（2）解：∵嘉嘉的方案可以证明，即，而淇淇的方案无法证明，也就不能证明，
∴嘉嘉同学方案可行，
故答案为：嘉嘉；
嘉嘉同学方案可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴测量的距离即可．
26．【答案】解：如图所示.

【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作出的平分线OQ和线段CD的中垂线EF，射线OQ与直线EF的交点即为所得点P.
27．【答案】解：点P即为所求.
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知作线段BC与线段AB的垂直平分线，交点即为所求点.
1 / 1专题三 三角形重难题型（3）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型十二 垂直平分线的性质与判定
1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】
依据线段垂直平分线的性质可知，利用这个等量关系，结合三角形的周长公式计算得到最终结果.
2．通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，A、D不符合题意；
由作图痕迹可得选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等，B不符合题意；
由作图痕迹可得选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，
△ABD的面积和△ACD的面积相等，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可得选项A和D中的AD是角平分线，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项B作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AD=BD，无法证得△ABD的面积和△ACD的面积相等；选项C作的是垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD=CD，进而证得△ABD的面积和△ACD的面积相等.
3． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 边 BC 的垂直平分线EF交AB 于点D， 连结CD，如果CD=6， 那么AB的长为　 　.
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是边BC的垂直平分线，CD=6，
∴BD=CD=6，
∴∠DCB=∠B，
∵∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=6，
∴AB=AD+BD=12，
故答案为：12.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CD=BD=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，AD=CD=6，则AB=AD+DB便可求出.
4．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝　 　 °．
【答案】90o
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵PM和QN分别垂直平分AB和AC
∴AP=PB，AQ=QC，
∴∠2=∠B，∠1=∠C，
∵∠B=20°，∠C=25°
∴∠3=180°-2(∠B+∠C)=90°
故答案为：90.
【分析】先由PM和QN分别垂直平分AB和AC，得出∠2=∠B，∠1=∠C，根据三角形内角和性质列式作答即可.
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点.
（1）求证：BE=AC；
（2）若∠B=32°，求∠BAC的度数.
【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE=AC
（2）解：∵AE=BE
∴∠BAE=∠B=32°
∵∠AEC为△ABE的外角
∴∠AEC=∠B+∠BAE=32°+32°=64°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=64°
∵∠CAE=180°-∠AEC-∠C
∴∠CAE=180°-64°-64°=52°
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE
∴∠BAC=32°+52°=84°
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1)连接AE，由垂直平分线的性质知AE=BE，AE=AC，即得BE=AC；
(2)由AE=BE得∠BAE的度数，由外角的性质得∠AEC的度数，由此可得∠EAC的度数.
6．在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点D， E分别是AB， BC上的点， 连接DE.
（1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则 是　 　三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
（2）【能力巩固】如图2， 连接AE， 若AE平分 ，求BE的长：
（3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4， BC=7， PA=1， 求线段DE的长。
【答案】（1）直角
（2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CE.
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°
设BE=a，则DE=CE=8-a，
在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2
∴(8-a)2+42=a2，
解得，a=5，
即BE=5.
答：BE的长为5.
（3）解：如图，
连接PE，
∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA
∵EF是BD的垂直平分线
∴DE=EB，
∴∠B=∠EDB
∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90°
设DE=EB=x，则CE=7-x，
∵AC=4，PA=1
∴PC=3，PD=1
在Rt△PCE中，由勾股定理得，
PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2
在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2
∴32+(7-x)2=12+x2，
解得，
即
答：线段DE的长为
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)∵点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5
∴
∵DE2+BE2=32+42=25=BD2
∴△BDE是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】(1)先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
(2)先根据角平分线的性质得DE=CE，再设BE=a，最后利用勾股定理列方程求解即可；
(3)先求得∠PDE=90°，再根据勾股定理列方程求解即可.
二、题型十三 角平分线的性质与判定
7．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点 E.点 F是射线AB上任意一点，则下列关系成立的是（　　）
A．PE=PF B．PEPF D．PE≤PF
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】 解：过点P作PG⊥AB于点G，如图所示，
∵AD平分∠BAC，PE⊥AC，PG⊥AB
∴PE=PG
在Rt△PGF中，PF≥PG，即PF≥PE.
