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《等腰（边）三角形》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1． 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=30°， 点D、E是边BC上的两个动点， 且满足∠DAE=60°， 则当以BD，DE，EC的长为边长构成直角三角形时BD：EC可能是(　　)
A．2：1 B． C． D．2：
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示：
∵，，
∴，
∴．
由旋转的性质得，，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以，，的长为边长构成直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：A .
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，得到，，，，根据SAS得到，求得，由题意得，据此求解即可．
2．如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点E作EG⊥BC于点G， 易得BD=CE=2，由等边三角形的性质、直角三角形两锐角互余得∠CEG=30°，由含30°角直角三角形的性质求出，线段和差求出BG=5，利用勾股定理算出GE、BE的长；利用“SAS”证△ABD≌△BCE，由全等三角形的面积相等得到，再利用面积法可得，，即得，即得到，最后由即可求解.
3． 如图， 边长为4的等边△ABC中， BF是AC上中线， 点D在BF上， 连接AD， 在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF 周长的最小值是(　　)
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵是上中线，
∴，，，
∴，，点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值：，
故答案为：B .
【分析】连接，根据等边三角形的性质，利用SAS证明，即可得到，从而可得，，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即可得到是等边三角形，从而可得，故有周长的最小值为，然后代入即可求解．
4．如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】是等边三角形
同理：
则的边长为
故正确答案为：C
【分析】先由等边三角形的性质知，再由三角形的外角性质结合已知可得是等腰三角形，则，同理，则
二、填空题
5． 如图，已知∠AOB=30°，点M，N在边OA上，OM=x，MN=1，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有1个，则x满足的条件是　 　.
【答案】x=1或x>2
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-等腰（等边）三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：
如图，当OM=MN=1，以M为圆心，以1为半径的圆交OB于点P，此时MP=PN=MN=1，即x=1；
当x=2时，过点M作MP⊥OB于点P，
∴MP=OM=1，
∴MP=MN=1，
作MN的垂直平分线交OB于点P'，则P'M=P'N，如图，
此时，构成的等腰三角形的点恰好有2个，
∴当x>2时，点M到OB的距离大于1，则MP>MN，NP>MN，
此时在OB上只能找一点P使MP=NP，即以点P、M、N构成的等腰三角形恰好只有1个，
综上当x=1或x>2时，构成的等腰三角形恰好只有1个.
故答案为：x=1或x>2.
【分析】根据等腰三角形的定义，分类讨论腰的情况，通过作图分析确定x的值.
6． 如图， 在△ABC中， AD为BC边上的中线， 已知 将△ABD沿着AD翻折得到△ADE， 连接CE， BE， 则△ACE 的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵为边上的中线，，
∴，
∵沿着翻折得到，
∴，，
∴垂直平分线段，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点到的距离等于的长，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理求出，进而求出，再证明是直角三角形，根据勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解．
7．如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∵是高所在直线上一点，是等边三角形，，
，，点N的运动轨迹为如图所示直线，
，
∴，
故当时，最短，最短为，
故答案为：2．
【分析】先根据等边三角形的性质和全等三角形的判定SAS证出，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出即可.
8．将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线.若BD=10，则BP=　 　，AB=　 　.
【答案】5；
【知识点】等腰三角形的判定；图形的剪拼；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠ACB，CD=BD，
∵BD=10，
∴CD=10，
将图2标记如下：
由题意可得，∠PCB=∠PBC，MC=BD=10，AP=AD，
∴PC=PB，
∵∠PCB+∠CMB=∠PBC+∠MBP=90°，
∴∠M=∠MBP，
∴MP=BP，
∴BP=MC=5，
则AB=AD+5，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得，AB2=AD2+BD2，
∴（AD+5）2=AD2+102，
解得：AD=，
∴AB=AD+5=，
故答案为：5；.
【分析】由等腰三角形三线合一可得∠ABC=∠ACB，CD=BD=10，根据题意和图形可得BP=MC=5，AB=AD+5，再由勾股定理可得AB2=AD2+BD2，进而求得AD=，即可得出答案.
