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专题二 特殊三角形（2）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型五 等腰三角形的边和角
1．等腰三角形的两边长分别是4和8．则它的周长为（　　）
A．16 B．20 C．20或16 D．24
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况：
当4为腰长，8为底边长时，
∵，不符合三角形三边关系，
∴该三角形不存在；
当8为腰长，4为底边长时，
∵，符合三角形三边关系，
∴该三角形周长为：；
故选：B．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，计算时需要分情况讨论验证能否构成三角形：若腰长为4、底边长为8，此时不满足三角形三边关系，对应的三角形不存在；若腰长为8、底边长为4，符合三角形三边关系，在此基础上即可计算得到该等腰三角形的周长.
2． 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当这个角为顶角时，顶角等于；
当这个角为底角时，.
故正确答数为：D
【分析】分类讨论，即当这个角为顶角或这个角为底角时，若为顶角直接得出答案，若为底角，则由三角形的内角和定理计算即可.
3．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当周长为20的等腰三角形中腰长为6时，底边长为，
又∵6+6＞8，
∴和谐比为：；
当周长为20的等腰三角形中底边为6时， 腰长为，
∵7+6＞7
∴和谐比为：．
综上，该等腰三角形的和谐比为或．
故答案为：C．
【分析】由于等腰三角形两腰长相等，且长度为6的边没有明确告知是底边还是腰长，故需要分腰长为6时与底边长为6时两种情况，结合周长计算公式求出相应的底边及腰长，再判断所求结果是否满足三角形三边关系，最后根据“和谐比”定义求出答案即可.
4．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴a－1=0，b－2=0，
解得a=1，b=2．
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能组成三角形．
②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，
∴周长=2+2+1=5．
故答案为：5
【分析】偶次方、绝对值的结果都是非负数；若几个非负数相加等于 0，则每一项都等于 0；由此列出 a－1=0，b－2=0， 计算出a与b；再运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三条边的取值范围．
5．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；
（2）能围成有一边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长．
【答案】（1）解：设底边长为，则腰长为，
由题意可得，，
解得，
∴，
即腰长为；
（2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，
当腰长为时，则底边长为，
∵，
∴能围成腰长为的等腰三角形，
∴此时等腰三角形的底边长；
当底边长为时，则腰长为，
∵，
∴能围成底边长为的等腰三角形，
综上所述，等腰三角形的底边长为或．
【知识点】三角形三边关系；一元一次方程的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）设底边长为，根据题意得出腰长为，再根据等腰三角形的周长为35cm列出方程，解方程求出x的值，即可得出腰长；
（2）利用分类讨论的思想，令分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，从而得出底边长，即可得出答案．
（1）解：设底边长为，则腰长为，
由题意可得，，解得，
∴，即腰长为；
（2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，
当腰长为时，则底边长为，
∵，
∴能围成有腰长为的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为、，
∴此时等腰三角形底边长；
当底边长为时，则腰长为，
显然成立，
∴三角形的另外两边长为、，
∴此时等腰三角形底边长．
由上可得，三角形的底边长为或．
6．
（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为 以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个
（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 ▲ 个.
想一想： 如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50°过顶点C作一条直线， 分割出一个等腰三角形，这样的直线最多可以画 ▲ 条.
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B 的度数.
【答案】（1）4
（2）解：2；
想一想：5
算一算：
解：如图，△ACD与△BCD是等腰三角形，
①当DA=DC时，∠A=∠ACD=20°，此时，∠BDC=40°，若BD=BC，则∠BCD=∠BDC=40°，
∴∠B==100°；若CD=BD，则∠B=∠BCD==70°；若
CD=CB，则∠B=∠BDC=40°；
②当AC=AD时，∠ADC=∠ACD=，则∠BDC=100°，此时CD=BD，
∴∠B==40°；
③当CA=CD时，∠ADC=∠A=20°，则∠BDC=160°，此时CD=BD，
∴∠B==10°；
综上所述，∠B的度数为10°或40°或70°或100°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-等腰（等边）三角形；分类讨论
【解析】【解答】(1)
如图，符合条件的P点有4个.
故答案为：4.
（2）如（1）图，当 OA与直线l所成的锐角为60°时，此时P2、P3、P4三点重合，故符合条件的P点有2个，
故答案为：2.