故答案：D.
【分析】过点P作PG⊥AB于点G，由角平分线的性质知PE=PG，结合直角三角形斜边与直角边的关系可得线段的不等关系.
8． 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， 依据尺规作图痕迹， 给出结论：①∠CDE=∠CAB； 结论②AB+EC=AC. 下列判断正确的是(　　).
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC
∵∠B=90°，
∴BD=DE，
∵DE⊥AC，∠B=90°
∴∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠CAB，故①正确；
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AB，
∴AC=AE+EC=AB+EC，故②正确，
故选：A.
【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD=DE，由∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°即可判断①；证明Rt△ABD≌Rt△AED(HL)即可判断②.
9．如图，在中，平分，若的面积为12，则的面积为　 　．
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，于，
是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：4.8．
【分析】 过作于，于，根据角平分线的性质得到两条垂线段相等，即，再结合三角形面积求出线段的长度，即可得到答案 ．
10．下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程.
已知：如图1，∠AOB.
求作：射线 OC，使得OC 平分∠AOB.
作法：如图2，
①在射线OA 上取点M，使OM=3c m；
②作∠AMN=∠AOB；
③以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C.
所以射线OC 就是所求的角平分线.
根据小帅的作图过程，
（1）求证：射线 OC 是∠AOB 的平分线；
（2）若点C到射线OB的距离为 2cm ，求的面积.
【答案】（1）证明：∵ ∠AMN=∠AOB ，
∴MN∥OB，
∴∠BOC=∠MCO，
而作图步骤中的“ 以点 M 为圆心，线段OM 长为半径画弧，交射线 MN 于点C”，
∴MO=MC，
∴∠MOC=∠MCO，
∴∠BOC=∠MOC，
∴ 射线 OC 是∠AOB 的平分线。
（2）解：∵ 射线 OC 是∠AOB 的平分线，
∴点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm，
的面积=cm2.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）依据“同位角相等、两直线平行”得出MN∥OB，然后依据“两直线平行、内错角相等”得出∠BOC=∠MCO；依据作图步骤得出MO=MC，从而根据“等边对等角”得出∠MOC=∠MCO，此时即可得出∠BOC=∠MOC，从而得出证明结果；
（2）依据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，得出“点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm”，然后以OM为底，计算三角形面积即可。
11．爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
如图1，在中，，若平分，则有．
对此结论，小华同学的证法如下：
过点作于点，于点，过点作于点，因为是的角平分钱，且，，
所以______________，
因为，
所以
因为，∴，
所以
所以
【尝试探究】
（1）请将小华同学的证明过程补充完整．
【迁移应用】
（2）如图2，在中，，，，平分交于点，于点．求的长．
【答案】解：（1）DE；DF；
（2）中，，，
．
平分，
．
设，，
，
，
∴，
，
，
，
中，，
，
．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：（1）如图，
是的角平分钱，且，，
，
故填：DE；DF；
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，即可得出答案；
（2）先利用勾股定理求出=5，再根据题意得出，求出，利用等积法得出，求出，由勾股定理解得出，利用，即可得出答案．
三、题型十四 全等三角形的动点问题
12．如图所示，在中，平分为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】在 BC 上截取 BE = BQ，连结PE，如图.
因为 BD 平分∠ABC，∠ABC =68°，
所以
因为 BP=BP，
所以△PBQ≌△PBE(SAS)，
所以PE=PQ，
所以AP+PQ=AP+PE，
所以当A，P，E 在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ 的值最小.
过点 A 作 于点E'，交 BD 于点P'.
因为∠AE'B =90°，∠CBD =34°，
所以∠AE'B+∠CBD=124°.
故选 D.
【分析】在 BC 上截取BE=BQ，连结PE， 证 明 (SAS)，得出PE=PQ，说明AP+PQ=AP+PE，确 定 当A，P，E 在同一直线上，且AE ⊥ BC时，AP+PE的值 最 小，即AP+PQ的值最 小，进而求解.