9． 如图， △ABC中， AB=AC， 点D， E分别为线段BC， AD上的点， ∠ADC=60°， 连结BE， CE， 已知AE=BE，
（1） 若∠BAC=90°， 则∠DCE=　 　°；
（2） 若∠BAC=96°，则∠DCE=　 　°.
【答案】（1）15
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）以为边，在下方作等边，连接，则， 设，则，，由，求出，然后证明，，即可得到，最后由角的和差求解；
（2）解法同（1）．
10．如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D在边上，且，则　 　度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E在 边上，且，，则的度数为　 　．
【答案】（1）36
（2）或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）
设
则
即
解得
则
故答案为：36；
（2）设.
①当AD=AE时，如图：
②当AD=DE时，如图：
所以的度数为或
故答案为：或
【分析】(1)利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；
(2)设∠C=x，分为①AD=AE或AD=DE两种情况时，利用三角形内角和定理列方程解答即可.
三、综合题
11．如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的度数；
（3）在（）的条件下，若为中点，，求的面积．
【答案】（1）解：∵为边上的高线，∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的内角和知，又，所以；
（2）因为与互余，则，因为等腰中，所以，即，又，所以；
（3）要计算的面积，由于只知道腰长，但没有特殊角，不能直接计算，考虑到中线BE平分的面积，只需求出的面积，可过点作，连接，因为，则为等腰直角三角形，且；因为，显然，所以有、，所以有，又因为，所以，所以、，又中，等量代换得，即，则、，.
（1）解：∵为边上的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
12．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”.
（1）【理解概念】
顶角为120°的等腰三角形　 　“准等边三角形”；(填“是”或“不是”)
（2）【巩固新知】
已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A=45°，∠C>90°.求∠B的度数；
（3）【解决问题】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3+，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长.
【答案】（1）不是
（2）解：当∠C-∠A=60°时， ∠C=105°， 此时∠B=30°
当∠C-∠B=60°时，
∵∠A+∠B+∠C=180°， 且∠A=45°
∴∠B+∠C=135°
∴∠C=97.5°， ∠B=37.5°
当∠B-∠A=60°时， ∠C<90°与已知条件矛盾舍掉，
综上∠B的度数为30°或37.5°
（3）解：如图，当∠C-∠CBD=60°时，
当∠C-∠BDC=60°时， 此时D 点与A 点重合，
如图所示，当∠BDC-∠CBD=60°时，过点D作AB的垂线段DM.
∵ ∠C=90°
∴∠BDC+∠CBD=90°
∴∠BDC=75°， ∠CBD=15°
∴∠DBA=∠MDB=45°
∵ ∠A=30°
∴AD=2DM、
设DM=BM=x，则
∴x=3
∴BD=3
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：如图所示，设中，
不是准等边三角形
【分析】
（1）直接利用等边对等角并结合三角形的内角和定理可得底角为30度，则不存在两角的差为60度，故该三角形不是准等边三角形；
（2）应分类讨论，即当∠C-∠A=60°时可先求出∠C，再利用内角和定理求出∠B即可；当∠C-∠B=60°时，先由内角和定理可得∠C+∠B=135°，再解关于∠C和∠B的二元一次方程即可；
（3）同（2），分三种情况讨论，即当∠C-∠CBD=60°时，或∠C-∠BDC=60°时，∠BDC-∠CBD=60°时，分别利用直角三角形中30度角的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理进行求解即可.
13．如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE.
（1）当AD=4，BC=5时，求CD的长.
（2）当BC=CE时，求证：AE⊥AB.
（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且，△ACE有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的.
