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专题二 特殊三角形（1）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型一 轴对称图形识别
1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．以下图标是“杭州文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二、题型二 折叠问题
3．如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则　 　．
6．数学社团课上，老师拿出一张Rt△ABC（其中∠ACB=90°，∠A＞∠B）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在AB边上找一点D，沿CD向右折叠使A点落在AB边上，铺平；第二步，在AB边上找一点E，沿着CE折叠使CA落在BC边上，铺平；第三步，在AB边上找一点G和BC边上找一点F，沿着GF折叠使B点落在点A处，铺平；若最后测得恰好∠DCE=∠B，则= 　 　.
7．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.
（1） 求证： △AEF≌△CDF；
（2） 若AB=4， BC=8， 求DF的长.
8．如图， 在长方形ABCD中，.AB=CD=5，BC=AD=3.
（1）如图 ①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点.D'处，求BF的长；
（2）如图 ②， 将 沿BD翻折， 若A'B 交CD于点E， 求 的面积；
（3）如图 ③，P为AD边上的一点，将 沿BP翻折得到△A'BP， A'B， A'P 分别交CD边于点E， F，且DF=A'F，求CE的长.
9．如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得．
（1）如图，当点恰好落在线段上时，求证：；
（2）如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度；
（3）如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积．
10．如图1，在中，，点在上，连结，将沿翻折得到落在所在的平面，
（1）如图2，当点落在边上时，求的长；
（2）如图3，当点与点重合时，过点作交于点，求的长；
（3）如图4，在（2）的条件下，点F是延长线上的一点，作角平分线交的延长线于点的面积为的面积为，则___________；
三、题型三 轴对称图形绘图
11．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标.
（2）求出△ABC的面积.
12．如图，在6×6的方格纸中，已知格点△ABC和格点线段DE，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上).
（1）在图1中画△A'B'C， 使△A'B'C与△ABC关于直线DE 成轴对称.
（2）在图2中画Rt△APC， 使Rt△APC与△ABC不全等.
13．作图题：
（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）
（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．
四、题型四 利用轴对称解决最短路径问题
14．如图，点内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
15．如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　）
A．3 B． C． D．
16．如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是　 　 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A (-2，2)，B(-5，5)是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2， 且CA=CB， 在y轴上取一点D， 连接AC、BC、AD、BD， 使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为 　 　.
18．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上.
（1）作关于直线对称的图形；
（2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积；
（3）在直线上找一点，则的最小值为　 　.
19．
（1）【图形感知】
如图1， 等腰Rt△AOB中， ∠AOB=90°， l是过O点在∠AOB 内部的一条射线， 过A作AC⊥l于点C， 过B作BD⊥l于点D， 若AC=2， CD=3， 求BD 的长.
（2）【问题探究】
如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若 AC=10， △ACD 的面积为40， 求△ABC的面积.
（3）【拓展启思】
如图3， 在△ABC中，. D是边AB上的点， E、F是边AC上的点， DF∥BC， ∠EDF=30°.若CE=2AD， G是AB 上一动点， 连接FG、CG，求FG+CG的最小值.
20．阅读下列材料，解决提出的问题：
【最短路径问题】
如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B’，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB’，从而把问题（2）变为问题（1）.因此，线段AB’与直线l的交点C的位置即为所求.
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’，B’C’.
因为AB’≤AC’+C’B’，∴AC+CB≤AC’+C’B，即AC+BC最小.
（1）【数学思考】
材料中划线部分的依据是　 　.
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 .（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
（3）【迁移应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝6cm，求BP+DP的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中人工智能的图标不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、此选项中人工智能的图标是轴对称图形，则此项符合题意；
C、此选项中人工智能的图标不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、此选项中人工智能的图标不是轴对称图形，则此项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【分析】直接根据轴对称图形的概念“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由②得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，
图3中，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据②得，求出，得，勾股定理求出，根据折叠的性质求出a，b，c的值即可比较．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
设，再由折叠的性质可得，，再利用三角形外角的性质结合等边对等角可得，最后再利用三角形内角和定理求出即可．
5．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则
∴，，
由折叠可知：，
当，即时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意）；
当，即时，
∵，
∴，
解得，
即；
当，即时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或．
【分析】
根据划分三种不同情况列方程求解。先利用三角形内角和定理可以算出，接着设，根据外角性质可以得到，同时根据内角和算出。再结合折叠的性质可以得到，，之后对是等腰三角形的情况分类讨论，通过列方程计算出x的值，最终就可以得到对应结果.
