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专题三 不等式（2）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型七 不等式与方程综合
1． 已知x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解， 则关于x的不等式k（x-3）+3b>0的解集是（　　）
A．x<3 B．x>3 C．x<9 D．x>9
2．如果关于x的方程（a-1）x-4=a（x+2）的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则满足条件的整数a有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．若一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”.若方程 都是关于x的不等式组 的“关联方程”，则m 的取值范围是　 　.
4．若关于x的不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为　 　.
5．已知关于a、b的方程组 中，a为负数，b为非负数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式 mx+2x1.
6．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
（1）方程是下列不等式（组）中　 　（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
（2）已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围．
二、题型八 绝对值型不等式
7．已知，且，那么必有（　　）
A． B． C． D．
8．解下列不等式：
（1）|x-2|≤2x-10.
（2）|x-5|-|2x+3|<1.
9．若不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，求a的取值范围.
10．【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式的解集．
三、题型九 解特殊的不等式
11．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=ab-2a.如：15=1×5-2×1=3，则不等式3x≥x-2的解集为是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞-2 D．x≥-2
12．定义一种运算：a※ 则不等式（2x+1）※（2-x）>3的解集是（　　）.
A．x>1或 B．
C．x>1或x<-1 D．或x<-1
13．定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　)
A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12
14．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是　 　．
15．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为　 　．
16．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
17．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，．
（1）计算：______（用含a的代数式表示）；
（2）若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围；
（3）若，求a的值．
18．在教科书中，我们将不等式 趣称为“糖水不等式”.
（1）【模型推广】
“如果那么它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按a：c进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液.
由可判断bc ad(填写“>”或“<”)， 请证明不等式 成立.
（2）【应用模型】
某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料：
果汁A：糖的浓度为8%；()
果汁B：糖的浓度为24%.
①若取相同质量的果汁A 和果汁B进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为．
②饮料公司需要生产一批320kg 的混合果汁，果汁A 和果汁B 的利润分别为5元/kg和12元/kg，要求混合果汁的糖的浓度不高于16%，如何生产能获得最大利润 最大利润是多少
四、题型十 一元一次不等式的应用
19． 杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
20．小启的妈妈搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据如表的信息，假设她每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　）
每人使用各种交通工具 自行车 公交车 机车 汽车
每移动1公里产生的碳排放量 0公斤 0.04公斤 0.05公斤 0.17公斤
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
21．如图，某书架长50cm，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚1.5cm，每本数学书厚1.2cm.若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放　 　本数学书.
22．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．

（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
23．根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
（1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
五、题型十一 不等式组的应用
24．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）
A． B． C． D．
25．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为 　 　.
26．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？
27．宁波地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用“宁波地铁 go”小程序购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化.累计规则如下：
①使用“宁波地铁 go”小程序购票时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计.例如，当票价为2元时，实付金额为1.8元，累计增加18碳币.
②每日可在“宁波地铁 go”小程序签到一次，每次签到可累计增加10碳币.
③用户可以用碳币在“宁波地铁 go”小程序上兑换各项权益.
为响应低碳出行的号召，小李爸爸决定使用“宁波地铁 go”小程序购票乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择.
　 单程出行方式 总碳排放量/g
方式一 地铁8站(票价4元)+电动车骑行4km 1040
方式二 地铁9站(票价5元)+电动车骑行3km 1080
注：假设地铁每站碳排放量一样.
结合上述信息，回答下列问题：
（1）若小李爸爸连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币
（2）求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量；
（3）为尽可能多地兑换各项权益，小李爸爸每月需要累计增加不低于1830碳币.他每月工作20天，在总碳排放量不超过42.2千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月内方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由.(每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵ x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解，
∴2k+b=0，
解得b=-2k，
∵b>0，
∴-2k>0，即k<0，
则不等式 k（x-3）+3b>0 为 k（x-3）-6k>0
∴x-3-6<0，
解得x<9，
故答案为：C.
【分析】先把x=2代入方程求出b=-2k，然后得到k<0，再代入不等式先去k，解不等式即可.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：解关于x的方程((a-1)x-4=a(x+2)得x=-4-2a，
由题意知-4-2a≥0，
①+②得6x+6y=a+4，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足
∴满足条件的整数a有-6，-5，-4，-3，-2，共5个，
故答案为：B.