想一想：
当∠BCM=50°时，△BCM为等腰三角形；
当∠BMC=50°时，△BCM为等腰三角形；
当∠BCM=65°时，△BCM为等腰三角形；
当∠ACM=20°时，△BCM为等腰三角形；
当∠ACM=80°时，△BCM为等腰三角形；
综上所述，符合条件的直线有5条，
故答案为：5.
【分析】（1）根据等腰三角形作图方法作答.
（2）根据等腰三角形定义，分类讨论腰的情况，根据三角形内角和定理计算∠B的度数.
二、题型六 三线合一
7． 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD是角平分线， 且AD=8， BC=12， 点E为AC中点，则DE的值为(　　)
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=6
∴AC=
∵E为AC的中点
∴DE=AC=5
故答案为：A .
【分析】由等腰三角形“三线合一”知CD=BC，AD⊥BC，由勾股定理得AC的长，由直角三角形的性质得DE的长.
8．如图，锐角三角形中，，，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解∶过点A作，延长，使．
．
，，
．
．
，
．
．
设，
则，
在中，
，
即，解得
，
．
故答案为：．
【分析】
如图，延长BC至点F，使CF＝AF，连接AF，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由已知等量代换可得，再由等角对等边可得AB＝AF，此时再过点A作BF的垂线段AE，则由等腰三角形三线合一可得AE平分BF，再结合已知可得BE＝16，再利用勾股定理求出AE的长即可．
9．已知，如图，，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，是的中点，
，，
；
（2）证明：如图所示：
由（1）知，，
在中，点是的中点，即是底边上的中线，
又，
由等腰三角形“三线合一”性质可得，．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接BM、DM，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证；
（2）由等腰三角形“三线合一”性质即可得证．
（1）证明：连接，如图所示：
，是的中点，
，，
；
（2）证明：如图所示：
由（1）知，，
在中，点是的中点，即是底边上的中线，
又，
由等腰三角形“三线合一”性质可得，．
三、题型七 等边三角形的性质
10．如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
同理，，
记各等边三角形的边长依次为：，
，
，
，
，
，
∴的边长为，
故选：C．
【分析】
由等边三角形的性质知，则由三角形的外角性质可得，即OA1＝B1A1，则等于等于30度，则，再由直角三角形中30度角的性质可得，同理，，记各等边三角形的边长依次为：，则，，从而可得出结果．
11．如图，中，，点D，E分别为线段上的点，，连接，已知，
（1）若，则　 　°；
（2）若，则　 　°．
【答案】15；12
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）以为边，在的下方构造等边三角形，连接，此时可以得到。设，那么根据角的和的关系可得，同时。结合三角形外角的性质可知，代入后可解出，接下来就可以利用边角边定理证明，先证明，根据全等三角形的对应角相等可以得到，最后再根据角的和差关系计算出∠DCE的度数；
（2）通过添加和第一问相同的辅助线，沿用第一问的思路完成求解.
12．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE=∠CBF：
（2）若PG=1，求EP的长度.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
在与中，
，
，
（2）解： ∵由(1)知∠ACE=∠CBF，
又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△PGE中， PE=2PG，
∵PG=1，
∴PE=2.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可得到结论；
(2)利用由(1)知 求出 又 即 得到 根据在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP的长.
四、题型八 等腰三角形的判定
13．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： A、∵a=3， b=3， c=4，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a： b： c=2： 3： 4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B=50°， ∠C=80°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A： ∠B： ∠C=1： 1： 2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的定义判断A，B选项；根据三角形的内角和定理求出三个内角的度数，然后根据等角对等边判断C，D选项即可.
14．如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　s时，△BCP为等腰三角形.
【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
15．如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点.
求证： 是等腰三角形．
证明：在中
∵，
∴ ▲ （等腰三角形 ）
∵，
∴ ▲ （两直线平行，内错角相等）
▲ ▲ （等量代换）
（在同一个三角形中， ）
即是等腰三角形．
【答案】证明：在中
∵，
∴2（等腰三角形三线合一）
∵，
∴3（两直线平行，内错角相等）
3（等量代换）
（在同一个三角形中，等角对等边）
即是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行的性质，联系证明逻辑步骤，分别进行填写即可.