6．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵由题意知CD⊥AB，CE平分∠ACB，GF垂直平分AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，AF=BF
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B
设∠B=α，则∠BCD=90°-α，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-α，
∴45°-α=α，得α=22.5°
∵AF=BF
∴∠BAF=∠B=22.5°
∴∠AFC=45°
∴
故答案：.
【分析】由题意知CD⊥AB，CE平分∠ACB，GF垂直平分AB，由此得∠DCE=∠ACD=22.5°，∠AFC=45°，即得BF与FC的比值.
7．【答案】（1）证明：∵长方形ABCD
∴AB=CD， ∠B=∠D=90°
∵将长方形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处
∴∠E=∠B， AB=AE
∴AE=CD， ∠E=∠D
又∵∠AFE=∠CFD
∴△AEF≌△CDF(AAS)
（2）解：∵AB=4， BC=8
∴CE=BC=8， AE=CD=AB=4
∵△AEF≌△CDF
∴AF=CF， EF=DF
在 Rt△CDF中，
即
解得 DF=3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质和折叠得性质，利用AAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF， EF=DF，然后根据勾股定理解答即可.
8．【答案】（1）解：根据折叠的性质， AF=CF，
∵四边形ABCD 是长方形，
∴∠B =90°，
设BF=x， 则AF=CF=AB-BF=5-x，
在Rt△BFC中，
所以
（2）解：∵四边形ABCD 是长方形，
∴∠A =∠C=90°，
∵由折叠
∴
∵BC=AD，
∴
∴
∴△A'ED≌△CEB (SAS)，
∴ED=EB，
设CE=y， 则EB=ED=DC-CE=5-y，
在Rt△BCE中，
解得
所以
（3）解：∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠D=90°，
∵根据折叠的性质，
∴
∴
又∵DF=A'F， ∠DFP=∠A'FE，
∴△DFP≌△A'FE(ASA)
∴DP=A'E，PF=EF，
∴DE=PA'，
又∵AD=BC=3，
设PA=m，则A'E=DP=AD-PA=3-m，DE=PA'=AP=m，
∴EC=5-m， BE=5-（3-m）=2+m，
在Rt△ECB中，
解得
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由折叠的性质设BF=x，得AF=5-x，由勾股定理得求解方程即得BF的长；
(2)由折叠的性质可证明△A'ED≌△CEB，得ED=EB，设CE=y，则EB=5-y，由勾股定理得CE的长，即可得△BDE的面积；
(3)由折叠的性质可证明△DFP≌△A'FE，得DE=PA'，同理设PA=m得EC=5-m，BE=2+m，由勾股定理得m值，即得CE的长.
9．【答案】（1）证明：由折叠性质可得，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠性质可得，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
由勾股定理可得，；
（3）解：延长交于点，过点，作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，重合，即三点共线，
∴，
由折叠得，，
∴，
设，
则在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由折叠性质可得，，结合中点定义可推出，由等边对等角得，然后通过三角形外角性质得到，最后根据同位角相等，两直线平行可得结论；
（2）由折叠性质可得，从而根据有一个内角为60°的三角形为等边三角形得出△AED是等边三角形，由等边三角形三边相等得出AE=AD，由中点定义可得，则，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠ADB=90°，最后通过勾股定理计算出BD即可；
（3）延长CD交AB于点G，过点A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，由同底等高三角形面积才相等推出AM=BN；然后利用“AAS”证△AMG≌△BNG，由全等三角形的对应边相等得出AG=BG，则有E，G重合，即C、D、E三点共线，则DF⊥CE，由折叠性质得出AF=DF=3，AE=DE，从而由勾股定理算出CD=4，设AE=DE=x，则在Rt△ACE中，由勾股定理建立方程求出x的值，从而可得AB的长，最后根据三角形面积公式列式计算即可.
