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专题二 特殊三角形（3）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型十二 逆命题逆定理
1．下列说法中，正确的是
A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
2．命题“等边三角形有一个角等于60°”的逆命题是　 　.逆命题是一个　 　命题（填“真”或“假”）.
3．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：　 　
二、题型十三 直角三角形的性质
4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（　　）
A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
5．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则　 　．
三、题型十四 直角三角形的判定
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．a： b： c=5： 12： 13
C．∠C=∠A-∠B
D．
7．如图，四边形为长方形，长，宽，点的中点，点在线段上运动，连接．
⑴当　 　时，是以为斜边的直角三角形；
⑵当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为　 　.
8． 在△ABC中， ∠ACB=90°， D为△ABC内一点， 连接BD， DC， 延长DC到点E，使得CE=DC.
（1）如图1， 延长BC到点 F， 使得CF=BC， 连接AF， EF.
①求证： △BDC≌△FEC
②若AF⊥EF， 求证： BD⊥AF.
（2）连接AE，交BD 的延长线于点 H，连接CH，依题意补全图2.若. 用等式表示线段 CD与CH的数量关系，并证明.
四、题型十五 勾股定理解三角形
9．如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
10．在Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是的面积的一半，则　 　
11．如图，∠ADE=∠CFD=90°，AD=CF，DE=DF.
（1）求证：△ADE≌△CFD.
（2）若F为AD的中点，CD=6，BD=4，求DE和BE的长.
五、题型十六 勾股数问题
12．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（　　）
A． B． C． D．
六、题型十七 弦图背景的计算题
13．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 则大正方形面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
14．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　.
15．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程．
（2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，．
①求停靠站A与D之间的距离；
②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离．
七、题型十八 勾股定理的应用
16．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　)
A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米
17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为　 　．
18．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动．
（1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
八、题型十九 勾股定理逆定理及应用
19． 如图，每个小正方形的边长都相等，点，，均在小正方形的顶点上，则的度数为　 　．
20．如图，，，，，，
（1）判断的形状并说明理由；
（2）计算四边形的面积．
21．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？
九、题型二十 直角三角形全等的判定
22．如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在边AC上，连接DE，且DE=DB.若△ADE面积为4，AE=2EC，则△ABC面积=　 　 .
24． 如图，在和中，，，与相交于点O．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】任何一个命题都包括题设可结论两部分，将一个命题的题设和结论交换位置即可得出该命题的逆命题；一个命题正确，其逆命题不一定正确，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】有一个角等于60°的三角形是等边三角形；；假.
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形，此命题为假命题，
故答案为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形．
【分析】
要得到一个命题的逆命题，只需要将原命题的条件和结论互换位置即可。原命题“等边三角形有一个角等于60°”中，条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它有一个角等于60°”，互换条件和结论后，得到的逆命题为“有一个角等于60°的三角形是等边三角形”，之后再对这个逆命题的真假进行判断即可.
3．【答案】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，
其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”．
故填：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【分析】根据逆定理的概念，将原定理的条件和结论互换得到的，得出逆定理为到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，P为的中点，
∴，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而得出的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，即可得出答案．
5．【答案】
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
，
直尺的两对边平行，
，
故答案为：．
【分析】首先借助三角形外角的性质可以推导出，再结合平行线的性质两直线平行，内错角相等。可以得到，代入角度即可计算出最终结果。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A：由可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴没有角，故不是直角三角形；
对于B：设，
∵，
∴是直角三角形；
对于C：∵，且，
∴，
∴是直角三角形；
对于D：∵，
∴，故是直角三角形；
因此，不是直角三角形的只有A；
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各选项是否满足直角三角形的条件即可．
7．【答案】；15.5
【知识点】矩形的性质；图形的剪拼；矩形翻折模型；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（）如图，当时，是以为斜边的直角三角形，
∵四边形为长方形
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）当时，如图，过点作于，
则，
∴；
当且点在的中点左侧时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当且点在的中点右侧时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴；
综上，所有满足条件的的值为，，，，
∴所有满足条件的的值的和为，
故答案为：．
【分析】（）根据勾股定理解答即可；
（）根据等腰三角形的定义，分四种情况，分别画出图形，求出的值，进而相加即可求解；
8．【答案】（1）解：①： 在△BCD 和△FCE 中，
∴△BCD≌△FCE；
②： 猜想BD⊥AF， 理由如下：
由①得∴△BCD≌△FCE，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下，猜想：CD=CH.
延长BC到 F， 使CF=BC， 连接AF， EF，
∵AC⊥BF， BC=CF，
∴AB=AF，
由 (1) 可知BD∥EF， BD=EF，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行；直角三角形的判定
【解析】【分析】 （1）①利用SAS证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD=EF，证出∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性质可得出结论.