13．如图，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使全等，则点Q的运动速度为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：当，时，，
、同时运动，运动的路程相等，
和运动的速度相同是；
当，时，，
，
运动的时间，
运动的速度是，
综上所述，运动的速度是或。
故选：D.
【分析】当，时，，得和运动的速度相同；当，时，，求出运动的时间，求出运动的速度是，即可得到答案.
14．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当　 　秒时，与全等．
【答案】4或或12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
；
①如图1，当点在上，点在上时，
由题意得，，，
，，
，，
当时，则，
即，
解得；
②如图2，当点与点重合时，则，此时满足，
∵，
，
解得；
③如图3，当点与重合时，
当时，则，
即，
解得；
综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等．
故答案为：4或或12．
【分析】由垂直的定义得出∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠CPE=∠FCQ；分类讨论：①当点Q在BC上，点P在AC上，根据路程、速度、时间三者的关系得AP=tcm，BQ=2tcm，则CP=(6-t)cm，CQ=(10-2t)cm，由全等三角形的对应边相等得出PC=CQ，据此建立方程，求解得出t的值；②当点P与点Q重合时，则CP=CQ，此时也满足△PEC≌△QFC，根据路程、速度、时间三者的关系得CQ=(2t-10)cm，从而建立方程，求解得出t的值；③当点Q与点A重合时，△PEC≌△CFQ，则PC=CQ，根据路程、速度、时间三者的关系得CP=(t-6)cm，从而建立方程，求解得出t的值，综上可得答案.
15． 如图，在等边△ABC中， AB=6， D为AB的中点， E， F分别是AC， BC边上的动点，且满足 CF=2AE， 以EF为边向左作等边△EFG.
（1）当AE=BF时， 则CF=　 　；
（2）连结DG、AG， 则AG+DG最小值为　 　.
【答案】（1）4
（2）
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)设AE=BF=x，则CF=2AE=2x，
∵在等边△ABC中，AB=6，
∴CF+BF=BC=6
∴2x+x=6
解得x=2，
∴CF=2x=4，
故答案为：4.
(2)过点F作FJ⊥AC于J，则∠FJC=∠FJE=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠JFC=30°
∴
∴CF=2AE=AE+CJ，
∴EJ=FB，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GFE=60°，EF=FG，
∵∠GFB+∠GFE+∠EFC=180°，
∠EFC+∠C+∠FEC=180°，
∴∠GFB=∠FEC
∴△BGF≌△JFE(SAS)，
∴∠GBF=∠FJE=90°，
∴GB⊥BC，
∴点G的轨迹为垂直于BC的直线，
作点D关于BG的对称点N，连接AN，AN即为AG+DG的最小值.
连接DN交BG于I，过点A作AH⊥BC于H，延长ND交AH于M，
∵GB⊥BC，
∴NM⊥AH，
∴∠NMA=90°， NM//BH
∵△ABC为等边三角形，
∴，，
∵D是AB的中点，
∴DM是△ABH的中位线，
∴，，
∵GB⊥BC，AH⊥BC，
∴MI=BH=3，
∴
∴DN=3
∴
在Rt△ANM中，
故答案为：.
【分析】(1)由AE=BF可得CF=2BF，再由CF+BF=BC=6，即可求解；
(2)连接BG，过点F作FJ⊥AC于J，可得， 从而EJ=BF，可证是△BGF≌△JFE，可得GB⊥BC，从而点G的轨迹为垂直于BC的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出AG+DG的最小值.
16． 如图，AE与BD相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以2cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度单向运动，P、Q两点同时出发，当点P返回到点A时停止运动，Q点同时停止运动且正好停留在点E，设点P的运动时间为t(s).
（1） 求证：；
（2） 请用含t的式子表示线段PB；
（3） 连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.
【答案】（1）证明： 点P返回到点A用的时间为（8+8）÷2=8s，
DE=1×8=8（cm），
∴AB=DE，
∵，
∴∠A=∠E，
在△ACB和△ECD中，
∵，
∴ （AAS）.
（2）解：当0≤t≤4时，PB=8-2t，
当4＜t≤8时，PB=2t-8.