【答案】（1）解：∵∠CAB=∠CBA，BC=5，
∴AC=BC=5，
∵AD是腰BC的高线，AD=4，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理可得，CD==3，
答：AD的长是3
（2）证明：∵ BC=CE，AC=CB，
∴AC=CE=CB，
∴∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，
∵∠AEC+∠B+∠EAB=180°，
∴2∠AEB+2∠B=180°，
∴∠AEB+∠B=90°，
∴∠EAB=90°，
∴AE⊥AB
（3）解： ∵AD是腰BC的高线，
∴△ACD的面积为S1 =DE·AD， △ACE的面积为S2=CE·AD，
∵，
∴=，
设CD=8k，则CE=13k，DE=CE-CD=5k，
∵AD⊥CE，DE≠CD，
∴AC≠AE，
当CE=CA=13k时，BC=CA=13k，
∴BE=BC+CE=26k，
∴=2；
当AE=CE=13k时，在Rt△ADE中由勾股定理得，AD==12k，
∴AC==k，
∴BE=BC+CE=k，+13k，
∴==，
综上所述，满足条件的的值为2或
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出答案；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，进而得出2∠AEB+2∠B=180°，就可求得∠EAB=90°，即可得证；
（3）由 得=，设CD=8k，则CE=13k，DE=CE-CD=5k，得DE≠CD，从而可知AC≠AE，再分当CE=CA=13k时和当AE=CE=13k时两种情况，进行计算即可得出答案.
14．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE
（1）若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。
（2）若∠A=∠E，求证：BC=DE.
（3）如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE =，求线段 CE 的长.
【答案】（1）解：， ，
，.
，
， ，
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：
如图，过点D作与点F，
，
，
，
，.
是AC的中点
设，则，
，
在中，，
解得
在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2，
解得CF=DF=1
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，
解得 EF=3，
∴CE=3-1=2
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】⑴根据等腰三角形性质、三角形的内角和定理及三角形外角性质计算 ∠ABD的度数 .
⑵根据角的和差转化得，从而BD=BC，再根据题意得BC=DE.
⑶根据勾股定理CD=AD=，CF=DF=1， EF=3，从而确定CE的长.
15．如图①，在△ABC中，CD⊥AB于D，且BD=4cm， AD=6cm， CD＝8cm.
（1）试说明△ABC是等腰三角形．
（2）如图②，动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值．
②若点E是AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，
在Rt△ACD中，，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：cm2，而x>0，
∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm.
①当MN//BC时，AM=AN，
即10-t=t
∴t=5
当DN//BC时，AD=AN，
得：t=6
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6.
②当点M在BD上，即0≤t<4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4如果DE=DM，则t-4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t-4，则(t-4)2-(t-7)2=42
∴
综上所述，t的值为9或10或.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；
①当MN/BC时，AM=AN；当DN///BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即416．在等腰中，，．
（1）如图1，、是等腰斜边上两动点，且，在等腰Rt外侧作，连接．试问：
①___________；
②当时，求的长．
（2）如图2，点是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点．在点的顺时针方向上），当，时，直接写出的长．
【答案】（1）解：①；
②∵
∴．
∵，，
∴，
∴，即．
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：的长为13或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的综合；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
∵等腰中，，
∴，即．
∴，又，
∴，
故填：90°；
（2）如图，过A作于F，
∵等腰中，BC=17，
∴，
分两种情况讨论：
①如图，当D在线段上时，
∵，
∴，
在中，，
等腰中，∠EAD=90°，AD=AE，
∴；
②如图，当D在延长线上时，
∴．
在中，，
∴．
∴的长为13或，
故答案为：的长为13或．
【分析】（1）①根据全等三角形对应角相等，得出，根据等腰直角三角形的性质得出
，从而得出，利用，即可得出答案；
②先证出，得出，根据勾股定理得出从而得出，解方程即可求出DE的长；
（2）过A作于F，根据大家直角三角形的性质得出，
分两种情况讨论：①当D在线段上时，②当D在延长线上时，利用勾股定理分别求出DE的长，即可得出答案.
（1）解：①由得（全等三角形对应角相等）．
等腰中，，
故，即．
因此，又，
故．
②由得．
因，，故，
即，即．
在和中，
故得．
由①知，在中，
代入、得．
∴，
即，
解得；
（2）解：过A作于F，等腰中（斜边上的高等于斜边一半）．
分两种情况：
①当D在上（B、C之间）：，则．
在中，，
等腰中，．
②当D在延长线上（B外侧）：
．
在中，，
故．
∴的长为13或．
17．如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC=12. 点D， E分别为AC， BC的中点，点P为线段DE上一动点(不与点D 重合)，过点C作线段CM垂直CP 且CM=CP， 连接AP、BM、PM， PM交BC于点N.