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵、的中垂线分别交于点和点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理，根据”垂直平分线上的点到线段两端距离相等“得AD=BD、AE=CE，再结合勾股定理和线段的和差关系求线段长度.
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过作于，
∵是的中点，AB=12，
∴=6，
∵的面积是的面积的一半，，
=3，
∴BF=BD-DF=3=DF，
由折叠可得，≌，
∴，=6，
∴的面积是的面积的一半，
∴，
∴是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴.
故填：.
【分析】连接，过作于，根据是的中点，得出=6，根据
的面积是的面积的一半，得出=3，从而得出BF=3=DF，根据折叠的性质得出，=6，从而得出，，利用SAS证出，得出，利用勾股定理即可得出CE的长.
11．【答案】（1）证明：在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（SAS）
（2）解：∵CD=6，BD=4，
∴BC=CD+BD=6+4=10，
由（1）得△ADE≌△CFD，
∴AE=CD=6，∠DAE=∠FCD，
∵∠CFD=90°，F为AD的中点，
∴CF垂直平分AD，
∴CA=CD=6，
∴∠FCA=∠FCD，
∴∠DAE=∠FCA，
∴∠BAC=∠DAE+∠DAC=∠FCA+∠DAC=∠CFD=90°，
==，
∴BE=AB-AE=8-6=2；
∵DE=DF=AF，
∴AD=2DF=2DE，
===，
=，
的长为，BE的长为.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据条件并结合图形，利用SAS即可证明；
（2）先求出BC的长度，然后根据（1）的证明结果可以得出AE=CD=6，∠DAE=∠FCD；依据垂直平分线的定义可以出CA=CD=6，并逐步推出∠BAC=90°，利用勾股定理求出AB=8，并得出BE=2，AD=2DF=2DE，此时继续利用勾股定理列示化简得出AE=，从而得出DE的长度和BE的长度。
12．【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴
∴
∴弦为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：进而即可求解.
13．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：据题意知，小正方形的边长为（m-n），
∴（m-n）2=3，
又 ，
∴
∴①+②，得2m2+2n2=18，
∴m2+n2=9，
即 大正方形面积为 9.
故答案为：B.
【分析】根据题意得（m-n）2=3， ，从而得m2+n2=9.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
∵AE+BE=7，
∴，
∴AE·BE.
∴.
如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，
∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，
∵AH=CG，
∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，
∴AE=CG，
∴△AEP△CGQ，
∴，EP=GQ，
∴，
∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，
∴PF=HQ，
∴.
∴△CFP与△AEP的面积差是.
故填：.
【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.
15．【答案】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为，大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为，
大正方形的面积，
∴，
化简可得，；
（2）①当时，A到停靠站D的距离最短，
在中，，
∴，
答：停靠站A与D之间的距离为；
②设，
∵，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
即，
答：停靠站B到村庄C的距离为．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理的证明；平行四边形的面积；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】
（1）用两种不同的方法表示图1中大正方形的面积，通过面积相等即可验证勾股定理；
（2）①直接利用勾股定理就可以计算出的长度；②设，结合勾股定理建立方程，解方程就能得到对应结果.
16．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，AE＝1.5米，BE＝2米，CE＝2.4米，AB＝CD，
由勾股定理得，AB＝，
，
即梯子的底端向左移了1.3米；
故选：C.
【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BE的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设，
∵绳索长度不变，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中，，代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】
秋千摆动时绳长始终保持不变，因此可得。已知秋千初始位置的高度和推送后的高度分别为和，由此可以推出。设绳长，那么，在直角三角形中，三边满足勾股定理，代入求解即可得到未知数的值。
18．【答案】（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】
（1）在中，借助勾股定理计算出的长度，结合题目给出的台风移动速度，就可以求出台风中心从B移动到D所花费的时间；
（2）假设A市在台风移动到P点时开始受到影响，移动到Q点时结束影响，结合题意确定对应图形后，可以得到，A市会在台风位于P到Q之间的路段时受到影响，只要算出PQ的长度，再结合台风速度就可以求出A市受台风影响的总时长.
（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
19．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AC，
设每个小正方形边长为1，由勾股定理可得：
，，，
∵，，
∴，
∴△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
故答案为：．
【分析】先根据网格设小正方形边长为1，再利用勾股定理求出AC=5，BC=5，AB=10，先判定两边相等得到等腰三角形，再通过三边平方关系判定直角，最后由等腰直角三角形底角为45°求出∠ABC=45°．
20．【答案】（1）解：是直角三角形．理由如下：
连接，
∵，，，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：在中，，
在中，，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）△ACD是直角三角形，理由如下：连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，然后根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形；
（2）根据三角形的面积公式分别算出△ABC与△ACD的面积，然后根据S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC可求出答案.