五、题型九 等腰三角形性质与判定
16．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用SAS得到，即可得到，解题即可．
17．如图，在等腰中，是边上的中点，点分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值9；③的面积最小值为4.5；④长度的最小值为3．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①连接．
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，故本选项正确；
②∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积保持不变，故本选项正确；
③∵是等腰直角三角形
∴
∴当长度最小时，的面积最小，
∵当时，长度最小，此时，
∴的面积最小值，故本选项正确；
④∵是等腰直角三角形，
∴当最小时，也最小，
即当时，最小，此时，
∴，故本选项错误；
综上所述正确的有①②③．
故选：A．
【分析】
①连接，构造全等三角形，证明即可完成推导；②在证明得到的基础上，利用全等三角形面积相等进行等面积代换，即可得到对应结论；③根据可知，当时，垂线段最短，此时的长度取得最小值，对应的面积也最小，据此即可计算求解；④由①的结论可推出是等腰直角三角形，因此斜边满足，只需要求出的最小值，就能得到的最小值．
18．如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，是底边上的高线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵根据题意有，，
∴，
故答案为：3．
【分析】
根据题目中给出的已知条件，先证明三角形AEF全等于三角形CEB，由此可推出AF与BC长度相等，再结合等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到最终结论.
19．如图，中，是边上的高线，是边上的中线，．
（1）已知，求的度数．
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：∵是边上的高线，∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：连结，如图所示：
∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】
（1）根据题目给出的条件，可以直接得到，据此就可以求解第一问的结论；
（2）连接，由题目条件可推出，进一步可得到，最后结合等腰三角形的性质即可完成第二问的证明与求解.
（1）解：∵是边上的高线，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：连结，如图所示：
∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．（等腰三角形三线合一）
20．如图，已知，，E为的中点．
（1）如图1，求证：是等腰三角形；
（2）如图2，与交于点F，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
和都是直角三角形，
点E为的中点，
是斜边上的中线，
，
又是的斜边上的中线，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：过点E作于点H，如图所示：
，
，
，
是等腰直角三角形，
点E为的中点，且，
，，
，
与交于点F，且，
，
在中，由勾股定理得：，
于点H，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知：是等腰三角形，
，
，
的长为
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据题意可知，和均为直角三角形，结合直角三角形斜边中线的性质，可以得到，，由此即可推导出对应结论；
过点E作，垂足为点H，根据题意可得是等腰直角三角形，进一步可以推出，，且。在中，由勾股定理计算可得；再根据三角形面积公式可以得到。在中，由勾股定理计算可得。结合第(1)问的结论可知是等腰三角形，因此，根据该关系即可求出的长度.
（1）证明：，，
，
和都是直角三角形，
点E为的中点，
是斜边上的中线，
，
又是的斜边上的中线，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：过点E作于点H，如图所示：
，
，
，
是等腰直角三角形，
点E为的中点，且，
，，
，
与交于点F，且，
，
在中，由勾股定理得：，
于点H，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知：是等腰三角形，
，
，
的长为
六、题型十 等边三角形的判定
21．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
22．如图，在四边形中，，为对角线，，。
（1）求证：。
（2）当时，求证：是等边三角形。
【答案】（1）证明： 在 和 中，
所以 （SSS）
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是等边三角形
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据三边相等证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到△BCD是等腰直角三角形哪个，然后根据勾股定理求出BD长，即可得到结论.
七、题型十一 等边三角形的性质与判定
23．如图，在，，为上一点，，在右侧作，使，，连接、，交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
已知AB=AC，根据等边对等角的性质可得。结合题中给定的边的相等关系，可以证明，由全等三角形对应角相等可得，再结合CE平行于BD，根据平行线的性质可以推出，由此可证明是等边三角形，进一步可证明是等边三角形，因此可得，最后结合三角形外角的性质即可得到。
24．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，平分，
，，为中点，
，，
，
作点关于的对称点，则，连接交于，如图，
则，
此时的值最小，最小值为，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为．
故选：B．
【分析】 利用轴对称求最短路径，作点关于的对称点，连接交于，依据两点之间线段最短，此时线段和最小，最小值为；再根据题目给出的等边三角形条件，证得对应的三角形也为等边三角形，利用等边三角形边角关系，计算得到所求数值 ．
25．如图， 在等边△ABC中， 点D、E分别在边AB、AC上， DE∥BC， 点F在BC延长线上，且EB=EF， 若BD=4， BF=8， 则线段DE的长为 　 　 .
【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BF，
设DE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°
∵DE//BC.
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°
∴△ADE是等边三角形
∵BD=4.