【分析】先解一元一次方程得到x=-4-2a，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出 则可得到 解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案.
3．【答案】0≤m<0.5
【知识点】不等式组和一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由 得x=0.5；由 得x=2；解不等式组 得m故答案为：0≤m<0.5 .
【分析】解不等式组得出 再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案.
4．【答案】5≤a≤8且a≠7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：x<4，
解第二个不等式得：
∵原不等式组至少有2个整数解，
∴必有2个整数解为3，2，
解得：a≤8，
原方程去分母得：a-1=2y-2+6，
解得：
∵原分式方程的解为非负数，
且
解得：a≥5且a≠7，
综上，5≤a≤8且a≠7，
故答案为：5≤a≤8且a≠7.
【分析】解不等式组中的各不等式，然后结合已知条件求得a的取值范围，再解分式方程并根据题意求得a的取值范围，然后求得它们的公共部分即可.
5．【答案】（1）解：解方程组 得，
∵ a为负数，b为非负数，
∴，
解得：-5≤m<1；
（2）解： mx+2x(m+2)x∵ 解集为x>1 ，
∴m+2<0，
解得m<-2，
∴整数m的值为：-5，-4，-3.
【知识点】不等式的性质；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）解方程组求出a和b的值，然后根据题目要求得到不等式组，解不等式组求出解即可；
（2）根据不等式的解集得到m+2<0，求出m<-2，然后得到整数m的值即可.
6．【答案】（1）①③
（2）解：解方程组得，
方程组是不等式的“偏解方程组”，
，
解得；
（3）解：解方程组得：，
关于x的方程是它的“偏解方程”，
，
解得
不等式组恰有6个整数解，
设6个整数解为k，，，，，，
由题意得，，
，
解得，
有解，
，
解得，
的整数解为或，
当时，，
，
当时，，
，
，
又，
．
【知识点】解一元一次方程；解二元一次方程组；一元一次不等式的含参问题；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】（1）解：，，
①成立，故符合题意；
②不成立，故不符合题意；
③成立，故符合题意，
方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”，
故答案为：①③；
【分析】
（1）先解关于x的一元一次方程求出解，再代入到各不等式中进行验证即可；
（2）先把a当作常数解关于x、y的二元一次方程组，再把解代入到不等式中得关于a的不等式并求解即可；
（3）同（2）先解不等式组得，再根据”偏解方程“的概念得，解得；因为不等式组有6个整数解，可设这6个整数解依次为k，，，，，，则有不等式组，再解不等式组可得，则由题意可得，则解不等式组得，即k=-4或k=-5，再分别代入可得.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据a的符号与，求出b的范围．
8．【答案】（1）当x-2≥0，即x≥2时，
原不等式可化为x-2≤2x-10，解得x≥8；
当x-2<0，即x<2时，
原不等式可化为-x+2≤2x-10，解得x≥4，原不等式无解.
故原不等式的解集为x≥8.
（2）当x-5≥0，2x+3≥0，即x≥5时，原不等式可化为x-5-2x-3<1，解得x>-9，故原不等式的解集为x≥5.
当x-5≥0，2x+3<0，即x≥5且.时，x不存在；当x-5<0，2x+3≥0，即时，
原不等式可化为-x+5-2x-3<1，解得则原不等式的解集为-
当x-5<0，2x+3<0，即.时，
原不等式可化为-x+5+2x+3<1，解得x<-7，则原不等式的解集为x<-7.
综上，原不等式的解集为或x<-7.
【知识点】解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据x-2≥0或x-2<0去掉绝对值符号，根据解不等式的步骤解答即可；
（2）分为x-5≥0，2x+3≥0；x-5≥0，2x+3<0；x-5<0，2x+3<0三种情况去绝对值，根据解不等式的步骤解答即可.