（1）解：是直角三角形．
理由如下：连接，∵，，，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：在中，，
在中，，
∴．
21．【答案】（1）解：△ACB是直角三角形，理由如下：
∵在中，，，，
∵，
∴，，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
．
在中，，
一辆货车从处经过点到处的路程．
故一辆货车从处经过点到处的路程是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断即可；
（2）由等面积法建立方程求出CD的长，在Rt△BDC中，根据勾股定理求出BD，再计算即可．
（1）解：∵在中，，，，
∵，
∴，，
∴是直角三角形．
（2）解：∵，
．
在中，，
一辆货车从处经过点到处的路程．
故一辆货车从处经过点到处的路程是．
22．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵以点C为圆心，为半径画弧交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧交延长线于点E，
∴，
又∵，
∴与都是直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
根据题干的作图过程可以得到，由此可以证明，根据全等三角形对应边相等，可推出，再根据这个关系即可求解题目.
23．【答案】14
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB
∴DA=DF
∵DE=DB
∴△CDE≌△FDB(HL)
∴BF=EC
∵DC=DF，AD=AD
∴△ADC≌△ADF(HL)
∴AF=AC
设EC=m，CD=n，则AE=2m，BF=m，DF=n，AC=3m，AF=3m，
，即有mn=4，
故答案：14.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质知DC=DF，由此可证△CDE≌△FDB、△ADC≌△ADF，得AF=AC，BF=CE，设EC=m，CD=n，得mn=4，由此可得△ABC的面积.
24．【答案】（1）证明：∵∠A=∠D=90°
∴△ABC与△DCB均为直角三角形
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)
（2）解：△OBC是等腰三角形，证明如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】(1)先根据∠A，∠D为直角判定两个三角形是直角三角形，再观察到斜边BC为公共边，已知直角边AC=BD，最后根据直角三角形全等HL判定定理完成证明；
(2)先根据第一问全等得到对应角∠ACB=∠DBC，再依据等角对等边推出OB=OC，从而判定三角形为等腰三角形．
1 / 1专题二 特殊三角形（3）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型十二 逆命题逆定理
1．下列说法中，正确的是
A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】任何一个命题都包括题设可结论两部分，将一个命题的题设和结论交换位置即可得出该命题的逆命题；一个命题正确，其逆命题不一定正确，从而即可一一判断得出答案.
2．命题“等边三角形有一个角等于60°”的逆命题是　 　.逆命题是一个　 　命题（填“真”或“假”）.
【答案】有一个角等于60°的三角形是等边三角形；；假.
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形，此命题为假命题，
故答案为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形．
【分析】
要得到一个命题的逆命题，只需要将原命题的条件和结论互换位置即可。原命题“等边三角形有一个角等于60°”中，条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它有一个角等于60°”，互换条件和结论后，得到的逆命题为“有一个角等于60°的三角形是等边三角形”，之后再对这个逆命题的真假进行判断即可.
3．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：　 　
【答案】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，
其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”．
故填：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【分析】根据逆定理的概念，将原定理的条件和结论互换得到的，得出逆定理为到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可得出答案.
二、题型十三 直角三角形的性质
4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（　　）
A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小
C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，P为的中点，
∴，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而得出的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，即可得出答案．
5．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
，
直尺的两对边平行，
，
故答案为：．
【分析】首先借助三角形外角的性质可以推导出，再结合平行线的性质两直线平行，内错角相等。可以得到，代入角度即可计算出最终结果。
三、题型十四 直角三角形的判定
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．a： b： c=5： 12： 13
C．∠C=∠A-∠B
D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A：由可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴没有角，故不是直角三角形；
对于B：设，
∵，
∴是直角三角形；
对于C：∵，且，
∴，
∴是直角三角形；
对于D：∵，
∴，故是直角三角形；
因此，不是直角三角形的只有A；
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各选项是否满足直角三角形的条件即可．
7．如图，四边形为长方形，长，宽，点的中点，点在线段上运动，连接．
⑴当　 　时，是以为斜边的直角三角形；
⑵当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为　 　.