（1）略
（2）解：由折叠性质可得，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
由勾股定理可得，；
（3）解：延长交于点，过点，作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，重合，即三点共线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
则在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
10．【答案】（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（2）解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（3）解：由（2）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AB=5，由折叠的性质得AC=AE=3，CD=DE，∠ACB=∠AED=90°，设CD=DE=x，则BD=4-x，在Rt△BDE中，由勾股定理建立方程求解x的值即可得出答案；
（2）由折叠的性质得AC=AE=3，BE=BC=4，∠C=∠E=90°，∠ABC=∠ABE，由二直线平行，内错角相等得出∠PAB=∠ABC=∠ABP，由等角对等边得出AP=BP，设AP=BP=t，则PE=4-t，进而在Rt△APE中，根据勾股定理可建立方程进行求解；
（3）由（2）可得，由三角形面积计算公式计算出S1，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠PHB=∠HBF=∠PBH，由等角对等边得出，由等边对等角及三角形内角和定理可推出，根据勾股定理可得，进而根据三角形面积公式及等底同高三角形面积相等求出S2，从而即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（2）解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
11．【答案】（1）解：
C1的坐标为（-1，-2）
（2）解：
如图，
【知识点】三角形的面积；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)分别找到点A、B、C的对称点，再顺次连接各点即可得 △A1B1C1；
(2)利用面积割补，用矩形面积减去边上3个三角形的面积即得△ABC的面积.
12．【答案】（1）解：如图1
（2）解：如图2
【知识点】尺规作图-作三角形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)要画出△A'B'C'与△ABC关于直线DE成轴对称的图形，需分别找出A、B、C三点关于直线DE的对称点，再依次连接这些对称点；
(2)要画出Rt△APC与△ABC不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置.
13．【答案】（1）解：以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，就是关于直线的对称图形；
（2）解：如下图所示．
【知识点】作图﹣轴对称；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】
（1）由于轴对称图形的对应点关于对称轴对称，则分别作A、B、C关于直线l的对称称点、、，再顺次连接、、即可；
（2）由轴对称的概念可知补全后的图形必沿某条直线折叠后能够完全重合即可，故方法不唯一．
（1）解：以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，就是关于直线的对称图形；
（2）解：如下图所示．
14．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点 连接 ， 交OA于M， 交OB于N，
则
根据轴对称的性质，可得， 则 的周长的最小值
∴等腰 中，
故选： B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点 连 交OA于M， 交OB于N， 的周长= ，然后得到等腰 中， 即可根据解答即可.
15．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示：
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴，，；，，，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小，
∵，
∴
，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
同理：，
∴，
即当的周长取最小值时，的长为．
故选：B．
【分析】
首先作点P关于的对称点C，再作点P关于的对称点D，依次连接、、，让线段分别和、相交于点、，最后连接、。根据对称的性质可以得到；接下来可以推导得出，由此可以判定是等边三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质可以得到，由此可以算出的长度，再根据线段和差关系，求出的长度；之后设，根据对称性质可得，代入勾股定理即可列出关于x的方程，解出x后将结果乘以2就能得到最终答案.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上取点G，使得，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
当C、F、G三点共线时，取到最小值，
∵直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短．
∴当时，最小，此时为Rt斜边上的高，
在Rt中，，因此，
，
故答案为：．
【分析】
对于线段和的最值问题，通常可以通过对称变换或者旋转变换构造全等三角形，将所求的两条线段转化到直线两侧，当这两条线段恰好共线时，就能得到线段和的最小值。针对这道题，可以在上取一点G，使得，证明全等后即可得到，因此的最小值就等于的长度。而点G在AB上运动，因此的最小值就是点C到线段的垂线段长度，利用三角形面积公式即可求出这个最小值，得到最终答案.
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵点A(-2，2)，点C的纵坐标为2，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC=45°，
∵CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠C=90°，
∵B(-5，5)，
∴C(-5，2)，
∴AC=BC=3，
如图，作点A关于y轴的对称点.A'，
连接A'B交y轴于D'，
此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+A'B，
∵AC=BC=3，AA'=4，
∴A'C=3+4=7，
∴最小周长的值=AC+BC+A'B=6+，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°，得到∠C=90°，求得AC=BC=3，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于D'，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+A'B，然后根据勾股定理即可得到结论.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）解： 的面积为.