9．【答案】解：
解不等式①，得x>-1，
解不等式②，得-2≤x≤3，
∴原不等式组的解集为-1∵ax>-1，
∴当a>0时， 当a<0时，
∵不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，∴当a>0时， 解得0【知识点】解一元一次不等式组；解含绝对值的一元一次不等式；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】根据解不等式组的方法可以求得题目中的不等式组的解集，再根据不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax>-1解集的一部分，从而可以求得a的取值范围.
10．【答案】解：（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①；②或；
（3），
或，
解得或
【知识点】解一元一次不等式；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得的解集为，
故答案为：；
②根据题意可不等式的解集是，
∴或，
故答案为：或；
【分析】(1)根据绝对值的几何意义，直接写出即可；
(2)根据绝对值的几何意义解绝对值不等式进行求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，先对绝对值进行化简，再解一元一次不等式即可．
11．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 由题意3x =3x-6，于是3x-6 ≥x-2 得3x-x ≥6-2，2x ≥4，得x ≥2.
故答案：B.
【分析】由新定义运算知3x =3x-6，代入不等式并求解不等式即得解集.
12．【答案】C
【知识点】解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：根据定义一种运算： 不等式（2x+1）※（2-x）>3变形为或，
解不等式①得
x≥
解不等式②得
x>1
∴此不等式的解集为x>1
解不等式①得
x<
解不等式②得
x<-1
此不等式的解集为：x<-1
∴不等式（2x+1）※（2-x）>3的解集为：x>1或x<-1.
故答案为：C.
【分析】根据定义一种运算， 将所求不等式（2x+1）※（2-x）>3变形为或，分别解不等式组求出不等式的解.
13．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中有3个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先根据新运算的要求表示出的结果，再列出不等式组并求解出其整数解即可．
15．【答案】或
【知识点】解一元一次方程；列一元一次不等式组；解特殊的不等式组；取整函数
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
∵表示不大于x的最大整数，
∴为整数，
∴或，
∴或；
故答案为：或．
【分析】根据题意及，，列出不等式求得，再根据题意知为整数，从而确定x的值.
16．【答案】（1）解：，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式的解集是或；
（2），由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
【知识点】解特殊的不等式组
【解析】【分析】（1）根据题目的例子结合不等式得到①或②，进而分别解不等式组即可；
（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得到①或②，进而分别解不等式组，从而即可求解。
（1）解：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式的解集是或；
（2），
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
17．【答案】（1）
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴关于x的不等式组转化为：，
解得：，
∵不等式组恰有4个整数解，
∴，整数解为：1，2，3，4，
∴，
∴.
（3）解：，
当时，则：，解得：（舍去）；
当时，则：，解得：；
当时，则：，解得：（舍去）；
故．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解特殊的不等式组
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组转化为：，再求出，结合“不等式组恰有4个整数解”可得，整数解为：1，2，3，4，再求出m的取值范围即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据题干中的定义及计算方法列出方程求解即可.
18．【答案】（1）解：<；
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
（2）解：①100+100， 16%
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【知识点】分式的加减法；不等式的概念；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
(2)①
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【分析】(1)作差，通分可化简，即可判断符号，即得不等式方向；
(2)①分母填空糖水总质量即可得混合之后的浓度；
②由题意列出不等式，求解不等式即得A果汁的质量，由此可得其最大利润.
19．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设在剩余时间内每小时平整土地， 由题意列不等式得：
故正确答案为：C
【分析】设在剩余时间内每小时平整土地，由不等关系“ 要求完成全部任务的时间不超过3小时 ”列不等式即可.
20．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：汽车每公里碳排放量为0.17kg，公交为0.04kg，每日减小的碳排放量为(0.17-0.04)×20=2.6kg，设改搭公交车x天，需满足：2.6x>800，
解得x>，故x最小值为308天.
故答案：C.
【分析】根据汽车与公交的碳排放量可得每日减小的碳排放量，利用不等关系可得最小的天数.