∴EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°
在Rt△CHE中，
∵∠ACB=60°，EC=BD=4，
∴∠HEC=180°-∠ACB-∠EHC=180°-60°-90°=30°
∴
∴BH=BC-CH=4+x-2=2+x，
∵EB=EF.
∴△EBF是等腰三角形
∵EH⊥BF，BF=8.
∴BH=FH=4，
∴2+x=4
∴x=2
∴DE=2
故答案为：2.
【分析】过E点作EH⊥BF，设DE=x，根据△ABC是等边三角形，DE//BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD=4，得到EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°，在Rt△CHE中求得CH=2，表示出BH=2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF=8，得到BH=FH=4，即可求得线段DE的长.
26．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到OC=CD，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）△AOD是直角三角形，理由如下：由等边三角形每一个内角都等于60°得出∠ODC=60°，由全等三角形的对应角相等得出∠ADC=150°，然后根据角的构成可求出∠ADO=90°，从而根据直角三角形的定义可得结论；
（3）根据周角得，由角的构成可得，由三角形的内角和定理求出∠OAD=50°；分①，②，③三种情况，分别根据等边对等角建立方程，求解即可得出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
27．【问题背景】如图1，已知：在中，，P是的中点，D是延长线上的一点，，连接，．
【初步探究】（1）若，，求的长；
【变式探究】（2）如图2，过点B作，交延长线于点E，试探究线段与间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】（3）如图3，若【问题背景】中条件改为：，P是的中点，，，，求的长．
【答案】解：（1）∵，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵P是的中点，，
∴，
∴.
（2），理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）如图，延长至，使，连接，，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）题目给出，且是等边三角形，因此可以推出，由此先得到，再进一步计算得到最终结果。
（2）如图，连接，先证，再证是等边三角形，即可推出，进一步推导即可得到对应结论。
（3）如图，延长到，使，再依次连接和，先证，再证，由此可得，，接着证明，可以推出，，，最后结合勾股定理即可求出对应结果.
1 / 1专题二 特殊三角形（2）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型五 等腰三角形的边和角
1．等腰三角形的两边长分别是4和8．则它的周长为（　　）
A．16 B．20 C．20或16 D．24
2． 若一个等腰三角形有一个角为，则这个三角形顶角为（　　）
A． B．或 C． D．或
3．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　）
A． B． C．或 D．或
4．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　 　．
5．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；
（2）能围成有一边长为的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长．
6．
（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为 以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个
（2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 ▲ 个.
想一想： 如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50°过顶点C作一条直线， 分割出一个等腰三角形，这样的直线最多可以画 ▲ 条.
算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B 的度数.
二、题型六 三线合一
7． 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD是角平分线， 且AD=8， BC=12， 点E为AC中点，则DE的值为(　　)
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
8．如图，锐角三角形中，，，，则的面积为　 　．
9．已知，如图，，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
三、题型七 等边三角形的性质
10．如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，中，，点D，E分别为线段上的点，，连接，已知，
（1）若，则　 　°；
（2）若，则　 　°．
12．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE=∠CBF：
（2）若PG=1，求EP的长度.
四、题型八 等腰三角形的判定
13．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
14．如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　s时，△BCP为等腰三角形.
15．如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点.
求证： 是等腰三角形．
证明：在中
∵，
∴ ▲ （等腰三角形 ）
∵，
∴ ▲ （两直线平行，内错角相等）
▲ ▲ （等量代换）
（在同一个三角形中， ）
即是等腰三角形．
五、题型九 等腰三角形性质与判定
16．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在等腰中，是边上的中点，点分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值9；③的面积最小值为4.5；④长度的最小值为3．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
18．如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为　 　．
19．如图，中，是边上的高线，是边上的中线，．
（1）已知，求的度数．
（2）若，求证：．
20．如图，已知，，E为的中点．
（1）如图1，求证：是等腰三角形；
（2）如图2，与交于点F，若，，，求的长．
六、题型十 等边三角形的判定
21．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（　　）
A． B．
C． D．，且
22．如图，在四边形中，，为对角线，，。
（1）求证：。
（2）当时，求证：是等边三角形。
七、题型十一 等边三角形的性质与判定
23．如图，在，，为上一点，，在右侧作，使，，连接、，交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
24．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
25．如图， 在等边△ABC中， 点D、E分别在边AB、AC上， DE∥BC， 点F在BC延长线上，且EB=EF， 若BD=4， BF=8， 则线段DE的长为 　 　 .