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（3）解：连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值．
由勾股定理得，，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出；
（2）根据网格即可求的面积；
（3）连接交直线于点P，此时的值最小．
19．【答案】（1）解：由题可知∠AOB=∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC=∠DBO=90°-∠BOD，
在等腰Rt△AOB中，OA=OB，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴AC=OD=2，OC=BD，
∵CD=3，
∴AC=OD+CD=5，
∴BD=5
（2）解：如图，过D作DF⊥AC于点E，过B作BF⊥AC于点F，
则
∵AC=10，∴DE=8，
由题可知∠AFB=∠BAD=∠AED=90°，
∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE，
∵AB=AD，
∴AF=DE=8，
∴CF=AC-AF=2，
∵∠ACB=60°，
∴∠CBF=30°，
∴BC=2CF=4，
（3）解：∵AB=AC，∠B=75°，
∴∠A=30°，
∵DF∥BC，
∴∠DFE=∠ACB=75°，AD=AF，
∴∠EDF=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
如图，过D作于点D，则EI=FI，
设DI=a，则AD=2a，则
设CF=2b，
即
作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，则CG=RG，
在中，
当且仅当F、
G、R三点共线时取等，
即FG+GC的最小值为FR的长，
过F作
即FG+GC的最小值为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)证即可得解；
(2)参考(1)中思路，构造全等三角形，再利用直角三角形的性质即可得解；
(3)由题易得过D作AF于点D，则.EI=FI，设DI=a，则AD=2a，则再设CF=2b，可推出(，进而可得作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，易得(CQ=(1进而可得AQ、BQ，在.中，利用勾股定理求出进而可得再利用轴对称最短路径求解即可.
20．【答案】（1）两点之间线段最短或者三角形任何两边的和大于第三边
（2）A
（3）解：如图，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′.作BH⊥AB′于H.
作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝3cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝ AB＝3cm，
∴PB+PD的最小值为3cm
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；数学思想
【解析】【分析】（1）利用两点之间线段最短及三角形三边关系定理可得答案。
（2）根据题意可知材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想。
（3）作点B关于点C的对称点B′，连接AB′.作BH⊥AB′于H，作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，根据垂线段最短可知当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，利用轴对称的性质可求出∠BAH＝30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BH的长，由此可求解。
1 / 1专题二 特殊三角形（1）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型一 轴对称图形识别
1．国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中人工智能的图标不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、此选项中人工智能的图标是轴对称图形，则此项符合题意；
C、此选项中人工智能的图标不是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、此选项中人工智能的图标不是轴对称图形，则此项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．以下图标是“杭州文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【分析】直接根据轴对称图形的概念“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
二、题型二 折叠问题
3．如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由②得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，
图3中，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据②得，求出，得，勾股定理求出，根据折叠的性质求出a，b，c的值即可比较．
4．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】
设，再由折叠的性质可得，，再利用三角形外角的性质结合等边对等角可得，最后再利用三角形内角和定理求出即可．
5．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则
∴，，
由折叠可知：，
当，即时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意）；
当，即时，
∵，
∴，
解得，
即；
当，即时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或．
【分析】
根据划分三种不同情况列方程求解。先利用三角形内角和定理可以算出，接着设，根据外角性质可以得到，同时根据内角和算出。再结合折叠的性质可以得到，，之后对是等腰三角形的情况分类讨论，通过列方程计算出x的值，最终就可以得到对应结果.
6．数学社团课上，老师拿出一张Rt△ABC（其中∠ACB=90°，∠A＞∠B）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在AB边上找一点D，沿CD向右折叠使A点落在AB边上，铺平；第二步，在AB边上找一点E，沿着CE折叠使CA落在BC边上，铺平；第三步，在AB边上找一点G和BC边上找一点F，沿着GF折叠使B点落在点A处，铺平；若最后测得恰好∠DCE=∠B，则= 　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵由题意知CD⊥AB，CE平分∠ACB，GF垂直平分AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，AF=BF
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B
设∠B=α，则∠BCD=90°-α，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-α，
∴45°-α=α，得α=22.5°
∵AF=BF
∴∠BAF=∠B=22.5°
∴∠AFC=45°
∴
故答案：.
【分析】由题意知CD⊥AB，CE平分∠ACB，GF垂直平分AB，由此得∠DCE=∠ACD=22.5°，∠AFC=45°，即得BF与FC的比值.
7．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.
（1） 求证： △AEF≌△CDF；
（2） 若AB=4， BC=8， 求DF的长.