21．【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设数学书摆放的本数为x本，
则20×1.5+1.2x≤50，
解得x≤
则x的最大整数值为16，
所以数学书最多还可以摆16本．
故答案为：16．
【分析】根据题意，建立关于数学书本数的不等式即可解决问题．
22．【答案】（1）解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为，则
，解得
答：1个甲部件，1个乙部件．
（2）解：设电梯一次装运套设备，由题意得
解得
因为为正整数，所以取最大整数为7，即货运电梯一次最多装运7套设备．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）列一元一次方程解决配套问题，只需找准选题关系；
（2）列不等式解应用题的关键，是确定不等关系，同时需要结合实际情况，可能需要对解集进行适当改变.
23．【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
根据题意可列方程组，得：，
解这个方程组，得：，
答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人.
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意可列不等式为：a≥7（20-a），
解这个不等式，得：a≥17.5，
∵a为整数，
∴a的值为18，19，20，
设租车的总租金为w元，
则w=500a+400（20-a）=100a+8000，
当a=18时，w=100×18+8000=9800（元），
当a=19时，w=100×19+8000=9900（元），
当a=20时，w=100×20+8000=10000（元），
9800＜9900＜10000，
答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元.
（3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生，
根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，
即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人，
∴m=24，
经检验，m=24是原分式方程的解，
∴n=18×24+5=437（名），
答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据题意列方程组求解即可得出答案；
（2）根据“ 租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍 ”求出a的取值范围，即可得出a的所有取值，再分别求出总租金即可得出答案；
（3）设租用B型车m辆，共有n名学生，根据“ 每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上 ”可得，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，结合B型车最多搭载20人，即可求出m的值，进而得出答案.
（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
由素材2得：，
解得：，
∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人；
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
由素材3得：，
，
，
，
∵a为整数，
∴，
总租金，
∵，R随a增大而增大，
∴当时，R最小，
此时B型车数量为辆，
（元），
∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元；
（3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，
由题意：，
，
∵n为整数，且（B型车最多搭载20人），
∴为整数，是23的因数，
∵23为质数，
∴或，
即或，
当时，，不合理，
当时，，合理，
学生数，
∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动．
24．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：年龄为20岁时，最佳燃脂心率最高值为：，
最低值为：，
因此20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为，
故选A．
【分析】本题考查不等式的应用，核心是理解题意，本题将年龄代入最佳燃脂心率的最高值和最低值公式，计算出具体数值，从而确定心率范围的不等式.
25．【答案】22
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设每组预定的学生人数为x人，根据题意得：
解得：
∵x为整数，
故答案为：22.
【分析】设每组预定的学生人数为x人，根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，列出不等式组，求解即可.
26．【答案】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，由题意得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，6，
∴该企业购买方案有2种：
①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；
②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）首先设A型号智能机器人的单价为x万元，B型号智能机器人的单价为y万元，结合题目第一条给出的信息，列出对应的二元一次方程组，求解该方程组即可得到两种型号机器人的单价；
（2）设该企业计划采购A型智能机器人a台，则需要采购B型智能机器人为台，再结合题目给出的两个要求：总采购费用不超过720万元，每日总分拣快递量不低于200万件，列出关于a的一元一次不等式组，解该不等式组即可得到结果.
（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，
由题意得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，6，
∴该企业购买方案有2种：
①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；
②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台．
27．【答案】（1）解：根据题意得： 5
=(72+10)×5
=82×5
=410(碳币) .
答：这五天共累计增加410碳币；
（2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，
根据题意得：
解得：
答：乘坐地铁每站的碳排放量为100g，骑电动车每千米的碳排放量为60g；
（3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行 (答案不唯一)，理由如下：
设一个月中选择m次方式一出行，则选择((20×2-m)次方式二出行，
根据题意得： ，
解得：25≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可以为25， 26， 27， 28， 29， 30，
∴一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行(答案不唯一).
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)利用这五天共累计增加碳币的数量=(选择方式一单程出行累计增加碳币数：×2+每次签到可累计增加碳币数)×5，即可求出结论；
(2)设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设一个月中选择m次方式一出行，则选择(20×2-m)次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出结论.
1 / 1专题三 不等式（2）—浙教版数学八年级上册复习
一、题型七 不等式与方程综合
1． 已知x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解， 则关于x的不等式k（x-3）+3b>0的解集是（　　）
A．x<3 B．x>3 C．x<9 D．x>9
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵ x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解，
∴2k+b=0，
解得b=-2k，
∵b>0，
∴-2k>0，即k<0，
则不等式 k（x-3）+3b>0 为 k（x-3）-6k>0
∴x-3-6<0，
解得x<9，
故答案为：C.