26．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
27．【问题背景】如图1，已知：在中，，P是的中点，D是延长线上的一点，，连接，．
【初步探究】（1）若，，求的长；
【变式探究】（2）如图2，过点B作，交延长线于点E，试探究线段与间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】（3）如图3，若【问题背景】中条件改为：，P是的中点，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况：
当4为腰长，8为底边长时，
∵，不符合三角形三边关系，
∴该三角形不存在；
当8为腰长，4为底边长时，
∵，符合三角形三边关系，
∴该三角形周长为：；
故选：B．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，计算时需要分情况讨论验证能否构成三角形：若腰长为4、底边长为8，此时不满足三角形三边关系，对应的三角形不存在；若腰长为8、底边长为4，符合三角形三边关系，在此基础上即可计算得到该等腰三角形的周长.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：当这个角为顶角时，顶角等于；
当这个角为底角时，.
故正确答数为：D
【分析】分类讨论，即当这个角为顶角或这个角为底角时，若为顶角直接得出答案，若为底角，则由三角形的内角和定理计算即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当周长为20的等腰三角形中腰长为6时，底边长为，
又∵6+6＞8，
∴和谐比为：；
当周长为20的等腰三角形中底边为6时， 腰长为，
∵7+6＞7
∴和谐比为：．
综上，该等腰三角形的和谐比为或．
故答案为：C．
【分析】由于等腰三角形两腰长相等，且长度为6的边没有明确告知是底边还是腰长，故需要分腰长为6时与底边长为6时两种情况，结合周长计算公式求出相应的底边及腰长，再判断所求结果是否满足三角形三边关系，最后根据“和谐比”定义求出答案即可.
4．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴a－1=0，b－2=0，
解得a=1，b=2．
①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能组成三角形．
②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，
∴周长=2+2+1=5．
故答案为：5
【分析】偶次方、绝对值的结果都是非负数；若几个非负数相加等于 0，则每一项都等于 0；由此列出 a－1=0，b－2=0， 计算出a与b；再运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三条边的取值范围．
5．【答案】（1）解：设底边长为，则腰长为，
由题意可得，，
解得，
∴，
即腰长为；
（2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，
当腰长为时，则底边长为，
∵，
∴能围成腰长为的等腰三角形，
∴此时等腰三角形的底边长；
当底边长为时，则腰长为，
∵，
∴能围成底边长为的等腰三角形，
综上所述，等腰三角形的底边长为或．
【知识点】三角形三边关系；一元一次方程的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）设底边长为，根据题意得出腰长为，再根据等腰三角形的周长为35cm列出方程，解方程求出x的值，即可得出腰长；
（2）利用分类讨论的思想，令分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，从而得出底边长，即可得出答案．
（1）解：设底边长为，则腰长为，
由题意可得，，解得，
∴，即腰长为；
（2）解：能围成有一边长为的等腰三角形，
当腰长为时，则底边长为，
∵，
∴能围成有腰长为的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为、，
∴此时等腰三角形底边长；
当底边长为时，则腰长为，
显然成立，
∴三角形的另外两边长为、，
∴此时等腰三角形底边长．
由上可得，三角形的底边长为或．
6．【答案】（1）4
（2）解：2；
想一想：5
算一算：
解：如图，△ACD与△BCD是等腰三角形，
①当DA=DC时，∠A=∠ACD=20°，此时，∠BDC=40°，若BD=BC，则∠BCD=∠BDC=40°，
∴∠B==100°；若CD=BD，则∠B=∠BCD==70°；若
CD=CB，则∠B=∠BDC=40°；
②当AC=AD时，∠ADC=∠ACD=，则∠BDC=100°，此时CD=BD，
∴∠B==40°；
③当CA=CD时，∠ADC=∠A=20°，则∠BDC=160°，此时CD=BD，
∴∠B==10°；
综上所述，∠B的度数为10°或40°或70°或100°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-等腰（等边）三角形；分类讨论
【解析】【解答】(1)
如图，符合条件的P点有4个.
故答案为：4.
（2）如（1）图，当 OA与直线l所成的锐角为60°时，此时P2、P3、P4三点重合，故符合条件的P点有2个，
故答案为：2.