（1） 求证： AP=BM；
（2） 求证：
（3）在点P 运动过程中，能否使△CMN为等腰三角形 若能，请直接写出PD 的长；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点，分别为，的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，，在中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点，分别为，的中点，，，
∴，
∴，
当，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当，如图，此时三点共线，
此时；
当，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上可得：为等腰三角形时，的长为或或．
故答案为：或或.
【分析】（）由旋转性质可得，，即可得到，然后根据SAS证明即可得到结论；
（）连接，利用SAS证明，即可得到，，进而证明，再根据勾股定理证明即可；
（）分当，当，当三种情况分别作图，根据等腰三角形的性质解答即可．
18． 如图，点C在线段AB的垂直平分线EF上，E为垂足，以AC为边作等边三角形ACD，(A，C，D逆时针排列)连结BD， BC， 直线BD交EF于点 H.
（1） 点C在线段AB上方， 连结AH.
①如图1，若△ABC为等边三角形，直接写出 的值及∠ABD的度数；
②如图2， 若△ABC为等腰直角三角形， 求证： DH=AE+HE.
（2） 如图3， 连结DE， 移动点 C，当DE最小时， CE=3， 求线段AB的长.
【答案】（1）①解：均为等边三角形，
，，
是线段的垂直平分线，
即，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
；
如图所示：设BD与AC交于点G，
，，
由等腰三角形三线合一性质得到，
在中，设，则，
由勾股定理可得，
，
是线段的垂直平分线，
，
在中，，则，
解得，
则，
；
②证明：如图所示，设BD与AC交于点G，
是的垂直平分线，
点关于对称，
，
，，
则，
在等边中，再由，可得，
，
，
在和中，，
，
，且是的一个外角，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
作于，如图所示：
，，
，
即；
（2）解：连接，如图所示：
由垂直平分线的性质得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又四边形的内角和为，
∴，
，
∴，
在等腰中，由三角形内角和定理可得，
即在点运动过程中，动点在直线上运动，且，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
此时，过点作于，连接，如图所示：
，
在中，点为中点，即是斜边上的中线，则，
即是等边三角形，
，
又，，
，
，
于，，
，
∴，
在中，，，
设，则，由勾股定理得，
解得，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）①根据三线合一性质得到平分，即可得到的度数；然后根据的直角三角形性质和勾股定理求出解答即可；
②根据垂直平分线性质得到，即可得到，根据等腰直角三角形性质得到，作于，即可得到，，然后根据线段的和差证明即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，从而确定在点运动过程中，动点在直线上运动，根据垂线段最短可得时，有最小值，作于，连接，得到为等边三角形，即可得到，在中，根据的直角三角形性质和勾股定理解答即可．
19．如图，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图2，连接，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若：
①求证：；
②求的值．（请直接写出结果）
【答案】（1）解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
在与中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ①证明：如图，延长到点，使得，连接，连接，交于点，
，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，沿翻折交于点，，
，
，
是等腰三角形，，是等边三角形，
，
，
②3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）②，
，
在与中，
，
，
．
【分析】（1）由等边三角形性质得AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，从而由“SAS”证△ABE≌△CAD，再根据全等三角形的对应角相等得到，进而根据三角形外角性质、等量代换及角的构成求解即可；
（2）在BF上截取BQ=AF，连接AQ，由全等三角形的对应角相等得∠ABE=∠CAD，由“SAS”证，由全等三角形对应角相等得，由三角形外角性质、等式性质、垂直定义及角的和差推出，由等角对等边得AF=FQ，即可求解；
（3）①延长到点，使得，连接，连接，交于点，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△AFN是等边三角形，得，，从而由“SAS”证明，得到，，则，根据翻折的性质得到，，证明是等腰三角形，，是等边三角形，进而得到，即可证明；
②利用“AAS”证明，得到，则，即可求出的值．
（1）解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，
在与中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①证明：如图，延长到点，使得，连接，连接，交于点，
，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，沿翻折交于点，，
，
，
是等腰三角形，，是等边三角形，
，
，
②解：，
，
在与中，
，
，
．
1 / 1《等腰（边）三角形》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1． 如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠B=30°， 点D、E是边BC上的两个动点， 且满足∠DAE=60°， 则当以BD，DE，EC的长为边长构成直角三角形时BD：EC可能是(　　)
A．2：1 B． C． D．2：
2．如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（　　）
A． B． C． D．
3． 如图， 边长为4的等边△ABC中， BF是AC上中线， 点D在BF上， 连接AD， 在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF 周长的最小值是(　　)
A．6 B． C． D．
4．如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
5． 如图，已知∠AOB=30°，点M，N在边OA上，OM=x，MN=1，P是射线OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有1个，则x满足的条件是　 　.