【答案】（1）证明：∵长方形ABCD
∴AB=CD， ∠B=∠D=90°
∵将长方形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处
∴∠E=∠B， AB=AE
∴AE=CD， ∠E=∠D
又∵∠AFE=∠CFD
∴△AEF≌△CDF(AAS)
（2）解：∵AB=4， BC=8
∴CE=BC=8， AE=CD=AB=4
∵△AEF≌△CDF
∴AF=CF， EF=DF
在 Rt△CDF中，
即
解得 DF=3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质和折叠得性质，利用AAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF， EF=DF，然后根据勾股定理解答即可.
8．如图， 在长方形ABCD中，.AB=CD=5，BC=AD=3.
（1）如图 ①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点.D'处，求BF的长；
（2）如图 ②， 将 沿BD翻折， 若A'B 交CD于点E， 求 的面积；
（3）如图 ③，P为AD边上的一点，将 沿BP翻折得到△A'BP， A'B， A'P 分别交CD边于点E， F，且DF=A'F，求CE的长.
【答案】（1）解：根据折叠的性质， AF=CF，
∵四边形ABCD 是长方形，
∴∠B =90°，
设BF=x， 则AF=CF=AB-BF=5-x，
在Rt△BFC中，
所以
（2）解：∵四边形ABCD 是长方形，
∴∠A =∠C=90°，
∵由折叠
∴
∵BC=AD，
∴
∴
∴△A'ED≌△CEB (SAS)，
∴ED=EB，
设CE=y， 则EB=ED=DC-CE=5-y，
在Rt△BCE中，
解得
所以
（3）解：∵四边形ABCD是长方形
∴∠A=∠D=90°，
∵根据折叠的性质，
∴
∴
又∵DF=A'F， ∠DFP=∠A'FE，
∴△DFP≌△A'FE(ASA)
∴DP=A'E，PF=EF，
∴DE=PA'，
又∵AD=BC=3，
设PA=m，则A'E=DP=AD-PA=3-m，DE=PA'=AP=m，
∴EC=5-m， BE=5-（3-m）=2+m，
在Rt△ECB中，
解得
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由折叠的性质设BF=x，得AF=5-x，由勾股定理得求解方程即得BF的长；
(2)由折叠的性质可证明△A'ED≌△CEB，得ED=EB，设CE=y，则EB=5-y，由勾股定理得CE的长，即可得△BDE的面积；
(3)由折叠的性质可证明△DFP≌△A'FE，得DE=PA'，同理设PA=m得EC=5-m，BE=2+m，由勾股定理得m值，即得CE的长.
9．如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得．
（1）如图，当点恰好落在线段上时，求证：；
（2）如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度；
（3）如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积．
【答案】（1）证明：由折叠性质可得，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠性质可得，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
由勾股定理可得，；
（3）解：延长交于点，过点，作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，重合，即三点共线，
∴，
由折叠得，，
∴，
设，
则在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由折叠性质可得，，结合中点定义可推出，由等边对等角得，然后通过三角形外角性质得到，最后根据同位角相等，两直线平行可得结论；
（2）由折叠性质可得，从而根据有一个内角为60°的三角形为等边三角形得出△AED是等边三角形，由等边三角形三边相等得出AE=AD，由中点定义可得，则，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠ADB=90°，最后通过勾股定理计算出BD即可；
（3）延长CD交AB于点G，过点A，B作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，由同底等高三角形面积才相等推出AM=BN；然后利用“AAS”证△AMG≌△BNG，由全等三角形的对应边相等得出AG=BG，则有E，G重合，即C、D、E三点共线，则DF⊥CE，由折叠性质得出AF=DF=3，AE=DE，从而由勾股定理算出CD=4，设AE=DE=x，则在Rt△ACE中，由勾股定理建立方程求出x的值，从而可得AB的长，最后根据三角形面积公式列式计算即可.