【答案】；15.5
【知识点】矩形的性质；图形的剪拼；矩形翻折模型；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（）如图，当时，是以为斜边的直角三角形，
∵四边形为长方形
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）当时，如图，过点作于，
则，
∴；
当且点在的中点左侧时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当且点在的中点右侧时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴；
综上，所有满足条件的的值为，，，，
∴所有满足条件的的值的和为，
故答案为：．
【分析】（）根据勾股定理解答即可；
（）根据等腰三角形的定义，分四种情况，分别画出图形，求出的值，进而相加即可求解；
8． 在△ABC中， ∠ACB=90°， D为△ABC内一点， 连接BD， DC， 延长DC到点E，使得CE=DC.
（1）如图1， 延长BC到点 F， 使得CF=BC， 连接AF， EF.
①求证： △BDC≌△FEC
②若AF⊥EF， 求证： BD⊥AF.
（2）连接AE，交BD 的延长线于点 H，连接CH，依题意补全图2.若. 用等式表示线段 CD与CH的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：①： 在△BCD 和△FCE 中，
∴△BCD≌△FCE；
②： 猜想BD⊥AF， 理由如下：
由①得∴△BCD≌△FCE，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下，猜想：CD=CH.
延长BC到 F， 使CF=BC， 连接AF， EF，
∵AC⊥BF， BC=CF，
∴AB=AF，
由 (1) 可知BD∥EF， BD=EF，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行；直角三角形的判定
【解析】【分析】 （1）①利用SAS证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD=EF，证出∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性质可得出结论.
四、题型十五 勾股定理解三角形
9．如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵、的中垂线分别交于点和点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理，根据”垂直平分线上的点到线段两端距离相等“得AD=BD、AE=CE，再结合勾股定理和线段的和差关系求线段长度.
10．在Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是的面积的一半，则　 　
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过作于，
∵是的中点，AB=12，
∴=6，
∵的面积是的面积的一半，，
=3，
∴BF=BD-DF=3=DF，
由折叠可得，≌，
∴，=6，
∴的面积是的面积的一半，
∴，
∴是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴.
故填：.
【分析】连接，过作于，根据是的中点，得出=6，根据
的面积是的面积的一半，得出=3，从而得出BF=3=DF，根据折叠的性质得出，=6，从而得出，，利用SAS证出，得出，利用勾股定理即可得出CE的长.
11．如图，∠ADE=∠CFD=90°，AD=CF，DE=DF.
（1）求证：△ADE≌△CFD.
（2）若F为AD的中点，CD=6，BD=4，求DE和BE的长.
【答案】（1）证明：在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（SAS）
（2）解：∵CD=6，BD=4，
∴BC=CD+BD=6+4=10，
由（1）得△ADE≌△CFD，
∴AE=CD=6，∠DAE=∠FCD，
∵∠CFD=90°，F为AD的中点，
∴CF垂直平分AD，
∴CA=CD=6，
∴∠FCA=∠FCD，
∴∠DAE=∠FCA，
∴∠BAC=∠DAE+∠DAC=∠FCA+∠DAC=∠CFD=90°，
==，
∴BE=AB-AE=8-6=2；
∵DE=DF=AF，
∴AD=2DF=2DE，
===，
=，
的长为，BE的长为.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据条件并结合图形，利用SAS即可证明；
（2）先求出BC的长度，然后根据（1）的证明结果可以得出AE=CD=6，∠DAE=∠FCD；依据垂直平分线的定义可以出CA=CD=6，并逐步推出∠BAC=90°，利用勾股定理求出AB=8，并得出BE=2，AD=2DF=2DE，此时继续利用勾股定理列示化简得出AE=，从而得出DE的长度和BE的长度。
五、题型十六 勾股数问题
12．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴
∴
∴弦为
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：进而即可求解.
六、题型十七 弦图背景的计算题
13．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 则大正方形面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：据题意知，小正方形的边长为（m-n），
∴（m-n）2=3，
又 ，
∴
∴①+②，得2m2+2n2=18，
∴m2+n2=9，
即 大正方形面积为 9.
故答案为：B.
【分析】根据题意得（m-n）2=3， ，从而得m2+n2=9.
14．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
∵AE+BE=7，
∴，
∴AE·BE.
∴.
如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，
∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，
∵AH=CG，
∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，
∴AE=CG，
∴△AEP△CGQ，
∴，EP=GQ，
∴，
∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，
∴PF=HQ，
∴.
∴△CFP与△AEP的面积差是.
故填：.
【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.
15．（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程．
（2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，．
①求停靠站A与D之间的距离；
②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离．
【答案】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为，大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为，
大正方形的面积，
∴，
化简可得，；
（2）①当时，A到停靠站D的距离最短，
在中，，
∴，
答：停靠站A与D之间的距离为；
②设，
∵，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
即，
答：停靠站B到村庄C的距离为．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；勾股定理的证明；平行四边形的面积；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】
（1）用两种不同的方法表示图1中大正方形的面积，通过面积相等即可验证勾股定理；
（2）①直接利用勾股定理就可以计算出的长度；②设，结合勾股定理建立方程，解方程就能得到对应结果.