6． 如图， 在△ABC中， AD为BC边上的中线， 已知 将△ABD沿着AD翻折得到△ADE， 连接CE， BE， 则△ACE 的面积为　 　.
7．如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为　 　．
8．将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线.若BD=10，则BP=　 　，AB=　 　.
9． 如图， △ABC中， AB=AC， 点D， E分别为线段BC， AD上的点， ∠ADC=60°， 连结BE， CE， 已知AE=BE，
（1） 若∠BAC=90°， 则∠DCE=　 　°；
（2） 若∠BAC=96°，则∠DCE=　 　°.
10．如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D在边上，且，则　 　度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E在 边上，且，，则的度数为　 　．
三、综合题
11．如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的度数；
（3）在（）的条件下，若为中点，，求的面积．
12．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”.
（1）【理解概念】
顶角为120°的等腰三角形　 　“准等边三角形”；(填“是”或“不是”)
（2）【巩固新知】
已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A=45°，∠C>90°.求∠B的度数；
（3）【解决问题】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3+，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长.
13．如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE.
（1）当AD=4，BC=5时，求CD的长.
（2）当BC=CE时，求证：AE⊥AB.
（3）设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且，△ACE有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的.
14．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE
（1）若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。
（2）若∠A=∠E，求证：BC=DE.
（3）如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE =，求线段 CE 的长.
15．如图①，在△ABC中，CD⊥AB于D，且BD=4cm， AD=6cm， CD＝8cm.
（1）试说明△ABC是等腰三角形．
（2）如图②，动点M从点B出发以每秒1 cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值．
②若点E是AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
16．在等腰中，，．
（1）如图1，、是等腰斜边上两动点，且，在等腰Rt外侧作，连接．试问：
①___________；
②当时，求的长．
（2）如图2，点是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点．在点的顺时针方向上），当，时，直接写出的长．
17．如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC=12. 点D， E分别为AC， BC的中点，点P为线段DE上一动点(不与点D 重合)，过点C作线段CM垂直CP 且CM=CP， 连接AP、BM、PM， PM交BC于点N.
（1） 求证： AP=BM；
（2） 求证：
（3）在点P 运动过程中，能否使△CMN为等腰三角形 若能，请直接写出PD 的长；若不能，请说明理由.
18． 如图，点C在线段AB的垂直平分线EF上，E为垂足，以AC为边作等边三角形ACD，(A，C，D逆时针排列)连结BD， BC， 直线BD交EF于点 H.
（1） 点C在线段AB上方， 连结AH.
①如图1，若△ABC为等边三角形，直接写出 的值及∠ABD的度数；
②如图2， 若△ABC为等腰直角三角形， 求证： DH=AE+HE.
（2） 如图3， 连结DE， 移动点 C，当DE最小时， CE=3， 求线段AB的长.
19．如图，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图2，连接，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若：
①求证：；
②求的值．（请直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示：
∵，，
∴，
∴．
由旋转的性质得，，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以，，的长为边长构成直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：A .
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，得到，，，，根据SAS得到，求得，由题意得，据此求解即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点E作EG⊥BC于点G， 易得BD=CE=2，由等边三角形的性质、直角三角形两锐角互余得∠CEG=30°，由含30°角直角三角形的性质求出，线段和差求出BG=5，利用勾股定理算出GE、BE的长；利用“SAS”证△ABD≌△BCE，由全等三角形的面积相等得到，再利用面积法可得，，即得，即得到，最后由即可求解.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵是上中线，
∴，，，
∴，，点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值：，
故答案为：B .