【分析】先把x=2代入方程求出b=-2k，然后得到k<0，再代入不等式先去k，解不等式即可.
2．如果关于x的方程（a-1）x-4=a（x+2）的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则满足条件的整数a有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：解关于x的方程((a-1)x-4=a(x+2)得x=-4-2a，
由题意知-4-2a≥0，
①+②得6x+6y=a+4，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足
∴满足条件的整数a有-6，-5，-4，-3，-2，共5个，
故答案为：B.
【分析】先解一元一次方程得到x=-4-2a，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出 则可得到 解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案.
3．若一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”.若方程 都是关于x的不等式组 的“关联方程”，则m 的取值范围是　 　.
【答案】0≤m<0.5
【知识点】不等式组和一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由 得x=0.5；由 得x=2；解不等式组 得m故答案为：0≤m<0.5 .
【分析】解不等式组得出 再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案.
4．若关于x的不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为　 　.
【答案】5≤a≤8且a≠7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：x<4，
解第二个不等式得：
∵原不等式组至少有2个整数解，
∴必有2个整数解为3，2，
解得：a≤8，
原方程去分母得：a-1=2y-2+6，
解得：
∵原分式方程的解为非负数，
且
解得：a≥5且a≠7，
综上，5≤a≤8且a≠7，
故答案为：5≤a≤8且a≠7.
【分析】解不等式组中的各不等式，然后结合已知条件求得a的取值范围，再解分式方程并根据题意求得a的取值范围，然后求得它们的公共部分即可.
5．已知关于a、b的方程组 中，a为负数，b为非负数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式 mx+2x1.
【答案】（1）解：解方程组 得，
∵ a为负数，b为非负数，
∴，
解得：-5≤m<1；
（2）解： mx+2x(m+2)x∵ 解集为x>1 ，
∴m+2<0，
解得m<-2，
∴整数m的值为：-5，-4，-3.
【知识点】不等式的性质；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）解方程组求出a和b的值，然后根据题目要求得到不等式组，解不等式组求出解即可；
（2）根据不等式的解集得到m+2<0，求出m<-2，然后得到整数m的值即可.
6．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
（1）方程是下列不等式（组）中　 　（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
（2）已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）解：解方程组得，
方程组是不等式的“偏解方程组”，
，
解得；
（3）解：解方程组得：，
关于x的方程是它的“偏解方程”，
，
解得
不等式组恰有6个整数解，
设6个整数解为k，，，，，，
由题意得，，
，
解得，
有解，
，
解得，
的整数解为或，
当时，，
，
当时，，
，
，
又，
．
【知识点】解一元一次方程；解二元一次方程组；一元一次不等式的含参问题；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】（1）解：，，
①成立，故符合题意；
②不成立，故不符合题意；
③成立，故符合题意，
方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”，
故答案为：①③；
【分析】
（1）先解关于x的一元一次方程求出解，再代入到各不等式中进行验证即可；
（2）先把a当作常数解关于x、y的二元一次方程组，再把解代入到不等式中得关于a的不等式并求解即可；
（3）同（2）先解不等式组得，再根据”偏解方程“的概念得，解得；因为不等式组有6个整数解，可设这6个整数解依次为k，，，，，，则有不等式组，再解不等式组可得，则由题意可得，则解不等式组得，即k=-4或k=-5，再分别代入可得.
二、题型八 绝对值型不等式
7．已知，且，那么必有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；不等式的性质；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据a的符号与，求出b的范围．
8．解下列不等式：
（1）|x-2|≤2x-10.
（2）|x-5|-|2x+3|<1.
【答案】（1）当x-2≥0，即x≥2时，
原不等式可化为x-2≤2x-10，解得x≥8；
当x-2<0，即x<2时，
原不等式可化为-x+2≤2x-10，解得x≥4，原不等式无解.
故原不等式的解集为x≥8.