（3）解：∵，
∴BC=CD，
∵ 当线段PQ经过点C时，
∴∠PCB=∠QCD，
在△PCB和△QCD中，
∵，
∴ △PCB≌△QCD （ASA），
∴BP=QD，
当0≤t≤4时，8-2t=t，解得：t=，
当4＜t≤8时，2t-8=t，解得：t=8，
综上所述：t=或8.
【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先求出DE的长度，再根据平行线得出∠A=∠E，最后根据AAS即可得证；
（2）根据t的取值范围进行讨论即可；
（3）由（1）可知，进而可得BC=CD，再根据ASA证明△PCB≌△QCD ，从而得到BP=QD，再根据运动过程列方程即可.
17．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以
1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，
沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，CB=8cm，设运动时间为t，
（1）分别求出在此运动过程中，点D与点E的运动时长。
（2）当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值，
【答案】（1）解：、，
，
点D的运动时长为，
点E的运动时长为：；
（2）解：，
，
，
，
，
在和中，
，，
要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明，
如下图所示
当在上，在上时，即，
，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，
，
；
如下图所示，
当在上，也在上时，即，
，
，
；
当到达，在上时，即，
，，
，
．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【分析】（1）求出，根据点、运动的速度求出它们运动的时间；
（2）根据同角的余角相等得到，根据点D和E的位置分为三种情况根据全等三角形的对应边相等列方程解答即可．
18．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．
（1）如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等．
（3）在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
【答案】（1）解：全等，理由如下：
当时，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
，
，
，
∴，
线段与线段垂直．
（2）解：设点的运动速度，
∵的运动速度与的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，则只存在这种情况，
∴，，
∴，
解得，
∴当点的运动速度为时，能使与全等．
（3）解：，分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，
设运动时间为秒，
则，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由路程、速度、时间三者的关系得AP=BQ=4cm，则BP=AB-AP=12cm=AC，利用“SAS”证，由全等三角形的对应角相等得出，根据直角三角形两锐角互余、等量代换及平角的定义可推出∠CPQ=90°，从而根据垂直定义得出结论；
（2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的对应边相等得AC=BQ，AP=BP，据此建立方程组求解即可；
（3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可．
（1）解：全等，理由如下：
当时，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
，
，
，
∴，
线段与线段垂直．
（2）解：设点的运动速度，
∵的运动速度与的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，则只存在这种情况，
∴，，
∴，
解得，
∴当点的运动速度为时，能使与全等．
（3）解：，分别是，中点，，
，
以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，
第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，
设运动时间为秒，
则，
解得：，
故经过，点与点第一次相遇．
四、题型十五 全等三角形的综合问题
19．如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论： ①∠APB=135°；②PF=PA；
③AH+BD=AB④S△ABP=S△AEP+S△DBP其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵在中，、分别平分、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，故②正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．故③正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④．
20．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②；③；④．则以上说法正确的是　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正确；
②只有当是的中线时，，故②错误；
③如图，作的平分线交于点，
由①得，
，，
，
，，，，
∴，，
，，
，故③正确；
④∵，，
∴，，
∴
∵，，
∴，故④正确．
综上所述：正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【分析】①根据三角形内角和定理，可以得到，结合平分，平分，可推出，，再结合三角形内角和定理，就能对该结论判断正误；②若是的中线，根据中线的性质可得，据此即可对结论进行判断；③作的平分线，交于点，可以得到，之后可以证明，，从而得到，，由此即可对结论进行判断；④结合第③问得到的全等和，再根据等高三角形的面积关系，就可以对该结论进行判断．
21．
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
22．已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于．
（1）如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________；
（2）如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明；
（3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件．
【答案】（1）
（2）解：CF=CG，
证明过程如下：
过点C作CM⊥OA交OA于点M，CN⊥OB交OB于点N，如图所示：
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，
∴∠MCN=360°-∠AOB-∠CMO-∠CNO=60°，
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠DCE=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
，
∴△MCF≌△NCG（AAS），
∴CF=CG.