【分析】连接，根据等边三角形的性质，利用SAS证明，即可得到，从而可得，，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即可得到是等边三角形，从而可得，故有周长的最小值为，然后代入即可求解．
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】是等边三角形
同理：
则的边长为
故正确答案为：C
【分析】先由等边三角形的性质知，再由三角形的外角性质结合已知可得是等腰三角形，则，同理，则
5．【答案】x=1或x>2
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-等腰（等边）三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：
如图，当OM=MN=1，以M为圆心，以1为半径的圆交OB于点P，此时MP=PN=MN=1，即x=1；
当x=2时，过点M作MP⊥OB于点P，
∴MP=OM=1，
∴MP=MN=1，
作MN的垂直平分线交OB于点P'，则P'M=P'N，如图，
此时，构成的等腰三角形的点恰好有2个，
∴当x>2时，点M到OB的距离大于1，则MP>MN，NP>MN，
此时在OB上只能找一点P使MP=NP，即以点P、M、N构成的等腰三角形恰好只有1个，
综上当x=1或x>2时，构成的等腰三角形恰好只有1个.
故答案为：x=1或x>2.
【分析】根据等腰三角形的定义，分类讨论腰的情况，通过作图分析确定x的值.
6．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵为边上的中线，，
∴，
∵沿着翻折得到，
∴，，
∴垂直平分线段，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点到的距离等于的长，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理求出，进而求出，再证明是直角三角形，根据勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解．
7．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∵是高所在直线上一点，是等边三角形，，
，，点N的运动轨迹为如图所示直线，
，
∴，
故当时，最短，最短为，
故答案为：2．
【分析】先根据等边三角形的性质和全等三角形的判定SAS证出，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出即可.
8．【答案】5；
【知识点】等腰三角形的判定；图形的剪拼；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠ACB，CD=BD，
∵BD=10，
∴CD=10，
将图2标记如下：
由题意可得，∠PCB=∠PBC，MC=BD=10，AP=AD，
∴PC=PB，
∵∠PCB+∠CMB=∠PBC+∠MBP=90°，
∴∠M=∠MBP，
∴MP=BP，
∴BP=MC=5，
则AB=AD+5，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得，AB2=AD2+BD2，
∴（AD+5）2=AD2+102，
解得：AD=，
∴AB=AD+5=，
故答案为：5；.
【分析】由等腰三角形三线合一可得∠ABC=∠ACB，CD=BD=10，根据题意和图形可得BP=MC=5，AB=AD+5，再由勾股定理可得AB2=AD2+BD2，进而求得AD=，即可得出答案.
9．【答案】（1）15
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15；
（2）以为边，在下方作等边，连接，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）以为边，在下方作等边，连接，则， 设，则，，由，求出，然后证明，，即可得到，最后由角的和差求解；
（2）解法同（1）．
10．【答案】（1）36
（2）或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）
设
则
即
解得
则
故答案为：36；
（2）设.
①当AD=AE时，如图：
②当AD=DE时，如图：
所以的度数为或
故答案为：或
【分析】(1)利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；
(2)设∠C=x，分为①AD=AE或AD=DE两种情况时，利用三角形内角和定理列方程解答即可.
11．【答案】（1）解：∵为边上的高线，∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的内角和知，又，所以；
（2）因为与互余，则，因为等腰中，所以，即，又，所以；
（3）要计算的面积，由于只知道腰长，但没有特殊角，不能直接计算，考虑到中线BE平分的面积，只需求出的面积，可过点作，连接，因为，则为等腰直角三角形，且；因为，显然，所以有、，所以有，又因为，所以，所以、，又中，等量代换得，即，则、，.
（1）解：∵为边上的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
12．【答案】（1）不是
（2）解：当∠C-∠A=60°时， ∠C=105°， 此时∠B=30°
当∠C-∠B=60°时，
∵∠A+∠B+∠C=180°， 且∠A=45°
∴∠B+∠C=135°
∴∠C=97.5°， ∠B=37.5°
当∠B-∠A=60°时， ∠C<90°与已知条件矛盾舍掉，
综上∠B的度数为30°或37.5°
（3）解：如图，当∠C-∠CBD=60°时，
当∠C-∠BDC=60°时， 此时D 点与A 点重合，
如图所示，当∠BDC-∠CBD=60°时，过点D作AB的垂线段DM.