想一想：
当∠BCM=50°时，△BCM为等腰三角形；
当∠BMC=50°时，△BCM为等腰三角形；
当∠BCM=65°时，△BCM为等腰三角形；
当∠ACM=20°时，△BCM为等腰三角形；
当∠ACM=80°时，△BCM为等腰三角形；
综上所述，符合条件的直线有5条，
故答案为：5.
【分析】（1）根据等腰三角形作图方法作答.
（2）根据等腰三角形定义，分类讨论腰的情况，根据三角形内角和定理计算∠B的度数.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=6
∴AC=
∵E为AC的中点
∴DE=AC=5
故答案为：A .
【分析】由等腰三角形“三线合一”知CD=BC，AD⊥BC，由勾股定理得AC的长，由直角三角形的性质得DE的长.
8．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解∶过点A作，延长，使．
．
，，
．
．
，
．
．
设，
则，
在中，
，
即，解得
，
．
故答案为：．
【分析】
如图，延长BC至点F，使CF＝AF，连接AF，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由已知等量代换可得，再由等角对等边可得AB＝AF，此时再过点A作BF的垂线段AE，则由等腰三角形三线合一可得AE平分BF，再结合已知可得BE＝16，再利用勾股定理求出AE的长即可．
9．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，是的中点，
，，
；
（2）证明：如图所示：
由（1）知，，
在中，点是的中点，即是底边上的中线，
又，
由等腰三角形“三线合一”性质可得，．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接BM、DM，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证；
（2）由等腰三角形“三线合一”性质即可得证．
（1）证明：连接，如图所示：
，是的中点，
，，
；
（2）证明：如图所示：
由（1）知，，
在中，点是的中点，即是底边上的中线，
又，
由等腰三角形“三线合一”性质可得，．
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
同理，，
记各等边三角形的边长依次为：，
，
，
，
，
，
∴的边长为，
故选：C．
【分析】
由等边三角形的性质知，则由三角形的外角性质可得，即OA1＝B1A1，则等于等于30度，则，再由直角三角形中30度角的性质可得，同理，，记各等边三角形的边长依次为：，则，，从而可得出结果．
11．【答案】15；12
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）以为边，在的下方构造等边三角形，连接，此时可以得到。设，那么根据角的和的关系可得，同时。结合三角形外角的性质可知，代入后可解出，接下来就可以利用边角边定理证明，先证明，根据全等三角形的对应角相等可以得到，最后再根据角的和差关系计算出∠DCE的度数；
（2）通过添加和第一问相同的辅助线，沿用第一问的思路完成求解.
12．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
在与中，
，
，
（2）解： ∵由(1)知∠ACE=∠CBF，
又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△PGE中， PE=2PG，
∵PG=1，
∴PE=2.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)证明 即可得到结论；
(2)利用由(1)知 求出 又 即 得到 根据在直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP的长.
13．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： A、∵a=3， b=3， c=4，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a： b： c=2： 3： 4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B=50°， ∠C=80°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A： ∠B： ∠C=1： 1： 2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的定义判断A，B选项；根据三角形的内角和定理求出三个内角的度数，然后根据等角对等边判断C，D选项即可.
14．【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
15．【答案】证明：在中
∵，
∴2（等腰三角形三线合一）
∵，
∴3（两直线平行，内错角相等）
3（等量代换）
（在同一个三角形中，等角对等边）
即是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行的性质，联系证明逻辑步骤，分别进行填写即可.
16．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用SAS得到，即可得到，解题即可．
17．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①连接．
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，故本选项正确；
②∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积保持不变，故本选项正确；
③∵是等腰直角三角形
∴
∴当长度最小时，的面积最小，
∵当时，长度最小，此时，
∴的面积最小值，故本选项正确；
④∵是等腰直角三角形，
∴当最小时，也最小，
即当时，最小，此时，
∴，故本选项错误；
综上所述正确的有①②③．
故选：A．
【分析】
①连接，构造全等三角形，证明即可完成推导；②在证明得到的基础上，利用全等三角形面积相等进行等面积代换，即可得到对应结论；③根据可知，当时，垂线段最短，此时的长度取得最小值，对应的面积也最小，据此即可计算求解；④由①的结论可推出是等腰直角三角形，因此斜边满足，只需要求出的最小值，就能得到的最小值．
18．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，是底边上的高线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵根据题意有，，
∴，
故答案为：3．
【分析】
根据题目中给出的已知条件，先证明三角形AEF全等于三角形CEB，由此可推出AF与BC长度相等，再结合等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到最终结论.