（2）当x-5≥0，2x+3≥0，即x≥5时，原不等式可化为x-5-2x-3<1，解得x>-9，故原不等式的解集为x≥5.
当x-5≥0，2x+3<0，即x≥5且.时，x不存在；当x-5<0，2x+3≥0，即时，
原不等式可化为-x+5-2x-3<1，解得则原不等式的解集为-
当x-5<0，2x+3<0，即.时，
原不等式可化为-x+5+2x+3<1，解得x<-7，则原不等式的解集为x<-7.
综上，原不等式的解集为或x<-7.
【知识点】解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据x-2≥0或x-2<0去掉绝对值符号，根据解不等式的步骤解答即可；
（2）分为x-5≥0，2x+3≥0；x-5≥0，2x+3<0；x-5<0，2x+3<0三种情况去绝对值，根据解不等式的步骤解答即可.
9．若不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，求a的取值范围.
【答案】解：
解不等式①，得x>-1，
解不等式②，得-2≤x≤3，
∴原不等式组的解集为-1∵ax>-1，
∴当a>0时， 当a<0时，
∵不等式组 的解集是关于x的一元一次不等式 ax>-1的解集的一部分，∴当a>0时， 解得0【知识点】解一元一次不等式组；解含绝对值的一元一次不等式；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】根据解不等式组的方法可以求得题目中的不等式组的解集，再根据不等式组的解集是关于x的一元一次不等式ax>-1解集的一部分，从而可以求得a的取值范围.
10．【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式的解集．
【答案】解：（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①；②或；
（3），
或，
解得或
【知识点】解一元一次不等式；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得的解集为，
故答案为：；
②根据题意可不等式的解集是，
∴或，
故答案为：或；
【分析】(1)根据绝对值的几何意义，直接写出即可；
(2)根据绝对值的几何意义解绝对值不等式进行求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，先对绝对值进行化简，再解一元一次不等式即可．
三、题型九 解特殊的不等式
11．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=ab-2a.如：15=1×5-2×1=3，则不等式3x≥x-2的解集为是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞-2 D．x≥-2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 由题意3x =3x-6，于是3x-6 ≥x-2 得3x-x ≥6-2，2x ≥4，得x ≥2.
故答案：B.
【分析】由新定义运算知3x =3x-6，代入不等式并求解不等式即得解集.
12．定义一种运算：a※ 则不等式（2x+1）※（2-x）>3的解集是（　　）.
A．x>1或 B．
C．x>1或x<-1 D．或x<-1
【答案】C
【知识点】解特殊的不等式组
【解析】【解答】解：根据定义一种运算： 不等式（2x+1）※（2-x）>3变形为或，
解不等式①得
x≥
解不等式②得
x>1
∴此不等式的解集为x>1
解不等式①得
x<
解不等式②得
x<-1
此不等式的解集为：x<-1
∴不等式（2x+1）※（2-x）>3的解集为：x>1或x<-1.
故答案为：C.
【分析】根据定义一种运算， 将所求不等式（2x+1）※（2-x）>3变形为或，分别解不等式组求出不等式的解.
13．定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　)
A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可．
14．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中有3个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先根据新运算的要求表示出的结果，再列出不等式组并求解出其整数解即可．
15．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次方程；列一元一次不等式组；解特殊的不等式组；取整函数
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
∵表示不大于x的最大整数，
∴为整数，
∴或，
∴或；
故答案为：或．
【分析】根据题意及，，列出不等式求得，再根据题意知为整数，从而确定x的值.
16．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式的解集是或；
（2），由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
【知识点】解特殊的不等式组
【解析】【分析】（1）根据题目的例子结合不等式得到①或②，进而分别解不等式组即可；
（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得到①或②，进而分别解不等式组，从而即可求解。
（1）解：，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式的解集是或；
（2），
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
17．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，．
（1）计算：______（用含a的代数式表示）；
（2）若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围；
（3）若，求a的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴关于x的不等式组转化为：，
解得：，
∵不等式组恰有4个整数解，
∴，整数解为：1，2，3，4，
∴，
∴.