（3）解：当∠DCE=180°-α时，（2）中得到的结论仍然成立，
理由：过点C作CM⊥OA交OA于点M，CN⊥OB交OB于点N，如图所示：
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，
∵∠AOB=α，
∴∠MCN=360°-∠AOB-∠CMO-∠CNO=180°-α，
∵∠DCE=180°-α，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
，
∴△MCF≌△NCG（AAS），
∴CF=CG，
∴当时，（2）中得到的结论仍然成立 .
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）∵平分，
∴∠DCO=∠ECO，
∵，，
∴∠CFO=∠CGO=90°，
在△COF和△COG中，
，
∴△COF≌△COG（AAS）
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据已知条件易证 △COF≌△COG，即可得出结论；
（2）过点C作于M，于N，可得∠AOC=∠BOC=60°，∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，进而可得∠MCF=∠NCG，即可证明得出结论；
（3）过点C作于M，于N，可得∠CMO=∠CNO=90°，CM=CN，证明即可得出结论
（1）解：∵平分，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
证明：过点C作于M，于N．
∵平分，
∴①，②，．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
即③
由①②③得．
∴；
（3）解：当，（2）中结论仍然成立，
证明：过点C作于M，于N．
∵平分，
∴①，②，
∵，
∴．
∴．
∴．
即③
由①②③得．
∴．
五、题型十六 尺规作图问题
23．在△ABC中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
（1）作出AC边上的中线BD；
（2）作出△ABC的角平分线CE；
（3）作出△ABC的 BC上的高线AF.
【答案】（1）解：BD即为所作；
；
（2）解：即为所求：
；
（3）解：即为所求.
．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）作出的垂直平分线，找到的中点D，连接即可；
（2）以C为圆心画圆弧交的两边于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画圆弧，连接C和两段圆弧的交点，交于E，即为所求；
（3）以A为圆心画圆弧，与的延长线交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半的长为半径画圆弧，两段圆弧交于两点，连接这两点与交于，延长这条直线，则其过A点，即为所求．
24．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的高线．
（2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积．
（3）在图③中的找到一点，使．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示；
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义在网格中画出AD⊥BC于点D即可；
（2）根据使三角形面积平分的线是中线，根据中线的定义在网格中画出△ABC的中线AE即可；
（3）根据三角形全等的判定方法，在网格中画出BF=AC，CF=AB，画出△FCB即可.
（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）解：如图所示；
25．为测量某一水池两端，之间的距离，嘉嘉、淇淇两位同学分别设计出如下两种方案．
课题 测量水池两端、之间的距离
人员 嘉嘉 淇淇
步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，分别连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可．
测量示意图
（1）尺规作图：依据淇淇的步骤，在图中确定点的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）老师评价后指出其中一种方案不可行．
以上两位同学的方案可行的是_______（填“嘉嘉”或“淇淇”）的方案；
对中所选方案的可行性进行说理．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
∴点即为所求.
（2）解：故答案为：嘉嘉.
嘉嘉同学方案可行，理由如下：
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴测量的距离即可．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：（2）解：∵嘉嘉的方案可以证明，
∴，而淇淇的方案无法证明，也就不能证明，
∴嘉嘉同学方案可行，
故答案为：嘉嘉.
【分析】（）根据尺规作图，作一个角等于已知角的方法作图即可.
（）嘉嘉的方案可以证明，即可得，而淇淇的方案无法证明，也就不能证明，即可判断嘉嘉同学方案可行.
根据，可证明即可得答案.
（1）解：如图，作即可，
∴点即为所求；
（2）解：∵嘉嘉的方案可以证明，即，而淇淇的方案无法证明，也就不能证明，
∴嘉嘉同学方案可行，
故答案为：嘉嘉；
嘉嘉同学方案可行，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴测量的距离即可．
26．如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示.

【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作出的平分线OQ和线段CD的中垂线EF，射线OQ与直线EF的交点即为所得点P.
27．为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示。为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P。要求点P到村庄A，B， C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）。
【答案】解：点P即为所求.
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知作线段BC与线段AB的垂直平分线，交点即为所求点.
1 / 1

展开更多......

收起↑