∵ ∠C=90°
∴∠BDC+∠CBD=90°
∴∠BDC=75°， ∠CBD=15°
∴∠DBA=∠MDB=45°
∵ ∠A=30°
∴AD=2DM、
设DM=BM=x，则
∴x=3
∴BD=3
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【解答】
（1）解：如图所示，设中，
不是准等边三角形
【分析】
（1）直接利用等边对等角并结合三角形的内角和定理可得底角为30度，则不存在两角的差为60度，故该三角形不是准等边三角形；
（2）应分类讨论，即当∠C-∠A=60°时可先求出∠C，再利用内角和定理求出∠B即可；当∠C-∠B=60°时，先由内角和定理可得∠C+∠B=135°，再解关于∠C和∠B的二元一次方程即可；
（3）同（2），分三种情况讨论，即当∠C-∠CBD=60°时，或∠C-∠BDC=60°时，∠BDC-∠CBD=60°时，分别利用直角三角形中30度角的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理进行求解即可.
13．【答案】（1）解：∵∠CAB=∠CBA，BC=5，
∴AC=BC=5，
∵AD是腰BC的高线，AD=4，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理可得，CD==3，
答：AD的长是3
（2）证明：∵ BC=CE，AC=CB，
∴AC=CE=CB，
∴∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，
∵∠AEC+∠B+∠EAB=180°，
∴2∠AEB+2∠B=180°，
∴∠AEB+∠B=90°，
∴∠EAB=90°，
∴AE⊥AB
（3）解： ∵AD是腰BC的高线，
∴△ACD的面积为S1 =DE·AD， △ACE的面积为S2=CE·AD，
∵，
∴=，
设CD=8k，则CE=13k，DE=CE-CD=5k，
∵AD⊥CE，DE≠CD，
∴AC≠AE，
当CE=CA=13k时，BC=CA=13k，
∴BE=BC+CE=26k，
∴=2；
当AE=CE=13k时，在Rt△ADE中由勾股定理得，AD==12k，
∴AC==k，
∴BE=BC+CE=k，+13k，
∴==，
综上所述，满足条件的的值为2或
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出答案；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，进而得出2∠AEB+2∠B=180°，就可求得∠EAB=90°，即可得证；
（3）由 得=，设CD=8k，则CE=13k，DE=CE-CD=5k，得DE≠CD，从而可知AC≠AE，再分当CE=CA=13k时和当AE=CE=13k时两种情况，进行计算即可得出答案.
14．【答案】（1）解：， ，
，.
，
， ，
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：
如图，过点D作与点F，
，
，
，
，.
是AC的中点
设，则，
，
在中，，
解得
在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2，
解得CF=DF=1
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，
解得 EF=3，
∴CE=3-1=2
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】⑴根据等腰三角形性质、三角形的内角和定理及三角形外角性质计算 ∠ABD的度数 .
⑵根据角的和差转化得，从而BD=BC，再根据题意得BC=DE.
⑶根据勾股定理CD=AD=，CF=DF=1， EF=3，从而确定CE的长.
15．【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，
在Rt△ACD中，，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：cm2，而x>0，
∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm.
①当MN//BC时，AM=AN，
即10-t=t
∴t=5
当DN//BC时，AD=AN，
得：t=6
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6.
②当点M在BD上，即0≤t<4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4如果DE=DM，则t-4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t-4，则(t-4)2-(t-7)2=42
∴
综上所述，t的值为9或10或.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】(1)设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
(2)由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；
①当MN/BC时，AM=AN；当DN///BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即416．【答案】（1）解：①；
②∵
∴．
∵，，
∴，
∴，即．
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：的长为13或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的综合；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
∵等腰中，，
∴，即．
∴，又，
∴，
故填：90°；
（2）如图，过A作于F，
∵等腰中，BC=17，
∴，
分两种情况讨论：
①如图，当D在线段上时，
∵，
∴，
在中，，
等腰中，∠EAD=90°，AD=AE，
∴；
②如图，当D在延长线上时，
∴．
在中，，
∴．
∴的长为13或，
故答案为：的长为13或．
【分析】（1）①根据全等三角形对应角相等，得出，根据等腰直角三角形的性质得出
，从而得出，利用，即可得出答案；
②先证出，得出，根据勾股定理得出从而得出，解方程即可求出DE的长；
（2）过A作于F，根据大家直角三角形的性质得出，
分两种情况讨论：①当D在线段上时，②当D在延长线上时，利用勾股定理分别求出DE的长，即可得出答案.