（1）略
（2）解：由折叠性质可得，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
由勾股定理可得，；
（3）解：延长交于点，过点，作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，重合，即三点共线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
则在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
10．如图1，在中，，点在上，连结，将沿翻折得到落在所在的平面，
（1）如图2，当点落在边上时，求的长；
（2）如图3，当点与点重合时，过点作交于点，求的长；
（3）如图4，在（2）的条件下，点F是延长线上的一点，作角平分线交的延长线于点的面积为的面积为，则___________；
【答案】（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（2）解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（3）解：由（2）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AB=5，由折叠的性质得AC=AE=3，CD=DE，∠ACB=∠AED=90°，设CD=DE=x，则BD=4-x，在Rt△BDE中，由勾股定理建立方程求解x的值即可得出答案；
（2）由折叠的性质得AC=AE=3，BE=BC=4，∠C=∠E=90°，∠ABC=∠ABE，由二直线平行，内错角相等得出∠PAB=∠ABC=∠ABP，由等角对等边得出AP=BP，设AP=BP=t，则PE=4-t，进而在Rt△APE中，根据勾股定理可建立方程进行求解；
（3）由（2）可得，由三角形面积计算公式计算出S1，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠PHB=∠HBF=∠PBH，由等角对等边得出，由等边对等角及三角形内角和定理可推出，根据勾股定理可得，进而根据三角形面积公式及等底同高三角形面积相等求出S2，从而即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（2）解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
三、题型三 轴对称图形绘图
11．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标.
（2）求出△ABC的面积.
【答案】（1）解：
C1的坐标为（-1，-2）
（2）解：
如图，
【知识点】三角形的面积；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)分别找到点A、B、C的对称点，再顺次连接各点即可得 △A1B1C1；
(2)利用面积割补，用矩形面积减去边上3个三角形的面积即得△ABC的面积.
12．如图，在6×6的方格纸中，已知格点△ABC和格点线段DE，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上).
（1）在图1中画△A'B'C， 使△A'B'C与△ABC关于直线DE 成轴对称.
（2）在图2中画Rt△APC， 使Rt△APC与△ABC不全等.
【答案】（1）解：如图1
（2）解：如图2
【知识点】尺规作图-作三角形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)要画出△A'B'C'与△ABC关于直线DE成轴对称的图形，需分别找出A、B、C三点关于直线DE的对称点，再依次连接这些对称点；
(2)要画出Rt△APC与△ABC不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置.
13．作图题：
（1）如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．在图中画出关于直线对称的．（要求：与，与，与相对应）
（2）如图2是由9个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中2个小正方形涂黑，请用3种不同的方法分别在图中再将1个小正方形涂黑，使图案成为轴对称图形．
【答案】（1）解：以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，就是关于直线的对称图形；
（2）解：如下图所示．
【知识点】作图﹣轴对称；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】
（1）由于轴对称图形的对应点关于对称轴对称，则分别作A、B、C关于直线l的对称称点、、，再顺次连接、、即可；
（2）由轴对称的概念可知补全后的图形必沿某条直线折叠后能够完全重合即可，故方法不唯一．
（1）解：以直线为对称轴，分别作点的对称点，的对称点，的对称点，顺次连接，就是关于直线的对称图形；
（2）解：如下图所示．
四、题型四 利用轴对称解决最短路径问题
14．如图，点内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点 连接 ， 交OA于M， 交OB于N，
则
根据轴对称的性质，可得， 则 的周长的最小值
∴等腰 中，
故选： B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点 连 交OA于M， 交OB于N， 的周长= ，然后得到等腰 中， 即可根据解答即可.
15．如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示：
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴，，；，，，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小，
∵，
∴
，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
同理：，
∴，
即当的周长取最小值时，的长为．
故选：B．
【分析】
首先作点P关于的对称点C，再作点P关于的对称点D，依次连接、、，让线段分别和、相交于点、，最后连接、。根据对称的性质可以得到；接下来可以推导得出，由此可以判定是等边三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质可以得到，由此可以算出的长度，再根据线段和差关系，求出的长度；之后设，根据对称性质可得，代入勾股定理即可列出关于x的方程，解出x后将结果乘以2就能得到最终答案.
16．如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是　 　 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上取点G，使得，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
当C、F、G三点共线时，取到最小值，
∵直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短．
∴当时，最小，此时为Rt斜边上的高，
在Rt中，，因此，
，
故答案为：．
【分析】
对于线段和的最值问题，通常可以通过对称变换或者旋转变换构造全等三角形，将所求的两条线段转化到直线两侧，当这两条线段恰好共线时，就能得到线段和的最小值。针对这道题，可以在上取一点G，使得，证明全等后即可得到，因此的最小值就等于的长度。而点G在AB上运动，因此的最小值就是点C到线段的垂线段长度，利用三角形面积公式即可求出这个最小值，得到最终答案.