七、题型十八 勾股定理的应用
16．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　)
A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，AE＝1.5米，BE＝2米，CE＝2.4米，AB＝CD，
由勾股定理得，AB＝，
，
即梯子的底端向左移了1.3米；
故选：C.
【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BE的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果．
17．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设，
∵绳索长度不变，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中，，代入得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】
秋千摆动时绳长始终保持不变，因此可得。已知秋千初始位置的高度和推送后的高度分别为和，由此可以推出。设绳长，那么，在直角三角形中，三边满足勾股定理，代入求解即可得到未知数的值。
18．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动．
（1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】
（1）在中，借助勾股定理计算出的长度，结合题目给出的台风移动速度，就可以求出台风中心从B移动到D所花费的时间；
（2）假设A市在台风移动到P点时开始受到影响，移动到Q点时结束影响，结合题意确定对应图形后，可以得到，A市会在台风位于P到Q之间的路段时受到影响，只要算出PQ的长度，再结合台风速度就可以求出A市受台风影响的总时长.
（1）解：由题意得，在中，
，
，
（小时），
即台风中心从点移到点需要6小时；
（2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、，
则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
，，
，
，
（小时）
市受台风影响的时间为小时．
八、题型十九 勾股定理逆定理及应用
19． 如图，每个小正方形的边长都相等，点，，均在小正方形的顶点上，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接AC，
设每个小正方形边长为1，由勾股定理可得：
，，，
∵，，
∴，
∴△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
故答案为：．
【分析】先根据网格设小正方形边长为1，再利用勾股定理求出AC=5，BC=5，AB=10，先判定两边相等得到等腰三角形，再通过三边平方关系判定直角，最后由等腰直角三角形底角为45°求出∠ABC=45°．
20．如图，，，，，，
（1）判断的形状并说明理由；
（2）计算四边形的面积．
【答案】（1）解：是直角三角形．理由如下：
连接，
∵，，，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：在中，，
在中，，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）△ACD是直角三角形，理由如下：连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，然后根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形；
（2）根据三角形的面积公式分别算出△ABC与△ACD的面积，然后根据S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC可求出答案.
（1）解：是直角三角形．
理由如下：连接，∵，，，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：在中，，
在中，，
∴．
21．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？
【答案】（1）解：△ACB是直角三角形，理由如下：
∵在中，，，，
∵，
∴，，
∴是直角三角形；
（2）解：∵，
．
在中，，
一辆货车从处经过点到处的路程．
故一辆货车从处经过点到处的路程是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理判断即可；
（2）由等面积法建立方程求出CD的长，在Rt△BDC中，根据勾股定理求出BD，再计算即可．
（1）解：∵在中，，，，
∵，
∴，，
∴是直角三角形．
（2）解：∵，
．
在中，，
一辆货车从处经过点到处的路程．
故一辆货车从处经过点到处的路程是．
九、题型二十 直角三角形全等的判定
22．如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵以点C为圆心，为半径画弧交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧交延长线于点E，
∴，
又∵，
∴与都是直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
根据题干的作图过程可以得到，由此可以证明，根据全等三角形对应边相等，可推出，再根据这个关系即可求解题目.
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在边AC上，连接DE，且DE=DB.若△ADE面积为4，AE=2EC，则△ABC面积=　 　 .
【答案】14
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB
∴DA=DF
∵DE=DB
∴△CDE≌△FDB(HL)
∴BF=EC
∵DC=DF，AD=AD
∴△ADC≌△ADF(HL)
∴AF=AC
设EC=m，CD=n，则AE=2m，BF=m，DF=n，AC=3m，AF=3m，
，即有mn=4，
故答案：14.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质知DC=DF，由此可证△CDE≌△FDB、△ADC≌△ADF，得AF=AC，BF=CE，设EC=m，CD=n，得mn=4，由此可得△ABC的面积.
24． 如图，在和中，，，与相交于点O．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠D=90°
∴△ABC与△DCB均为直角三角形
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)
（2）解：△OBC是等腰三角形，证明如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】(1)先根据∠A，∠D为直角判定两个三角形是直角三角形，再观察到斜边BC为公共边，已知直角边AC=BD，最后根据直角三角形全等HL判定定理完成证明；
(2)先根据第一问全等得到对应角∠ACB=∠DBC，再依据等角对等边推出OB=OC，从而判定三角形为等腰三角形．
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