19．【答案】（1）解：∵是边上的高线，∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：连结，如图所示：
∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】
（1）根据题目给出的条件，可以直接得到，据此就可以求解第一问的结论；
（2）连接，由题目条件可推出，进一步可得到，最后结合等腰三角形的性质即可完成第二问的证明与求解.
（1）解：∵是边上的高线，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：连结，如图所示：
∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．（等腰三角形三线合一）
20．【答案】（1）证明：，，
，
和都是直角三角形，
点E为的中点，
是斜边上的中线，
，
又是的斜边上的中线，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：过点E作于点H，如图所示：
，
，
，
是等腰直角三角形，
点E为的中点，且，
，，
，
与交于点F，且，
，
在中，由勾股定理得：，
于点H，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知：是等腰三角形，
，
，
的长为
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据题意可知，和均为直角三角形，结合直角三角形斜边中线的性质，可以得到，，由此即可推导出对应结论；
过点E作，垂足为点H，根据题意可得是等腰直角三角形，进一步可以推出，，且。在中，由勾股定理计算可得；再根据三角形面积公式可以得到。在中，由勾股定理计算可得。结合第(1)问的结论可知是等腰三角形，因此，根据该关系即可求出的长度.
（1）证明：，，
，
和都是直角三角形，
点E为的中点，
是斜边上的中线，
，
又是的斜边上的中线，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：过点E作于点H，如图所示：
，
，
，
是等腰直角三角形，
点E为的中点，且，
，，
，
与交于点F，且，
，
在中，由勾股定理得：，
于点H，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
由可知：是等腰三角形，
，
，
的长为
21．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
22．【答案】（1）证明： 在 和 中，
所以 （SSS）
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是等边三角形
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据三边相等证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到△BCD是等腰直角三角形哪个，然后根据勾股定理求出BD长，即可得到结论.
23．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
已知AB=AC，根据等边对等角的性质可得。结合题中给定的边的相等关系，可以证明，由全等三角形对应角相等可得，再结合CE平行于BD，根据平行线的性质可以推出，由此可证明是等边三角形，进一步可证明是等边三角形，因此可得，最后结合三角形外角的性质即可得到。
24．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；角平分线的概念；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，平分，
，，为中点，
，，
，
作点关于的对称点，则，连接交于，如图，
则，
此时的值最小，最小值为，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为．
故选：B．
【分析】 利用轴对称求最短路径，作点关于的对称点，连接交于，依据两点之间线段最短，此时线段和最小，最小值为；再根据题目给出的等边三角形条件，证得对应的三角形也为等边三角形，利用等边三角形边角关系，计算得到所求数值 ．
25．【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BF，
设DE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°
∵DE//BC.
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°
∴△ADE是等边三角形
∵BD=4.
∴EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°
在Rt△CHE中，
∵∠ACB=60°，EC=BD=4，
∴∠HEC=180°-∠ACB-∠EHC=180°-60°-90°=30°
∴
∴BH=BC-CH=4+x-2=2+x，
∵EB=EF.
∴△EBF是等腰三角形
∵EH⊥BF，BF=8.
∴BH=FH=4，
∴2+x=4
∴x=2
∴DE=2
故答案为：2.
【分析】过E点作EH⊥BF，设DE=x，根据△ABC是等边三角形，DE//BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD=4，得到EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°，在Rt△CHE中求得CH=2，表示出BH=2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF=8，得到BH=FH=4，即可求得线段DE的长.
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到OC=CD，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）△AOD是直角三角形，理由如下：由等边三角形每一个内角都等于60°得出∠ODC=60°，由全等三角形的对应角相等得出∠ADC=150°，然后根据角的构成可求出∠ADO=90°，从而根据直角三角形的定义可得结论；
（3）根据周角得，由角的构成可得，由三角形的内角和定理求出∠OAD=50°；分①，②，③三种情况，分别根据等边对等角建立方程，求解即可得出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
27．【答案】解：（1）∵，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵P是的中点，，
∴，
∴.
（2），理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）如图，延长至，使，连接，，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）题目给出，且是等边三角形，因此可以推出，由此先得到，再进一步计算得到最终结果。
（2）如图，连接，先证，再证是等边三角形，即可推出，进一步推导即可得到对应结论。
（3）如图，延长到，使，再依次连接和，先证，再证，由此可得，，接着证明，可以推出，，，最后结合勾股定理即可求出对应结果.
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