（1）解：①由得（全等三角形对应角相等）．
等腰中，，
故，即．
因此，又，
故．
②由得．
因，，故，
即，即．
在和中，
故得．
由①知，在中，
代入、得．
∴，
即，
解得；
（2）解：过A作于F，等腰中（斜边上的高等于斜边一半）．
分两种情况：
①当D在上（B、C之间）：，则．
在中，，
等腰中，．
②当D在延长线上（B外侧）：
．
在中，，
故．
∴的长为13或．
17．【答案】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点，分别为，的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，，在中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点，分别为，的中点，，，
∴，
∴，
当，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当，如图，此时三点共线，
此时；
当，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上可得：为等腰三角形时，的长为或或．
故答案为：或或.
【分析】（）由旋转性质可得，，即可得到，然后根据SAS证明即可得到结论；
（）连接，利用SAS证明，即可得到，，进而证明，再根据勾股定理证明即可；
（）分当，当，当三种情况分别作图，根据等腰三角形的性质解答即可．
18．【答案】（1）①解：均为等边三角形，
，，
是线段的垂直平分线，
即，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
；
如图所示：设BD与AC交于点G，
，，
由等腰三角形三线合一性质得到，
在中，设，则，
由勾股定理可得，
，
是线段的垂直平分线，
，
在中，，则，
解得，
则，
；
②证明：如图所示，设BD与AC交于点G，
是的垂直平分线，
点关于对称，
，
，，
则，
在等边中，再由，可得，
，
，
在和中，，
，
，且是的一个外角，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
作于，如图所示：
，，
，
即；
（2）解：连接，如图所示：
由垂直平分线的性质得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又四边形的内角和为，
∴，
，
∴，
在等腰中，由三角形内角和定理可得，
即在点运动过程中，动点在直线上运动，且，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
此时，过点作于，连接，如图所示：
，
在中，点为中点，即是斜边上的中线，则，
即是等边三角形，
，
又，，
，
，
于，，
，
∴，
在中，，，
设，则，由勾股定理得，
解得，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）①根据三线合一性质得到平分，即可得到的度数；然后根据的直角三角形性质和勾股定理求出解答即可；
②根据垂直平分线性质得到，即可得到，根据等腰直角三角形性质得到，作于，即可得到，，然后根据线段的和差证明即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，从而确定在点运动过程中，动点在直线上运动，根据垂线段最短可得时，有最小值，作于，连接，得到为等边三角形，即可得到，在中，根据的直角三角形性质和勾股定理解答即可．
19．【答案】（1）解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
在与中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ①证明：如图，延长到点，使得，连接，连接，交于点，
，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，沿翻折交于点，，
，
，
是等腰三角形，，是等边三角形，
，
，
②3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）②，
，
在与中，
，
，
．
【分析】（1）由等边三角形性质得AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，从而由“SAS”证△ABE≌△CAD，再根据全等三角形的对应角相等得到，进而根据三角形外角性质、等量代换及角的构成求解即可；
（2）在BF上截取BQ=AF，连接AQ，由全等三角形的对应角相等得∠ABE=∠CAD，由“SAS”证，由全等三角形对应角相等得，由三角形外角性质、等式性质、垂直定义及角的和差推出，由等角对等边得AF=FQ，即可求解；
（3）①延长到点，使得，连接，连接，交于点，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△AFN是等边三角形，得，，从而由“SAS”证明，得到，，则，根据翻折的性质得到，，证明是等腰三角形，，是等边三角形，进而得到，即可证明；
②利用“AAS”证明，得到，则，即可求出的值．
（1）解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，
在与中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①证明：如图，延长到点，使得，连接，连接，交于点，
，
是等边三角形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，沿翻折交于点，，
，
，
是等腰三角形，，是等边三角形，
，
，
②解：，
，
在与中，
，
，
．
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