（3）解：，
当时，则：，解得：（舍去）；
当时，则：，解得：；
当时，则：，解得：（舍去）；
故．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解特殊的不等式组
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组转化为：，再求出，结合“不等式组恰有4个整数解”可得，整数解为：1，2，3，4，再求出m的取值范围即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据题干中的定义及计算方法列出方程求解即可.
18．在教科书中，我们将不等式 趣称为“糖水不等式”.
（1）【模型推广】
“如果那么它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按a：c进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液.
由可判断bc ad(填写“>”或“<”)， 请证明不等式 成立.
（2）【应用模型】
某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料：
果汁A：糖的浓度为8%；()
果汁B：糖的浓度为24%.
①若取相同质量的果汁A 和果汁B进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为．
②饮料公司需要生产一批320kg 的混合果汁，果汁A 和果汁B 的利润分别为5元/kg和12元/kg，要求混合果汁的糖的浓度不高于16%，如何生产能获得最大利润 最大利润是多少
【答案】（1）解：<；
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
（2）解：①100+100， 16%
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【知识点】分式的加减法；不等式的概念；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)
证明：
因为 bc-ad<0， a(a+c)>0，
所以
则
(2)①
②设：果汁A 使用 xkg， 果汁B 使用 (320-x) kg。
解得x≥160，
因为果汁B的利润较高，所以当x=160时，生产的混合果汁能获得最大利润.最大利润=160×12+160×5=2720元.
【分析】(1)作差，通分可化简，即可判断符号，即得不等式方向；
(2)①分母填空糖水总质量即可得混合之后的浓度；
②由题意列出不等式，求解不等式即得A果汁的质量，由此可得其最大利润.
四、题型十 一元一次不等式的应用
19． 杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设在剩余时间内每小时平整土地， 由题意列不等式得：
故正确答案为：C
【分析】设在剩余时间内每小时平整土地，由不等关系“ 要求完成全部任务的时间不超过3小时 ”列不等式即可.
20．小启的妈妈搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据如表的信息，假设她每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　）
每人使用各种交通工具 自行车 公交车 机车 汽车
每移动1公里产生的碳排放量 0公斤 0.04公斤 0.05公斤 0.17公斤
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：汽车每公里碳排放量为0.17kg，公交为0.04kg，每日减小的碳排放量为(0.17-0.04)×20=2.6kg，设改搭公交车x天，需满足：2.6x>800，
解得x>，故x最小值为308天.
故答案：C.
【分析】根据汽车与公交的碳排放量可得每日减小的碳排放量，利用不等关系可得最小的天数.
21．如图，某书架长50cm，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚1.5cm，每本数学书厚1.2cm.若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放　 　本数学书.
【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设数学书摆放的本数为x本，
则20×1.5+1.2x≤50，
解得x≤
则x的最大整数值为16，
所以数学书最多还可以摆16本．
故答案为：16．
【分析】根据题意，建立关于数学书本数的不等式即可解决问题．
22．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．

（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
【答案】（1）解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为，则
，解得
答：1个甲部件，1个乙部件．
（2）解：设电梯一次装运套设备，由题意得
解得
因为为正整数，所以取最大整数为7，即货运电梯一次最多装运7套设备．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）列一元一次方程解决配套问题，只需找准选题关系；
（2）列不等式解应用题的关键，是确定不等关系，同时需要结合实际情况，可能需要对解集进行适当改变.
23．根据以下信息，探索完成任务：
素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元
素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人．
素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍．
问题解决：
（1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？
（2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．
（3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？
【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
根据题意可列方程组，得：，
解这个方程组，得：，
答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人.
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意可列不等式为：a≥7（20-a），
解这个不等式，得：a≥17.5，
∵a为整数，
∴a的值为18，19，20，
设租车的总租金为w元，
则w=500a+400（20-a）=100a+8000，
当a=18时，w=100×18+8000=9800（元），
当a=19时，w=100×19+8000=9900（元），
当a=20时，w=100×20+8000=10000（元），
9800＜9900＜10000，
答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元.