17．如图，在平面直角坐标系中，点A (-2，2)，B(-5，5)是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2， 且CA=CB， 在y轴上取一点D， 连接AC、BC、AD、BD， 使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为 　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵点A(-2，2)，点C的纵坐标为2，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC=45°，
∵CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠C=90°，
∵B(-5，5)，
∴C(-5，2)，
∴AC=BC=3，
如图，作点A关于y轴的对称点.A'，
连接A'B交y轴于D'，
此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+A'B，
∵AC=BC=3，AA'=4，
∴A'C=3+4=7，
∴最小周长的值=AC+BC+A'B=6+，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°，得到∠C=90°，求得AC=BC=3，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于D'，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+A'B，然后根据勾股定理即可得到结论.
18．如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上.
（1）作关于直线对称的图形；
（2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积；
（3）在直线上找一点，则的最小值为　 　.
【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）解： 的面积为.
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（3）解：连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值．
由勾股定理得，，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出；
（2）根据网格即可求的面积；
（3）连接交直线于点P，此时的值最小．
19．
（1）【图形感知】
如图1， 等腰Rt△AOB中， ∠AOB=90°， l是过O点在∠AOB 内部的一条射线， 过A作AC⊥l于点C， 过B作BD⊥l于点D， 若AC=2， CD=3， 求BD 的长.
（2）【问题探究】
如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若 AC=10， △ACD 的面积为40， 求△ABC的面积.
（3）【拓展启思】
如图3， 在△ABC中，. D是边AB上的点， E、F是边AC上的点， DF∥BC， ∠EDF=30°.若CE=2AD， G是AB 上一动点， 连接FG、CG，求FG+CG的最小值.
【答案】（1）解：由题可知∠AOB=∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC=∠DBO=90°-∠BOD，
在等腰Rt△AOB中，OA=OB，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴AC=OD=2，OC=BD，
∵CD=3，
∴AC=OD+CD=5，
∴BD=5
（2）解：如图，过D作DF⊥AC于点E，过B作BF⊥AC于点F，
则
∵AC=10，∴DE=8，
由题可知∠AFB=∠BAD=∠AED=90°，
∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE，
∵AB=AD，
∴AF=DE=8，
∴CF=AC-AF=2，
∵∠ACB=60°，
∴∠CBF=30°，
∴BC=2CF=4，
（3）解：∵AB=AC，∠B=75°，
∴∠A=30°，
∵DF∥BC，
∴∠DFE=∠ACB=75°，AD=AF，
∴∠EDF=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
如图，过D作于点D，则EI=FI，
设DI=a，则AD=2a，则
设CF=2b，
即
作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，则CG=RG，
在中，
当且仅当F、
G、R三点共线时取等，
即FG+GC的最小值为FR的长，
过F作
即FG+GC的最小值为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)证即可得解；
(2)参考(1)中思路，构造全等三角形，再利用直角三角形的性质即可得解；
(3)由题易得过D作AF于点D，则.EI=FI，设DI=a，则AD=2a，则再设CF=2b，可推出(，进而可得作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，易得(CQ=(1进而可得AQ、BQ，在.中，利用勾股定理求出进而可得再利用轴对称最短路径求解即可.
20．阅读下列材料，解决提出的问题：
【最短路径问题】
如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.
如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B’，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB’，从而把问题（2）变为问题（1）.因此，线段AB’与直线l的交点C的位置即为所求.
为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’，B’C’.
因为AB’≤AC’+C’B’，∴AC+CB≤AC’+C’B，即AC+BC最小.
（1）【数学思考】
材料中划线部分的依据是　 　.
（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是 .（填字母代号即可）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想
（3）【迁移应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝6cm，求BP+DP的最小值.
【答案】（1）两点之间线段最短或者三角形任何两边的和大于第三边
（2）A
（3）解：如图，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′.作BH⊥AB′于H.
作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，
∴PB+PD＝PB+PD′，
根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，
∵BC＝CB′，AC⊥BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，
∴∠BAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝3cm，∠BAH＝30°，
∴BH＝ AB＝3cm，
∴PB+PD的最小值为3cm
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；数学思想
【解析】【分析】（1）利用两点之间线段最短及三角形三边关系定理可得答案。
（2）根据题意可知材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想。
（3）作点B关于点C的对称点B′，连接AB′.作BH⊥AB′于H，作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，根据垂线段最短可知当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，利用轴对称的性质可求出∠BAH＝30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BH的长，由此可求解。
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