（3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生，
根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，
即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人，
∴m=24，
经检验，m=24是原分式方程的解，
∴n=18×24+5=437（名），
答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，根据题意列方程组求解即可得出答案；
（2）根据“ 租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍 ”求出a的取值范围，即可得出a的所有取值，再分别求出总租金即可得出答案；
（3）设租用B型车m辆，共有n名学生，根据“ 每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上 ”可得，n=18m+5，且n是m-1的整数倍，结合B型车最多搭载20人，即可求出m的值，进而得出答案.
（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人，
由素材2得：，
解得：，
∴每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人；
（2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
由素材3得：，
，
，
，
∵a为整数，
∴，
总租金，
∵，R随a增大而增大，
∴当时，R最小，
此时B型车数量为辆，
（元），
∴当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元；
（3）解：设租用B型车m辆，安排一辆车搭载教师后，平均每辆车搭载n名学生，
由题意：，
，
∵n为整数，且（B型车最多搭载20人），
∴为整数，是23的因数，
∵23为质数，
∴或，
即或，
当时，，不合理，
当时，，合理，
学生数，
∴该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动．
五、题型十一 不等式组的应用
24．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：年龄为20岁时，最佳燃脂心率最高值为：，
最低值为：，
因此20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为，
故选A．
【分析】本题考查不等式的应用，核心是理解题意，本题将年龄代入最佳燃脂心率的最高值和最低值公式，计算出具体数值，从而确定心率范围的不等式.
25．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为 　 　.
【答案】22
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设每组预定的学生人数为x人，根据题意得：
解得：
∵x为整数，
故答案为：22.
【分析】设每组预定的学生人数为x人，根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，列出不等式组，求解即可.
26．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？
【答案】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，由题意得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，6，
∴该企业购买方案有2种：
①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；
②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）首先设A型号智能机器人的单价为x万元，B型号智能机器人的单价为y万元，结合题目第一条给出的信息，列出对应的二元一次方程组，求解该方程组即可得到两种型号机器人的单价；
（2）设该企业计划采购A型智能机器人a台，则需要采购B型智能机器人为台，再结合题目给出的两个要求：总采购费用不超过720万元，每日总分拣快递量不低于200万件，列出关于a的一元一次不等式组，解该不等式组即可得到结果.
（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，
由题意得：，
解得：，
∵a为正整数，
∴，6，
∴该企业购买方案有2种：
①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；
②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台．
27．宁波地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用“宁波地铁 go”小程序购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化.累计规则如下：
①使用“宁波地铁 go”小程序购票时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计.例如，当票价为2元时，实付金额为1.8元，累计增加18碳币.
②每日可在“宁波地铁 go”小程序签到一次，每次签到可累计增加10碳币.
③用户可以用碳币在“宁波地铁 go”小程序上兑换各项权益.
为响应低碳出行的号召，小李爸爸决定使用“宁波地铁 go”小程序购票乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择.
　 单程出行方式 总碳排放量/g
方式一 地铁8站(票价4元)+电动车骑行4km 1040
方式二 地铁9站(票价5元)+电动车骑行3km 1080
注：假设地铁每站碳排放量一样.
结合上述信息，回答下列问题：
（1）若小李爸爸连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币
（2）求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量；
（3）为尽可能多地兑换各项权益，小李爸爸每月需要累计增加不低于1830碳币.他每月工作20天，在总碳排放量不超过42.2千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月内方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由.(每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式)
【答案】（1）解：根据题意得： 5
=(72+10)×5
=82×5
=410(碳币) .
答：这五天共累计增加410碳币；
（2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，
根据题意得：
解得：
答：乘坐地铁每站的碳排放量为100g，骑电动车每千米的碳排放量为60g；
（3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行 (答案不唯一)，理由如下：
设一个月中选择m次方式一出行，则选择((20×2-m)次方式二出行，
根据题意得： ，
解得：25≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可以为25， 26， 27， 28， 29， 30，
∴一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行(答案不唯一).
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)利用这五天共累计增加碳币的数量=(选择方式一单程出行累计增加碳币数：×2+每次签到可累计增加碳币数)×5，即可求出结论；
(2)设乘坐地铁每站的碳排放量为 xg，骑电动车每千米的碳排放量为 yg，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设一个月中选择m次方式一出行，则选择(20×2-m)次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出结论.
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